【提升卷】2.2二次函数的图象与性质—2023-2024学年北师大版九年级下册同步测试

试卷更新日期：2023-09-17 类型：同步测试

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一、选择题（每题2分，共20分）

1. 在平面直角坐标系中，如果把抛物线 $y = 2 x^{2}$ 向下平移3个单位得到一条新抛物线，那么下列关于这两条抛物线的描述中错误的是（）

A、开口方向相同； B、对称轴相同； C、顶点的横坐标相同； D、顶点的纵坐标相同．

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2. 对于抛物线 $y = - 2 (x - 1)^{2} + 3$ ，下列判断正确的是（）

A、抛物线的开口向上 B、抛物线的顶点坐标是 $(- 1 ， 3)$ C、对称轴为直线 $x = 1$ D、当 $x = 3$ 时， $y > 0$

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3. 关于抛物线 $C_{1}$ ： $y_{1} = 2 x^{2} - 1$ 与 $C_{2}$ ： $y_{2} = 2 {(x - 2)}^{2} - 3$ ，下列说法错误的是（）

A、两条抛物线的形状相同 B、抛物线 $C_{1}$ 通过平移可以与 $C_{2}$ 重合 C、抛物线 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的对称轴相同 D、两条抛物线均与x轴有两个交点

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4. 已知点（x₁ ， y₁），（x₂ ， y₂）为二次函数y=-x²图象上的两点（不为顶点），则以下判断正确的是（）

A、若x₁>x₂ ，则y₁>y₂ B、若x₁<x₂ ，则y₁<y₂ C、若： $x_{1} x_{2} < {(x_{2})}^{2}$ ，则y₁>y₂ D、若 $x_{1} x_{2} > {(x_{2})}^{2}$ ，则y₁<y₂

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5. 若分式 $\frac{1}{x^{2} - 2 x + m}$ 不论x取任何数总有意义，则m的取值范围是（）

A、 $m \geq 1$ B、 $m > 1$ C、 $m \leq 1$ D、 $m \neq 1$

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6. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $y = a x^{2} + b x (a \neq 0)$ ，满足 ${\begin{array}{l} 3 a + b > 0 \\ a + b < 0 \end{array}$ ，已知点 $(- 3 ， m)$ ， $(2 ， n)$ ， $(4 ， t)$ 在该抛物线上，则m，n，t的大小关系为（）

A、 $t < n < m$ B、 $m < t < n$ C、 $n < t < m$ D、 $n < m < t$

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7. 如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象与x轴的一个交点为 $(3 ， 0)$ ，对称轴是直线 $x = 1$ ，下列结论正确的是（）

A、 $a b c < 0$ B、 $2 a + b = 0$ C、 $4 a c > b^{2}$ D、点 $(- 2 ， 0)$ 在函数图象上

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8. 已知二次函数的表达式为 $y = - x^{2} - 2 x + 3$ ，将其图象向右平移 $k (k > 0)$ 个单位，得到二次函数 $y_{1} = m x^{2} + n x + q$ 的图象，使得当 $- 1 < x < 3$ 时， $y_{1}$ 随x增大而增大；当 $4 < x < 5$ 时， $y_{1}$ 随x增大而减小．则实数k的取值范围是（）

A、 $1 \leq k \leq 3$ B、 $2 \leq k \leq 3$ C、 $3 \leq k \leq 4$ D、 $4 \leq k \leq 5$

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9. 如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象与x轴交于 $A (- 2 ， 0)$ ， B两点，对称轴是直线 $x = 2$ ，下列结论中，① $a > 0$ ；②点B的坐标为 $(6 ， 0)$ ；③ $c = 3 b$ ；④对于任意实数m，都有 $4 a + 2 b \geq a m^{2} + b m$ ，所有正确结论的序号为（）

A、①② B、②③ C、②③④ D、③④

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10. 已知 $P_{1} (x_{1} ， y_{1}) ， P_{2} (x_{2} ， y_{2})$ 是抛物线 $y = a x^{2} + 4 a x + 3$ （a是常数， $a \neq 0)$ 上的点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴是直线 $x = - 2$ ；②点 $(0 ， 3)$ 在抛物线上；③若 $x_{1} > x_{2} > - 2$ ，则 $y_{1} > y_{2}$ ；④若 $y_{1} = y_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2} = - 2$ 其中，正确结论的个数为（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题（每题3分，共15分）

11. 将抛物线 $y = 3 (x + 2)^{2} - 1$ 向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，得到的抛物线的顶点坐标是．

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12. 一个二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是．

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13. 已知抛物线 $y = a x^{2} - 2 a x + b (a > 0)$ 经过 $A (2 n + 3 ， y_{1}) ， B (n - 1 ， y_{2})$ 两点，若 $A ， B$ 分别位于抛物线对称轴的两侧，且 $y_{1} < y_{2}$ ，则 $n$ 的取值范围是．

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14. 已知抛物线 $y = x^{2} - 2 a x + a - 1$ 图像上有 $A 、 B$ 两点，我们把 $A 、 B$ 两点间的图像记为图像 $G$ ，点 $A$ 的横坐标为 $a + 2$ ，点 $B$ 的横坐标为 $2 a + 1$ ，当 $- 3 \leq a \leq - 1$ 时，图像上最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为．

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15. 根据函数 $y = x^{2} 、 y = \frac{1}{x}$ 和 $y = x$ 的图像写出一个满足 $\frac{1}{x} > x > x^{2}$ 的值，那 $x$ 可能是.

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三、解答题（共8题，共65分）

16. 已知二次函数 $y = - \frac{1}{2} x^{2} - x + \frac{3}{2}$ .

(1)、在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象；

(2)、根据图象，写出当y＜0时，x的取值范围；

(3)、若将此图象沿x轴向右平移3个单位，请写出平移后图象所对应的函数关系式.

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17. 已知二次函数 $y = \frac{1}{4} x^{2} + x$ ．

(1)、确定该抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴；

(2)、当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，y随x的增大而减小？

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18. 如图，已知抛物线y＝-x²+mx+5与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（5，0）.

(1)、求m的值及抛物线的顶点坐标.

(2)、点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标.

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19. 如图，抛物线 $y = - x^{2} + 2 x + m + 1$ 交x轴于点 $A (a ， 0)$ 和 $B (b ， 0)$ ，交y轴于点C，抛物线的顶点为D．

(1)、当 $a = - 1$ 时，求b的值．

(2)、抛物线上有两点 $P (x_{1} ， y_{1})$ 和 $Q (x_{2} ， y_{2})$ ，若 $x_{1} < 1 < x_{2}$ ，且 $x_{1} + x_{2} > 2$ ，比较 $y_{1} ， y_{2}$ 的大小关系．

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20. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $M (x_{1} ， y_{1})$ ， $N (x_{2} ， y_{2})$ 是抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a > 0)$ 上任意两点，设抛物线的对称轴为 $x = t$ ．

(1)、若对于 $x_{1} = 1$ ， $x_{2} = 2$ 有 $y_{1} = y_{2}$ ，求 $t$ 的值；

(2)、若对于 $0 < x_{1} < 1$ ， $1 < x_{2} < 2$ ，都有 $y_{1} < y_{2}$ ，求 $t$ 的取值范围．

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21. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知抛物线 $y = a x^{2} - 4 a x + 3 a . (a$ 为常数， $a \neq 0)$

(1)、当 $a = 1$ 时，求抛物线的顶点坐标；

(2)、当 $a > 0$ 时，设抛物线与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点 $($ 点 $A$ 在点 $B$ 左侧 $)$ ，顶点为 $C$ ，若 $△ A B C$ 为等边三角形，求 $a$ 的值；

(3)、过 $T (0 ， t) ($ 其中 $- 1 \leq t \leq 2$ 且垂直 $y$ 轴的直线 $l$ 与抛物线交于 $M$ ， $N$ 两点 $.$ 若对于满足条件的任意 $t$ 值，线段 $M N$ 的长都不小于1，求 $a$ 的取值范围．

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22. 定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”，例如：点 $(1 ， 1)$ 是函数 $y = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2}$ 的图像的“等值点”.

(1)、分别判断函数 $y = x + 1$ ， $y = x^{2} - x$ 的图像上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；

(2)、设函数 $y = \frac{3}{x} (x > 0)$ ， $y = - x + b$ 的图像的“等值点”分别为点 $A$ ， $B$ ，过点 $B$ 作 $B C ⊥ x$ 轴，垂足为 $C$ .当 $△ A B C$ 的面积为3时，求 $b$ 的值；

(3)、若函数 $y = x^{2} - 2 (x \geq m)$ 的图像记为 $W_{1}$ ，将其沿直线 $x = m$ 翻折后的图像记为 $W_{2}$ ，当 $W_{1}$ ， $W_{2}$ 两部分组成的图像上恰有2个“等值点”时，直接写出 $m$ 的取值范围.

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23. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知抛物线 $y = x^{2} - 2 t x + 1$ ．

(1)、求该抛物线的对称轴（用含t的式子表示）；

(2)、若点 $M (t - 2 ， m)$ ， $N (t + 3 ， n)$ 在抛物线 $y = x^{2} - 2 t x + 1$ 上，试比较m，n的大小；

(3)、 $P (x_{1} ， y_{1})$ ， $Q (x_{2} ， y_{2})$ 是抛物线 $y = x^{2} - 2 t x + 1$ 上的任意两点，若对于 $- 1 \leq x_{1} < 3$ 且 $x_{2} = 3$ ，都有 $y_{1} \leq y_{2}$ ，求t的取值范围；

(4)、 $P (t + 1 ， y_{1})$ ， $Q (2 t - 4 ， y_{2})$ 是抛物线 $y = x^{2} - 2 t x + 1$ 上的两点，且均满足 $y_{1} \geq y_{2}$ ，求t的最大值．

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