【培优卷】2.4二次函数的应用—2023-2024学年北师大版九年级下册同步测试

试卷更新日期：2023-09-17 类型：同步测试

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一、选择题（每题2分，共20分）

1. 如图，正三角形ABC的边长为3cm，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止．设运动时间为x(秒)，y=PC² ，则y关于x的函数的图象大致是（ )

A、 B、 C、 D、

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2. 如图 $△ A B C$ 和 $△ D E F$ 都是边长为2的等边三角形，它们的边 $B C ， E F$ 在同一条直线l上，点C，E重合，现将 $Δ A B C$ 沿着直线l向右移动，直至点B与F重合时停止移动.在此过程中，设点移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y随x变化的函数图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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3. 学校组织学生去绍兴进行研学实践活动，小王同学发现在宾馆房间的洗手盘台面上有一瓶洗手液（如图①）.于是好奇的小王同学进行了实地测量研究.当小王用一定的力按住顶部A下压如图②位置时，洗手液从喷口B流出，路线近似呈抛物线状，且喷口B为该抛物线的顶点.洗手液瓶子的截面图下面部分是矩形 $C G H D$ .小王同学测得∶洗手液瓶子的底面直径 $G H = 12 c m$ ，喷嘴位置点B距台面的距离为 $16 c m$ ，且 $B 、 D 、 H$ 三点共线.小王在距离台面 $15.5 c m$ 处接洗手液时，手心Q到直线 $D H$ 的水平距离为 $3 c m$ ，若小王不去接，则洗手液落在台面的位置距 $D H$ 的水平面是（） $c m$

A、 $12 \sqrt{3}$ B、 $12 \sqrt{2}$ C、 $6 \sqrt{3}$ D、 $6 \sqrt{2}$

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4. 小明发现鸡蛋的形状可以近似用抛物线与圆来刻画.于是他画了两只鸡蛋的示意图（如图，单位：cm），其中 AB 和 A'B'；上方为两条开口大小相同的抛物线，下方为两个圆的一部分.若第一个鸡蛋的高度 CD 为 8.4 cm，则第二个鸡蛋的高度C'D'为（　　）

A、7.29 cm B、7.34 cm C、7.39 cm D、7.44 cm

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5. 我校门口道路的隔离栏通常会涂上醒目的颜色，呈抛物线形状（如图1），图2是一个长为2米，宽为1米的矩形隔离栏，中间被4根栏杆五等分，每根栏杆的下面一部分涂上醒目的蓝色，颜色的分界处（点E ，点P）以及点A ，点B落上同一条抛物线上，若第1根栏杆涂色部分（EF）与第2根栏杆未涂色部分（PQ）长度相等，则EF的长度是（）

A、 $\frac{1}{3}$ 米 B、 $\frac{1}{2}$ 米 C、 $\frac{2}{5}$ 米 D、 $\frac{3}{5}$ 米

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6. 洗手盘台面上有一瓶洗手液．当同学用一定的力按住顶部 $A$ 下压如图位置时，洗手液从喷口 $B$ 流出，路线近似呈抛物线状，且喷口 $B$ 为该抛物线的顶点．洗手液瓶子的截面图下面部分是矩形 $C G H D .$ 同学测得：洗手液瓶子的底面直径 $G H = 12 c m$ ，喷嘴位置点 $B$ 距台面的距离为 $16 c m$ ，且 $B$ 、 $D$ 、 $H$ 三点共线．在距离台面 $15.5 c m$ 处接洗手液时，手心 $Q$ 到直线 $D H$ 的水平距离为 $3 c m$ ，不去接则洗手液落在台面的位置距 $D H$ 的水平面是 $c m$ ．（）

A、 $6 \sqrt{3}$ B、 $6 \sqrt{2}$ C、 $12 \sqrt{3}$ D、 $12 \sqrt{2}$

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7. 一位运动员在离篮筐水平距离4m处起跳投篮，球运行路线可看作抛物线，当球离开运动员的水平距离为1m时，它与篮筐同高，球运行中的最大高度为3.5m，最后准确落入篮筐，已知篮筐到地面的距离为3.05m，该运动员投篮出手点距离地面的高度为（）

A、1.5m B、2m C、2.25m D、2.5m

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8. 一种包装盒的设计方法如图所示，四边形ABCD是边长为30cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四点重合于图中的点O，形成一个底面为正方形的长方体包装盒．设BE=CF=xcm，要使包装盒的侧面积最大，则x应取（）

A、12.5cm B、10cm C、7.5cm D、5cm

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9. 物理课上我们学习了竖直上抛运动，若从地面竖直向上抛一小球，小球的高度 $h ($ 单位： $m)$ 与小球运动时间 $t ($ 单位： $s)$ 之间的函数关系如图所示，下列结论：
①小球在空中经过的路程是 $40 m$
②小球抛出 $3 s$ 后，速度越来越快
③小球抛出 $3 s$ 时速度为0
④小球的高度 $h = 30 m$ 时， $t = 1.5 s$
其中正确的是（）

A、①②③ B、①② C、②③④ D、②③

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10. 某公司销售一种藜麦，成本价为30元/千克，若以35元/千克的价格销售，每天可售出450千克．当售价每涨0.5元/千克时，日销售量就会减少15千克．设当日销售单价为 $x$ （元/千克）（ $x \geq 30$ ，且 $x$ 是按0.5的倍数上涨），当日销售量为 $y$ （千克）．有下列说法：
①当 $x = 36$ 时， $y = 420$ ② $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式为 $y = - 30 x + 1500$ ③若使日销售利润为2880元，且销售量较大，则日销售单价应定为42元/千克④若使日销售利润最大，销售价格应定为40元/千克

其中正确的是（）

A、①② B、①②④ C、①②③ D、②④

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二、填空题（每题3分，共15分）

11. $2023$ 年5月8日， $C 919$ 商业首航完成——中国民商业运营国产大飞机正式起步． $12$ 时 $31$ 分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”、是国际民航中高级别的礼仪）．如图①，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分．如图②，当两辆消防车喷水口A、B的水平距离为 $80$ 米时，两条水柱在物线的顶点H处相遇，此时相遇点H距地面 $20$ 米，喷水口A、B距地面均为4米．若两辆消防车同时后退 $10$ 米，两条水柱的形状及喷水口 $A^{'}$ 、 $B^{'}$ 到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点 $H^{'}$ 距地面米．

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12. 某学生推铅球，铅球所经过的路线是抛物线的一部分，若这名学生出手点A（0，1.6），铅球路线最高处为B（6，4），则该学生将铅球推出的距离是．

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13. 如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当拱顶（拱桥洞的最高点）离水面 $2 m$ 时，水面宽 $4 m$ ，当水面下降 $2 m$ 时，水面的宽度为m.

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14. 如图所示，从高为2m的点 $A$ 处向右上抛一个小球 $P$ ，小球路线呈抛物线 $L$ 形状，小球水平经过2m时达到最大高度6m，然后落在下方台阶B处弹起，已知 $M N = 4$ m， $F M = D E = B C = 1.2$ m， $C D = E F = 1$ m，若小球弹起形成一条与 $L$ 形状相同的抛物线，且落点 $Q$ 与 $B$ ， $D$ 在同一直线上，则小球弹起时的最大高度是m

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15. 图1是一个高脚杯截面图，杯体CBD呈抛物线状(杯体厚度不计) ，点B是抛物线的顶点，AB=9，EF=2 $\sqrt{3}$ ，点A是EF的中点，当高脚杯中装满液体时，液面CD=4 $\sqrt{3}$ ，此时最大深度(液面到最低点的距离)为12，将高脚杯绕点F缓缓倾斜倒出部分液体，当∠EFH=30°时停止，此时液面为GD，则液面GD到平面l的距离是；此时杯体内液体的最大深度为。

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三、解答题（共7题，共65分）

16. 某商店为了推销一种新产品，在某地先后举行40场产品发布会，已知该产品每台成本为10万元，设第x场产品的销售量为y（台），已知第一场销售产品49台，然后每增加一场，产品就少卖出1台；

(1)、直接写出y与x之间满足的函数关系式；产品的每场销售单价p（万元）由基本价和浮动价两部分相加组成，其中基本价保持不变，经过统计，发现第1场—第20场浮动价与发布场次x成正比，第21场—第40场浮动价与发布场次x成反比，得到如下数据：
x（场）
3
10
25
p（万元）
10.6
12
14.2

(2)、求p与x之间满足的函数关系式；

(3)、当产品销售单价为13万元时，求销售场次是第几场？

(4)、在这40场产品发布会中，求哪一场获得的利润最大，最大利润是多少？

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17. 某工厂用 $50$ 天时间生产一款新型节能产品，每天生产的该产品被某网店以每件 $80$ 元的价格全部订购，在生产过程中，由于技术的不断更新，该产品第 $x$ 天的生产成本 $y$ （元/件）与 $x$ （天）之间的关系如图所示，第 $x$ 天该产品的生产量 $z$ （件）与 $x$ （天）满足关系式 $z = - 2 x + 120.$

(1)、第 $40$ 天，该厂生产该产品的利润是元；

(2)、设第x天该厂生产该产品的利润为w元．
①求w与x之间的函数关系式，并指出第几天的利润最大，最大利润是多少？

②在生产该产品的过程中，当天利润不低于 $2400$ 元的共有多少天？

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18. 为了有效地应对高楼火灾，某消防中队进行消防技能比赛．如图，在一个废弃高楼距地面 $10 m$ 的点A和 $15 m$ 的点B处，各设置了一个火源，消防员来到火源正前方，水枪喷出的水流看作抛物线的一部分（水流出口与地面的距离忽略不计）．第一次灭火时站在水平地面的点C处，水流恰好到达点A处，且水流的最大高度为 $16 m$ ，水流的最高点到高楼的水平距离为 $4 m$ ，建立如图所示的平面直角坐标系，水流的高度y（m）与到高楼的水平距离x（m）之间的函数关系式为： $y = a {(x - h)}^{2} + k$ ．

(1)、求消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式；

(2)、待A处火熄灭后，消防员前进2m到点D处进行第二次灭火，若两次灭火时水流所在抛物线的形状相同，请判断水流是否到达点B处，并说明理由；

(3)、若消防员站在到高楼的水平距离为11m~12m的地方，调整水枪，使喷出的水流形状发生变化，水流的最高点到高楼的水平距高始终是4m，当 $- \frac{1}{2} \leq a \leq - \frac{1}{3}$ 时，求水流到达墙面高度的取值范围．

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19. 如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为12米，另一边AB为2米．以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，规定一个单位长度代表1米．E（0，8）是抛物线的顶点．

(1)、求此抛物线对应的函数表达式；

(2)、在隧道截面内（含边界）修建“”型或“”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点 $P_{1}$ ， $P_{4}$ 在x轴上，MN与矩形 $P_{1} P_{2} P_{3} P_{4}$ 的一边平行且相等．栅栏总长l为图中粗线段 $P_{1} P_{2}$ ， $P_{2} P_{3}$ ， $P_{3} P_{4}$ ， MN长度之和．请解决以下问题：
（ⅰ）修建一个“”型栅栏，如图2，点 $P_{2}$ ， $P_{3}$ 在抛物线AED上．设点 $P_{1}$ 的横坐标为 $m (0 < m \leq 6)$ ，求栅栏总长l与m之间的函数表达式和l的最大值；
（ⅱ）现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的修建“”型或“”型栅型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形 $P_{1} P_{2} P_{3} P_{4}$ 面积的最大值，及取最大值时点 $P_{1}$ 的横坐标的取值范围（ $P_{1}$ 在 $P_{4}$ 右侧）．

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20. 如图1的小山丘是科研部门的小球弹射实验场地，在小山丘一侧的山坡上建有小球弹射发射装置，另一侧建有圆柱形小球接收装置，如图2为实验场地的纵截面示意图，小山丘纵截面的外部轮廓线近似为抛物线的一部分，以小山丘纵截面与地面的交线为x轴，以过发射装置所在的直线AB为y轴，建立平面直角坐标系，发射装置底部在轮廓线的点A处，距离地面为1米，在发射装置3米的点B处是发射点，已知小山丘纵截面的外部轮廓线为 $C_{1} ： y = - \frac{1}{12} x^{2} + \frac{7}{6} x + 1$ ，从发射装置的发射点弹射一个小球（忽略空气阻力）时，小球的飞行路线为一段抛物线 $C_{2} ： y = - \frac{1}{8} x^{2} + b x + c$ ．

(1)、直接写出c的值，当小球离B处的水平距离和竖直距离都为4米时，求b的值，并求小球到小山丘的竖直距离为1米时，小球离B处的水平距离；

(2)、若小球最远着陆点到y轴的距离为15米，当小球飞行到小山丘顶的正上方，且与顶部距离不小于 $\frac{2}{3}$ 米时，求b的取值范围，并求小球飞行路线的顶点到x轴距离的最小值；

(3)、圆柱形小球接收装置的最大截面为矩形CDEF，已知点E在 $C_{1}$ 上，其横坐标为14， $C F ∥ x$ 轴， $C D = 1.5$ ， $D E = 1$ ．若小球恰好落入该装置内（不触碰装置侧壁），请直接写出b的取值范围．

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21. 如图1，小明将一张直角梯形纸片沿虚线剪开，得到矩形和三角形两张纸片，测得AB＝5，AD＝4．在进行如下操作时遇到了下列几个问题，请你帮助解决．

(1)、如图2，将△EFG的顶点G移到矩形的顶点B处，再将三角形绕点B顺时针旋转使E点落在CD边上，此时EF恰好经过点A ，请证明：△ADE∽△FGE；

(2)、如图3，在（1）的条件下，小明先将△EFG的边EG和矩形的边AB重合，然后将△EFG沿直线BC向右平移，至F点与B重合时停止．在平移过程中，设G点平移的距离为x ，两纸片重叠部分面积为y ，求在平移的整个过程中，y与x的函数关系式．

(3)、如图，在（1）的条件下，小明把该图形放在直角坐标系中，使B（G）为坐标原点BC为x轴，在x轴和y上分别找P，Q两点使△DPQ与△ABF相似，直接写出P点的坐标。

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22.

(1)、【探索发现】如图1，是一张直角三角形纸片， $∠ B = 90^{\circ}$ ，小明想从中剪出一个以 $∠ B$ 为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE、EF剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为.

(2)、【拓展应用】如图2，在 $△ ABC$ 中， $BC = a$ ，BC边上的高 $AD = h$ ，矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC上，顶点Q、M在边BC上，求出矩形PQMN面积的最大值 $($ 用含a、h的代数式表示 $)$ ；

(3)、【灵活应用】如图3，有一块“缺角矩形”ABCDE， $AB = 28$ ， $BC = 36$ ， $AE = 18$ ， $CD = 14$ ，小明从中剪出了一个面积最大的矩形 $(∠ B$ 为所剪出矩形的内角 $)$ ，直接写出该矩形的面积.

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x（场）	3	10	25
p（万元）	10.6	12	14.2