【培优卷】2.2二次函数的图象与性质—2023-2024学年北师大版九年级下册同步测试

试卷更新日期：2023-09-17 类型：同步测试

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一、选择题（每题2分，共20分）

1. 如图，在平面直角坐标系中，直线 $y_{1} = m x + n$ 与抛物线 $y_{2} = a x^{2} + b x - 3$ 相交于点 $A$ ， $B$ ．结合图象，判断下列结论：①当 $- 2 < x < 3$ 时， $y_{1} > y_{2}$ ；② $x = 3$ 是方程 $a x^{2} + b x - 3 = 0$ 的一个解；③若 $(- 1 ， t_{1})$ ， $(4 ， t_{2})$ 是抛物线上的两点，则 $t_{1} < t_{2}$ ；④对于抛物线， $y_{2} = a x^{2} + b x - 3$ ，当 $- 2 < x < 3$ 时， $y_{2}$ 的取值范围是 $0 < y_{2} < 5$ ．其中正确结论的个数是（）

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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2. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象如图所示，对称轴是直线 $x = 1$ ，下列结论：① $a b c < 0$ ；②方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ （ $a \neq 0$ ）必有一个根大于2且小于3；③若 $(0 ， y_{1}) ， (\frac{3}{2} ， y_{2})$ 是抛物线上的两点，那么 $y_{1} < y_{2}$ ；④ $11 a + 2 c > 0$ ；⑤对于任意实数m，都有 $m (a m + b) \geq a + b$ ，其中正确结论的个数是（　　）

A、5 B、4 C、3 D、2

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3. 抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ （a，b，c为常数， $a > 0$ ）经过 $(0 ， 0)$ ， $(4 ， 0)$ 两点．则下列四个结论正确的有（）
① $4 a + b = 0$ ；② $5 a + 3 b + 2 c > 0$ ；③若该抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 与直线 $y = - 3$ 有交点，则a的取值范围是 $a \geq \frac{3}{4}$ ；④对于a的每一个确定值，如果一元二次方程 $a x^{2} + b x + c - t = 0$ （t为常数， $t \leq 0$ ）的根为整数，则t的值只有3个．

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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4. 已知反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 在第一象限内的图象与一次函数 $y = - x + b$ 的图象如图所示，则函数 $y = x^{2} - b x + k - 1$ 的图象可能为（）

A、 B、 C、 D、

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5. 规定：在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标均为整数的点为整点．对于题目：抛物线 $y = a x (x - 4) + m (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴分别交于 $M$ 、 $N$ 两点（点M在点N的左侧）， $M N ＝ 2$ ，线段 $M N$ 与抛物线围成的封闭区域记作 $G$ （包括边界），若区域 $G$ 内有6个整点，求 $a$ 的取值范围．则（）

A、 $3 \leq a < 4$ B、 $- 4 < a \leq - 3$ C、 $- 4 < a \leq - 3$ 或 $3 \leq a < 4$ D、 $- 4 < a < - 3$ 或 $3 \leq a < 4$

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6. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象如图所示，下列四个命题：① $a b c > 0$ ；② $2 a + b = 0$ ；③若 $A (x_{1} ， 2)$ ， $B (x_{2} ， 3)$ 是该抛物线上的两点，则 $x_{1} < x_{2}$ ；④若 $A (m ， y_{1})$ ， $B (2 - m ， y_{2})$ 是该抛物线上的两点，则 $y_{1} = y_{2}$ ；其中正确的结论有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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7. 规定二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的相关函数是 $y = {\begin{array}{l} a x^{2} + b x + c (x \geq 0) \\ - a x^{2} - b x - c (x < 0) \end{array}$ .已知点 $M$ ， $N$ 的坐标分别为 $(- \frac{1}{2} ， 1)$ ， $(\frac{9}{2} ， 1)$ ，连接 $M N$ ，若线段 $M N$ 与二次函数 $y = - x^{2} + 4 x + n$ 的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（）

A、 $- 3 < n \leq - 1$ 或 $1 < n \leq \frac{5}{4}$ B、 $- 3 < n < - 1$ 或 $1 \leq n \leq \frac{5}{4}$ C、 $n \leq - 1$ 或 $1 < n \leq \frac{5}{4}$ D、 $- 3 < n < - 1$ 或 $n \geq 1$

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8. 在下列函数图象上任取不同的两点P（x₁ ， y₁）， Q（x₂ ， y₂），一定能使 $\frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} < 0$ 的是（）

A、y= $- \frac{2}{x}$ （x>0） B、y=-（x-2）²+5（x≥0） C、y=（x-3）²-4（x<0） D、y=3x+7

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9. 如图，抛物线y= $\frac{1}{2}$ x²-2x+c与x轴交于点A，B两点，与y轴负半轴交于点C，其顶点为M，点D，E分别是AB，BM的中点，若△DEB与△ACD的面积比为9：10，则c的值为（）

A、 $- \frac{3}{2}$ B、-2 C、 $- \frac{5}{2}$ D、-3

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10. 已知函数y＝﹣x²+2ax，当x≤2时，函数值随x增大而增大，且对任意的1≤x₁≤a+1和1≤x₂≤a+1，x₁、x₂相应的函数值y₁、y₂总满足|y₁﹣y₂|≤16，则实数a的取值范围是（）

A、2≤a≤5 B、﹣3≤a≤5 C、a≥2 D、2≤a≤3

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二、填空题（每题3分，共15分）

11. 定义：若一个函数图象上存在横纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点 $(- 1 ， - 1)$ 是函数 $y = 2 x + 1$ 的图象的“等值点”．若函数 $y = x^{2} - 2 (x \geq m)$ 的图象记为 $W_{1}$ ，将其沿直线 $x = m$ 翻折后的图象记为 $W_{2}$ ．当 $W_{1}$ 、 $W_{2}$ 两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时， $m$ 的取值范围为．

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12. 如图，点A是抛物线 $y = x^{2} - 4 x$ 对称轴上的一点，连接OA，以A为旋转中心将AO逆时针旋转90°得到AO′，当O′恰好落在抛物线上时，则三角形OAO′的面积为．

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13. 已知二次函数y₁＝2x²-8x+3的图象与y轴交于点A，过点A的直线y₂＝kx+b与二次函数的图象交于另一点B（B在A的右侧），点P（m，n）在直线下方的二次函数图象上（包括端点A，B），若n的最大值与最小值的和为1，则点B的横坐标为．

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14. 抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} x$ 的图象如图所示，点A₁ ， A₂ ， A₃ ， A₄…，A₂₀₂₂在抛物线第一象限的图象上，点B₁ ， B₂ ， B₃ ， B₄^. ．．，B₂₀₂₂在y轴的正半轴上， $△ O A_{1} B_{1}$ 、 $△ B_{1} A_{2} B_{2}$ 、…、 $△ B_{2021} A_{2022} B_{2022}$ 都是等腰直角三角形，则 $B_{2021} A_{2022} =$ ．

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15. 如图，“心”形是由抛物线 $y = - x^{2} + 6$ 和它绕着原点O ，顺时针旋转60°的图形经过取舍而成的，其中顶点C的对应点为D ，点A ， B是两条抛物线的两个交点，点E ， F ， G是抛物线与坐标轴的交点，则AB= ．

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三、解答题（共7题，共65分）

16. 如图，在平而直角坐标系中，二次函数 $y = - \sqrt{3} x^{2} + 2 \sqrt{3} x$ 的图象与 $x$ 轴分别交于点 $O ， A$ ，顶点为 $B$ ．连接 $O B ， A B$ ，将线段 $A B$ 绕点 $A$ 按顺时针方向旋转 $60 °$ 得到线段 $A C$ ，连接 $B C$ ．点 $D ， E$ 分别在线段 $O B ， B C$ 上，连接 $A D ， D E ， E A ， D E$ 与 $A B$ 交于点 $F ， ∠ D E A = 60 °$ ．

(1)、求点 $A ， B$ 的坐标；

(2)、随着点 $E$ 线段 $B C$ 上运动．
① $∠ E D A$ 的大小是否发生变化？请说明理由；

②线段 $B F$ 的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由；

(3)、当线段 $D E$ 的中点在该二次函数的因象的对称轴上时， $△ B D E$ 的面积为．

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17. 如图，二次函数 $y = - x^{2} + 4 x$ 的图象与 $x$ 轴的正半轴交于点A，经过点A的直线与该函数图象交于点 $B (1 ， 3)$ ，与 $y$ 轴交于点C．

(1)、求直线 $A B$ 的函数表达式及点C的坐标；

(2)、点 $P$ 是第一象限内二次函数图象上的一个动点，过点 $P$ 作直线 $P E ⊥ x$ 轴于点 $E$ ，与直线 $A B$ 交于点D，设点 $P$ 的横坐标为 $m$ ．
①当 $P D = \frac{1}{2} O C$ 时，求 $m$ 的值；

②当点 $P$ 在直线 $A B$ 上方时，连接 $O P$ ，过点 $B$ 作 $B Q ⊥ x$ 轴于点 $Q$ ， $B Q$ 与 $O P$ 交于点 $F$ ，连接 $D F$ ．设四边形 $F Q E D$ 的面积为 $S$ ，求 $S$ 关于 $m$ 的函数表达式，并求出S的最大值．

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18. 如图，抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 与y轴交于点 $A (0 ， - \frac{1}{2})$ ，顶点坐标为 $B (- \frac{1}{2} ， - \frac{3}{4})$ ， C是x轴上一动点．

(1)、求b，c的值．

(2)、当 $△ A B C$ 周长最小时，求点C的坐标．

(3)、设m是抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 与x轴的交点的横坐标，求 $6 m^{5} + 10 m^{4} + 3 m^{3} + 2 m^{2} + m - 2023$ 的值．

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19. 抛物线 $y = x^{2} - 2 x - 3$ 交x轴于A，B两点（A在B的左边），C是第一象限抛物线上一点，直线 $A C$ 交y轴于点P．

(1)、直接写出A，B两点的坐标；

(2)、如图①，当 $O P = O A$ 时，在抛物线上存在点D（异于点B），使B，D两点到 $A C$ 的距离相等，求出所有满足条件的点D的横坐标；

(3)、如图②，直线 $B P$ 交抛物线于另一点E，连接 $C E$ 交y轴于点F，点C的横坐标为m，求 $\frac{F P}{O P}$ 的值（用含m的式子表示）．

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20. 如图，抛物线 $y = - x^{2} + 2 x + 3$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ，点 $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，点 $D$ 与点 $C$ 关于 $x$ 轴对称，点 $P$ 是抛物线上的一个动点.

(1)、求直线 $B D$ 的解析式；

(2)、当点 $P$ 在第一象限时，求四边形 $B O C P$ 面积的最大值，并求出此时 $P$ 点的坐标；

(3)、在点 $P$ 的运动过程中，是否存在点 $P$ ，使 $△ B D P$ 是以 $B D$ 为直角边的直角三角形？若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

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21. 如图，二次函数 $y = \frac{1}{2} x^{2} + b x - 4$ 的图象与x轴相交于点 $A (- 2 ， 0) 、 B$ ，其顶点是C ．

(1)、 $b =$ ；

(2)、D是第三象限抛物线上的一点，连接OD ， $t a n ∠ A O D = \frac{5}{2}$ ；将原抛物线向左平移，使得平移后的抛物线经过点D ，过点 $(k ， 0)$ 作x轴的垂线l ．已知在l的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，求k的取值范围；

(3)、将原抛物线平移，平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q ，且其顶点P落在原抛物线上，连接PC、QC、PQ ．已知 $△ P C Q$ 是直角三角形，求点P的坐标．

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22. 如图

(1)、【特例感知】如图23-1，对于抛物线 $y_{1} = - x^{2} - x + 1 ， y_{2} = - x^{2} - 2 x + 1 ， y_{3} = - x^{2} - 3 x + 1$ ，下列结论正确的序号是
①抛物线 $y_{1} ， y_{2} ， y_{3}$ 都经过点 $C (0 ， 1)$ ；

②抛物线 $y_{2} ， y_{3}$ 的对称轴由拋物线 $y_{1}$ 的对称轴依次向左平移 $\frac{1}{2}$ 个单位得到；

③抛物线 $y_{1} ， y_{2} ， y_{3}$ 与直线 $y = 1$ 的交点中，相邻两点之间的距离相等.

(2)、
【形成概念】把满足 $y_{n} = - x^{2} - n x + 1$ ( $n$ 为正整数)的抛物线称为“系列平移抛物线”.
【知识应用】在(2)中，如图 $23 - 2$ .
①“系列平移抛物线”的顶点依次为 $P_{1} ， P_{2} ， P_{3} ， ⋯ ， P_{n}$ ，用含n的代数式表示顶点P_n的坐标，并写出该顶点纵坐标y与横坐标x之间的关系式；

②“系列平移拔物线”存在“系列整数点(横、纵坐标均为整数的点)”： $C_{1}$ ， $C_{2} ， C_{3} ， ⋯ ， C_{n}$ ，其横坐标分别为： $- k - 1 ， - k - 2 ， - k - 3 ， ⋯ ， - k - n (k$ 为正整数)，判断相邻两点之间的距离是否都相等，若相等，请求出相邻两点之间的距离；若不相等，说明理由.

③在②中，直线 $y = 1$ 分别交“系列平移抛物线”于点 $A_{1} ， A_{2} ， A_{3} ⋯ A_{n}$ ，连接 $C_{n} A_{n} ， C_{n - 1} A_{n - 1}$ ，判断直线 $C_{n} A_{n} ， C_{n - 1} A_{n - 1}$ 是否平行?请直接写出判断结果.

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