【基础卷】2.2二次函数的图象与性质—2023-2024学年北师大版九年级下册同步测试

试卷更新日期：2023-09-17 类型：同步测试

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 抛物线 $y = - x^{2} + 1$ 的对称轴是（）

A、直线 $x = - 1$ B、直线 $x = 0$ C、直线 $x = 1$ D、直线 $x = \frac{1}{2}$

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2. 若点 $(- 1 ， a)$ ， $(3 ， b)$ 都在二次函数 $y = x^{2}$ 的图象上，则a与b的大小关系是（）

A、 $a < b$ B、 $a > b$ C、 $a = b$ D、无法确定

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3. 抛物线 $y = (x - 2)_{}^{2} - 1$ 的顶点坐标是（）

A、（-2，1） B、（-2，-1） C、（2，1） D、（2，-1）

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4. 已知 $A (0 ， y_{1})$ ， $B (3 ， y_{2})$ 为抛物线 $y = {(x - 2)}^{2}$ 上的两点，则 $y_{1}$ 与 $y_{2}$ 的大小关系是（）

A、 $y_{1} > y_{2}$ B、 $y_{1} = y_{2}$ C、 $y_{1} < y_{2}$ D、无法确定

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5. 关于抛物线 $y = \frac{1}{2} {(x + 2)}^{2} + 3$ ，下列说法正确的是（）

A、对称轴是直线 $x = 2$ ， $y$ 有最小值是3 B、对称轴是直线 $x = - 2$ ， $y$ 有最大值是3 C、对称轴是直线 $x = 2$ ， $y$ 有最大值是3 D、对称轴是直线 $x = - 2$ ， $y$ 有最小值是3

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6. 二次函数y＝x²-2x+3的图象的顶点坐标是（）

A、（1，6） B、（1，2） C、（-1，6） D、（-1，2）

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7. 关于x的二次函数 $y = - x^{2} + (a - 2) x - 3$ 在y轴右侧y随x的增大而减小，则a的范围为（）

A、 $a < 2$ B、 $a \leq 2$ C、 $a > 2$ D、 $a = 2$

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8. 二次函数 $y = x^{2} - b x + b$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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9. 在平面直角坐标系中，将二次函数 $y = (x + 1)^{2} + 3$ 的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为（）

A、 $y = (x + 3)^{2} + 2$ B、 $y = (x - 1)^{2} + 2$ C、 $y = (x - 1)^{2} + 4$ D、 $y = (x + 3)^{2} + 4$

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10. 已知点 $A (- 1 ， m) ， B (3 ， m)$ 两点均在二次函数 $y = x^{2} + b x - 3$ 的图象上，则b的值为（）

A、 $- 2$ B、2 C、 $- 4$ D、4

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二、填空题（每题3分，共15分）

11. 抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + 1$ 在 $y$ 轴的右侧呈趋势（填“上升”或者“下降”）．

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12. 抛物线 $y = - {(x - 1)}^{2} + 2$ 的对称轴是．

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13. 二次函数 $y = x^{2} - x + a + 1$ 的图象经过原点，则a的值为．

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14. 如果抛物线 $y = a x^{2} - 3$ 的顶点是它的最高点，那么a的取值范围是．

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15. 抛物线 $y = x^{2}$ 向左平移1个单位，所得的新抛物线的解析式为．

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三、解答题（共8题，共55分）

16. 已知点 $(- 2 ， y_{1})$ ， $(3 ， y_{2})$ 在抛物线 $y = x^{2} - 2 x + c$ 上，比较 $y_{1}$ ， $y_{2}$ 的大小．

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17. 求抛物线y＝ $\frac{1}{2}$ x²﹣x＋1在﹣2≤x≤2的最大值与最小值．

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18. 指出函数y= $- \frac{1}{2} {(x + 1)}^{2} - 1$ 的图象的开口方向、对称轴和顶点，怎样移动抛物线y=- $\frac{1}{2}$ x²就可以得到抛物线y= $- \frac{1}{2} {(x + 1)}^{2} - 1$ ？

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19. 把二次函数y＝x²+bx+c的图象向下平移1个单位长度，再向左平移5个单位长度，所得的抛物线顶点坐标为（﹣3，2），求原抛物线相应的函数表达式.

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20. 已知二次函数 $y = x^{2} - 1$ ．

(1)、在平面直角坐标系中画出该二次函数的图象；

(2)、若函数图象与 $x$ 轴交于A、B两点，与 $y$ 轴交于C点，求∆ABC的面积．

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21. 已知点 $(k ， 1)$ 是二次函数 $y = 3 x^{2} - 2 x$ 图象上一点，求代数式 ${(k - 1)}^{2} + 2 (k + 1) (k - 1) + 8$ 的值．

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22. 已知 $y_{1} = 2 x^{2}$ ，请写出一个二次函数 $y_{2}$ 同时满足以下两个条件：
①与 $y_{1}$ 函数图象开口大小、方向相同；
②当 $x > 1$ 时，y随x的增大而增大.

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23. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $y = x^{2} - 2 a x + 1$ ．

(1)、若 $a = 1$ ，当 $0 \leq x \leq 3$ 时，求函数 $y = x^{2} - 2 a x + 1$ 的最大值和最小值；

(2)、若抛物线上有且只有3个点到直线 $y = 2$ 的距离等于 $5$ ，求a的值；

(3)、若抛物线上存在两点 $A (a - 1 ， y_{1})$ 和 $B (a + 2 ， y_{2})$ ，当 $y_{1} \cdot y_{2} < 0$ 时，求a的取值范围．

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