【提升卷】2.4二次函数的应用—2023-2024学年北师大版九年级下册同步测试

试卷更新日期：2023-09-17 类型：同步测试

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一、选择题（每题2分，共20分）

1. 如图，一边靠墙(墙有足够长)，其它三边用12 m长的篱笆围成一个矩形(ABCD)花园，这个花园的最大面积是（）

A、16 m² B、12 m² C、18 m² D、以上都不对

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2. 如图，在矩形ABCD中，AB=2，点E在边AD上，∠ABE=45°，BE=DE，连接BD，点P在线段DE上，过点P作PQ∥BD交BE于点Q，连接QO，设PD=x，△PQD的面积为y，则能表示y与x函数关系的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 某种产品按质量分为10个档次，生产最低档次产品，每件获利润8元，每提高一个档次，每件产品利润增加2元．用同样工时，最低档次产品每天可生产60件，提高一个档次将减少3件．如果获利润最大的产品是第k档次（最低档次为第一档次，档次依次随质量增加），那么k等于（　　）

A、5 B、7 C、9 D、10

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4. 从底面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的关系式是：h＝30t-5t² ，这个函数图象如图所示，则小球从第3s到第5s的运动路径长为（）

A、15m B、20m C、25m D、30m

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5. 如图，若被击打的小球飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）具有函数关系为 $h = 20 t - 5 t^{2}$ ，则小球从飞出到落地的所用时间为 $($ 　　 $)$

A、 $3 s$ B、 $4 s$ C、 $5 s$ D、 $6 s$

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6. 如图所示，赵州桥的桥拱用抛物线的部分表示，其函数的关系式为 $y = - \frac{1}{25} x^{2}$ ，当水面宽度 $A B$ 为20m时，此时水面与桥拱顶的高度 $D O$ 是（）

A、2m B、4m C、10m D、16m

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7. 某市新建一座景观桥．如图，桥的拱肋 $A D B$ 可视为抛物线的一部分，桥面 $A B$ 可视为水平线段，桥面与拱肋用垂直于桥面的杆状景观灯连接，拱肋的跨度 $A B$ 为40米，桥拱的最大高度 $C D$ 为16米（不考虑灯杆和拱肋的粗细），则与 $C D$ 的距离为5米的景观灯杆 $M N$ 的高度为（）

A、13米 B、14米 C、15米 D、16米

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8. 某超市对进货价为10元/千克的某种苹果的销售情况进行统计，发现每天销售量y（千克）与销售价x（元/千克）存在一次函数关系，如图所示．则最大利润是（　　）

A、180 B、220 C、190 D、200

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9. 学校卫生间的洗手盘台面上有一瓶洗手液（如图①）.小丽经过测量发现：洗手液瓶子的截面图下部分是矩形CGHD，洗手液瓶子的底面直径GH＝12cm，D，H与喷嘴位置点B三点共线.当小丽按住顶部A下压至如图②位置时，洗手液从喷口B流出（此时喷嘴位置点B距台面的距离为16cm），路线近似呈抛物线状，小丽在距离台面15cm处接洗手液时，手心Q到直线DH的水平距离为4cm，若小丽不去接，则洗手液落在台面的位置距DH的水平距离是16cm.根据小丽测量所得数据，可得洗手液喷出时的抛物线函数解析式的二次项系数是（）

A、﹣ $\frac{1}{18}$ B、 $\frac{1}{18}$ C、﹣ $\frac{1}{16}$ D、 $\frac{1}{16}$

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10. 如图，水从山坡下的水管的小孔喷出，喷洒在山坡上，已知山坡AB：OB=1：2，若把小孔处设为原点，喷出的水柱的路线近似地用函数y=− $\frac{1}{2}$ x²+4x来刻画，下列结论错误的是（）

A、山坡可以用正比例函数 $y = \frac{1}{2} x$ 来刻画 B、若水柱到水平地面的距离为1.875米，则此时距离原点水平距离为0.5米或7.5米 C、水柱落到斜面时距O点的距离为7米 D、水柱距O点水平距离超过4米呈下降趋势

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二、填空题（每题3分，共15分）

11. 为防治新冠病毒，某医药公司一月份的产值为1亿元，若每月平均增长率为 $x$ ，第一季度的总产值为 $y$ （亿元），则 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式为．

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12. 小强推铅球时，铅球的高度y（m）与水平行进的距离x（m）之间的关系为y $= - \frac{1}{12}$ （x﹣4）²+3，则小强推铅球的成绩是 m．

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13. 用长12m的铝合金条制成矩形窗框（如图所示），那么这个窗户的最大透光面积是（中间横框所占的面积忽略不计）

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14. 某景点的“喷水巨龙”口中C处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度 $y (m)$ 与水平距离 $x (m)$ 之间的有关系如图所示，D为该水流的最高点， $D A ⊥ O B$ ，垂足为A．已知 $O C = O B = 8 m$ ， $O A = 2 m$ ，则该水流距水平面的最大高度AD的为m．

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15. 某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙长20米），另外三边用篱笆围成如图所示，所用的篱笆长为32米．请问当垂直于墙的一边的长为米时，花圃的面积有最大值，最大值是．

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三、解答题（共7题，共65分）

16. 惠东县为促进经济发展从马来西亚引进一种高档水果，某商场经销这种水果，原价每千克50元，为了减少产生水果烂损进行降价促销，连续两次降价后每千克32元，且平均每次下降的百分率相同．

(1)、求平均每次下降的百分率；

(2)、若每千克盈利10元，每天可售出500千克，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，经市场调查发现，若每千克每涨价1元，日销售量就减少20千克，那么每千克应涨价多少元该商场每天盈利最多？最多是多少元？

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17. 某商家经销一种绿茶，用于装修门而已投资3000元，已知绿茶每千克成本50元，在第一个月的试销时间内发现，销量w（ $kg$ ）随销售单价x（元/ $kg$ ）的变化而变化，满足函数关系式 $w = - 2 x + 240$ ，若该绿茶的月销售利润为y（元）（销售利润=单价×销售量-成本-投资）

(1)、求y与x之间的函数关系式（不必写出变量x的取值范围）．并求出x为何值时，y的值最大？

(2)、若在第一个月里，按使y获得最大值的销售单价进行销售后，在第二个月里受物价部门干预，销售单价不得高于90元，要想在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到1700元，那么第二个月里应该确定销售单价为多少元？

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18. 如图，计划利用长为a米的篱笆，再借助外墙围成一个矩形栅栏，设矩形 $A B C D$ 的边 $A B$ 长为x米，面积为y平方米.

(1)、若 $a = 80$ ，墙长为50米，求出y与x之间的关系，并指出x的取值范围；

(2)、在（1）的条件下，矩形 $A B C D$ 的面积能达到800平方米吗？说明理由；

(3)、当x与a满足什么关系时，栅栏围出的面积最大？最大值是多少？

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19. 【综合实践】
某公园在人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，喷出的水柱形状可以看作是抛物线的一部分．若记水柱上某一位置与水管的水平距离为 $x$ 米，与湖面的垂直高度为 $y$ 米．下面的表中记录了 $x$ 与 $y$ 的五组数据：
$x$ （米）
0
1
2
3
4
$y$ （米）
0.5
1.25
1.5
1.25
0.5

(1)、在下面网格（图1）中建立适当的平面直角坐标系，并根据表中所给数据画出表示 $y$ 与 $x$ 函数关系的图象；

(2)、若水柱最高点距离湖面的高度为 $m$ 米，则 $m =$ ▲ ，并求 $y$ 与 $x$ 函数表达式；

(3)、现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过只调节水管露出湖面的高度，使得游船能从抛物线形水柱下方通过，如图2所示，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从抛物线形水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于0.5米，已知游船顶棚宽度为3米，顶棚到湖面的高度为2米，那么公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到多少米才能符合要求？请通过计算说明理由（结果保留一位小数）．

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20. 按要求解答

(1)、某市计划修建一条隧道，已知隧道全长2400米，一工程队在修了1400米后，加快了工作进度，每天比原计划多修5米，结果提前10天完成，求原计划每天修多长？

(2)、隧道建成后的截面图如图所示，它可以抽象成如图所示的抛物线．已知两个车道宽度 $O C = O D = 4$ 米，人行道地基AC，BD宽均为2米，拱高 $O M = 10.8$ 米．建立如图所示的直角坐标系．
①此抛物线的函数表达式为 ▲ ．（函数表达式用一般式表示）

②按规定，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少0.5米，则此隧道限高 ▲ 米．

③已知人行道台阶 $C E ， D F$ 高均为0.3米，按照国家标准，人行道宽度不得低于1.25米，该隧道的人行道宽度设计是否达标？说明理由．

+

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21. 乒乓球被誉为中国国球.2023年的世界乒乓球标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．如图，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度

O A

为

28.75

c m

的高度，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分．

乒乓球到球台的竖直高度记为 $y$ （单位： $c m$ ），乒乓球运行的水平距离记为 $x$ （单位： $c m$ ）．测得如下数据：

水平距离x/ $c m$	$0$	$10$	$50$	$90$	$130$	$170$	$230$
竖直高度y/ $c m$	$28.75$	$33$	$45$	$49$	$45$	$33$	$0$

(1)、在平面直角坐标系

x O y

中，描出表格中各组数值所对应的点

(x ， y)

，并画出表示乒乓球运行轨迹形状的大致图象；

(2)、①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是

c m

，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是

c m

；

②求满足条件的抛物线解析式；

(3)、技术分析：如果只上下调整击球高度

O A

，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出

O A

的取值范围，以利于有针对性的训练．如图②．乒乓球台长

O B

为274

c m

，球网高

C D

为15.25

c m

．现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球离度

O A

的值约为1.27

c m

．请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度

O A

的值（乒乓球大小忽略不计）．

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22. 【探究】中秋节前某商场计划购进一批进价为每盒40元的食品进行销售，根据销售经验，应季销售时，若每盒食品的售价为60元，则可售出400盒，当每盒食品的售价每提高1元，销售量就相应减少10盒．

(1)、假设每盒食品的售价提高x元，那么销售每盒食品所获得的利润是元，销售量是盒．（用含x为代数式表示）

(2)、设应季销售利润为y元，求y与x的函数关系式，并求出应季销售利润为8000元时每盒食品的售价．

(3)、【拓展】根据销售经验，过季处理时，若每盒食品的售价定为30元亏本销售，可售出50盒，若每盒食品的售价每降低1元，销售量就相应增加5盒．当单价降低z元时，解答：
现剩余100盒食品需要处理，经过降价处理后还是无法销售的只能积压在仓库，损失本金，若使亏损金额最小，此时每盒食品的售价应为元；

(4)、若过季需要处理的食品共m盒，过季处理时亏损金额为y₁元，求y₁与z的函数关系式；当100≤m≤300时，求过季销售亏损金额最小时多少元？

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$x$ （米）	0	1	2	3	4
$y$ （米）	0.5	1.25	1.5	1.25	0.5