【提升卷】1.5三角函数的应用—2023-2024学年北师大版九年级下册同步测试

试卷更新日期：2023-09-17 类型：同步测试

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 如图，一把梯子 $A B$ 斜靠在墙上，端点A离地面的高度 $A C$ 长为 $1 m$ 时， $∠ A B C = 45 °$ .当梯子底端点B沿水平方向向左移动到点 $B^{'}$ ，端点A沿墙竖直向上移动到点 $A^{'}$ ，设 $∠ A^{'} B^{'} C = α$ ，则 $A A^{'}$ 的长可以表示为（）

A、 $\sqrt{2} s i n α$ B、 $\sqrt{2} s i n α - 1$ C、 $\sqrt{2} c o s α - 1$ D、 $\sqrt{2} t a n α - 1$

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2. 图1是一地铁站入口的双翼闸机，双翼展开时示意图如图2所示，它是一个轴对称图形， $A C = 40 c m$ ，则双翼边缘端点C与D之间的距离为（）

A、 $(60 - 40 c o s α) c m$ B、 $(60 - 40 s i n α) c m$ C、 $(60 - 80 c o s α) c m$ D、 $(60 - 80 s i n α) c m$

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3. 一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，已知 $B C = 6 m$ ， $∠ A B C = α$ ，则房顶A离地面 $E F$ 的高度为（）

A、 $(4 + 3 s i n α) m$ B、 $(4 + 3 t a n α) m$ C、 $(4 + \frac{3}{s i n α}) m$ D、 $(4 + \frac{3}{t a n a}) m$

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4. 某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，如图1所示，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的联结点．当车辆经过时，栏杆AEF最多只能升起到如图2所示的位置，其示意图如图3所示（栏杆宽度忽略不计），其中AB⊥BC，EF∥BC，∠AEF＝143°，AB＝AE＝1.2米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为（　　）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

A、 B、 C、 D、

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5. 如图，直立于地面上的电线杆 $A B$ ，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是 $B C$ 、 $C D$ ，坡面的坡度 $t = 1 ： \sqrt{3}$ ，测得 $B C = 6$ 米， $C D = 4$ 米，在D处测得电线杆顶端A的仰角为 $30 °$ ，则电线杆 $A B$ 的高度为（）米.

A、 $2 + 2 \sqrt{3}$ B、 $4 + 2 \sqrt{3}$ C、 $2 + 3 \sqrt{2}$ D、 $4 + 3 \sqrt{2}$

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6. 如图，这是某拦河坝改造前后河床的横断面示意图， $A D ∥ B C$ ，坝高 $D C = 8 m$ ，将原坡度 $i = 1 ： 0.25$ 的迎水坡面 $A B$ 改为坡角为 $60 °$ 的斜坡 $E B$ ，此时，河坝面宽减少的长度 $A E$ 等于（）（结果精确到 $0.1 m$ ，参考数据 $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）

A、 $2.2 m$ B、 $2.6 m$ C、 $3.2 m$ D、 $3.6 m$

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7. 如图2，在两建筑物之间有一旗杆，高15米，从点A经过旗杆顶点恰好可观测到矮建筑物的最底端点C处，从点A测得点C的俯角α为60°，测得点D的俯角β为30°，若旗杆底部G为BC的中点，则，矮建筑物的高CD为（）

A、18米 B、20米 C、10 $\sqrt{3}$ 米 D、(45-15 $\sqrt{3}$ )米

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8. 在综合实践课上，某班同学测量校园内一棵树的高度．如图，测量仪在A处测得树顶D的仰角为45°，在C处测得树顶D的仰角为37°（点A、B、C在同一条水平主线上），已知测量仪的高度 $A E = C F = 1.65$ 米， $A C = 28$ 米，则树BD的高度是（）【参考数据： $s i n 37 ° \approx 0.60$ ， $c o s 37 ° \approx 0.80$ ， $t a n 37 ° \approx 0.75$ 】

A、12米 B、12.65米 C、13米 D、13.65米

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9. 如图，小明在C处看到西北方向上有一凉亭A，北偏东35°的方向上有一棵大树B，已知凉亭A在大树B的正西方向，若 $B C = 50$ 米，则AB的长等于（）

A、 $\frac{50}{s i n 35 °} - \frac{50}{c o s 35 °}$ B、 $\frac{50}{s i n 35 °} + \frac{50}{c o s 35 °}$ C、 $50 (c o s 35 ° - s i n 35 °)$ D、 $50 (c o s 35 ° + s i n 35 °)$

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10. 某驱逐舰在海上执行任务后刚返回到港口A，接到上级指令，发现在其北偏东 $30 °$ 方向上有一艘可疑船只C，与此同时在港口A处北偏东 $60 °$ 方向上且距离 $10 k m$ 处有另一艘驱逐舰B也收到了相关指令，驱逐舰B恰好在可疑船只C的南偏东 $30 °$ 的方向上，则可疑船只C距离港口A的距离为（　　）

A、 $\frac{5 \sqrt{3}}{3} k m$ B、 $\frac{10 \sqrt{3}}{3} k m$ C、 $\frac{20 \sqrt{3}}{3} k m$ D、 $10 \sqrt{3} k m$

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二、填空题（每题3分，共15分）

11. 一艘在南北航线上的测量船，在点A处测得海岛B在点A的南偏东30°方向，继续向南航行30海里到达点C时，测得海岛B在点C的北偏东45°方向，那么海岛B离此航线的最近距离是（结果保留整数）．（参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.732$ ， $\sqrt{2} \approx 1.414$ ）

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12. 如图，轮船B在码头A的正东方向，与码头A的距离为100海里，轮船B向北航行40海里到达C处时，接到D处一艘渔船发来的求救信号，于是沿北偏西45°方向航行到D处，解教渔船后轮船沿南偏西82°返回到码头A，那么码头A与D的距离为海里．（结果保留整数，参考数据： $s i n 32 ° \approx 0.5$ ， $c o s 32 ° \approx 0.8$ ， $t a n 32 ° \approx 0.6$ ．）

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13. 综合实践课上，航模小组用航拍无人机进行测高实践．如图，无人机从地面 $C D$ 的中点A处竖直上升30米到达B处，测得博雅楼顶部E的俯角为 $45 °$ ，尚美楼顶部F的俯角为 $30 °$ ，已知博雅楼高度 $C E$ 为15米，则尚美楼高度 $D F$ 为米．（结果保留根号）

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14. 某水上乐园在一平地推出了“急流勇进”的项目，项目有两条斜坡滑道以满足不同的难度需求，游客可以乘坐垂直升降电梯 $A B$ 自由上下选择项目难度．其中斜坡轨道 $B C$ 的坡度为 $i = 5 ： 12$ ， $B C = 13$ 米， $C D = 16$ 米， $∠ D = 32 °$ （其中点A、B、C、D均在同一平面内），则垂直升降电梯 $A B$ 的高度约为米．（参考数据： $s i n 32 ° \approx 0.530$ ， $c o s 32 ° \approx 0.848$ ， $t a n 32 ° \approx 0.625$ ）

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15. 如图，某数学活动小组为测量学校旗杆AB的高度，从旗杆正前方 $2 \sqrt{3}$ 米处的点C出发，沿斜面坡度 $i = 1 ： \sqrt{3}$ 的斜坡CD前进4米到达点D，在点D处安置测角仪，测得旗杆顶部A的仰角为37°，量得仪器的高DE为1.5米．已知A、B、C、D、E在同一平面内，AB⊥BC，AB∥DE．旗杆AB的高度为米．（参考数据： $s i n 37 ° \approx \frac{3}{5} ， c o s 37 ° \approx \frac{4}{5} ， t a n 37 ° \approx \frac{3}{4}$ ．计算结果保留根号）

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三、解答题（共7题，共55分）

16. 小王同学学习了锐角三角函数后，通过观察广场的台阶与信号塔之间的相对位置，他认为利用台阶的可测数据与在点 $A$ ， $B$ 处测出点 $D$ 的仰角度数，可以求出信号塔 $D E$ 的高．如图， $A B$ 的长为 $5 m$ ，高 $B C$ 为 $3 m$ ．他在点 $A$ 处测得点 $D$ 的仰角为 $45 °$ ，在点 $B$ 处测得点 $D$ 的仰角为 $38.7 °$ ， $A ， B ， C ， D ， E$ 在同一平面内．你认为小王同学能求出信号塔 $D E$ 的高吗？若能，请求出信号塔 $D E$ 的高；若不能，请说明理由．（参考数据： $s i n 38.7 ° \approx 0.625$ ， $c o s 38.7 ° \approx 0.780$ ， $t a n 38.7 ° \approx 0.80$ ，结果保留整数）

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17. 为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到素质教育基地A和科技智能馆B参观学习，学生从学校出发，走到C处时，发现A位于C的北偏西 $25 °$ 方向上，B位于C的北偏西 $55 °$ 方向上，老师将学生分成甲乙两组，甲组前往A地，乙组前往B地，已知B在A的南偏西 $20 °$ 方向上，且相距1000米，请求出甲组同学比乙组同学大约多走多远的路程（参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.41$ ， $\sqrt{6} \approx 2.45$ ）

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18. 为了增强学生体质、针炼学生意志，某校组织一次定向越野拉练活动.如图，A点为出发点，途中设置两个检查点，分别为 $B$ 点和 $C$ 点，行进路线为 $A \to B \to C \to A$ . $B$ 点在 $A$ 点的南偏东 $2 5^{°}$ 方向 $3 \sqrt{2} k m$ 处， $C$ 点在 $A$ 点的北偏东 $8 0^{°}$ 方向，行进路线AB和BC所在直线的夹角 $∠ A B C$ 为 $4 5^{°}$ .
⑴求行进路线BC和CA所在直线的夹角 $∠ B C A$ 的度数；

⑵求检查点 $B$ 和 $C$ 之间的距离(结果保留根号).

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19. 贵州旅游资源丰富．某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图①景区内修建观光索道．设计示意图如图②所示，以山脚 $A$ 为起点，沿途修建 $A B$ 、 $C D$ 两段长度相等的观光索道，最终到达山顶 $D$ 处，中途设计了一段与 $A F$ 平行的观光平台 $B C$ 为 $50 m$ ．索道 $A B$ 与 $A F$ 的夹角为 $15 °$ ， $C D$ 与水平线夹角为 $45 °$ ， $A 、 B$ 两处的水平距离 $A E$ 为 $576 m$ ， $D F ⊥ A F$ ，垂足为点 $F$ ．（图中所有点都在同一平面内，点 $A 、 E 、 F$ 在同一水平线上）

(1)、求索道 $A B$ 的长（结果精确到 $1 m$ ）；

(2)、求水平距离 $A F$ 的长（结果精确到 $1 m$ ）．
（参考数据： $s i n 15 ° \approx 0.25$ ， $c o s 15 ° \approx 0.96$ ， $t a n 15 ° \approx 0.26$ ， $\sqrt{2} \approx 1.41$ ）

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20. “一缕清风银叶转”，某市20台风机依次矗立在云遮雾绕的山脊之上，风叶转动，风能就能转换成电能，造福千家万户．某中学初三数学兴趣小组，为测量风叶的长度进行了实地测量．如图，三片风叶两两所成的角为 $120 °$ ，当其中一片风叶 $O B$ 与塔干 $O D$ 叠合时，在与塔底D水平距离为60米的E处，测得塔顶部O的仰角 $∠ O E D = 45 °$ ，风叶 $O A$ 的视角 $∠ O E A = 30 °$ ．

(1)、已知α，β两角和的余弦公式为： $c o s (α + β) = c o s α c o s β - s i n α s i n β$ ，请利用公式计算 $c o s 75 °$ ；

(2)、求风叶 $O A$ 的长度．

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21. 阅读下列材料，回答问题

任务：测量一个扁平状的小水池的最大宽度，该水池东西走向的最大度 $A B$ 远大于南北走向的最大宽度，如图1．

工具：一把皮尺（测量长度略小于 $A B$ ）和一台测角仪，如图2．皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度）；测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点 $O$ 处，对其视线可及的 $P ， Q$ 两点，可测得 $∠ P O Q$ 的大小，如图3．

小明利用皮尺测量，求出了小水池的最大宽度 $A B$ ，其测量及求解过程如下：测量过程：

（ⅰ）在小水池外选点 $C$ ，如图4，测得 $A C = a m ， B C = b m$ ；

（ⅱ）分别在 $A C ， B C$ 上测得 $C M = \frac{a}{3} m ， C N = \frac{b}{3} m$ ；测得 $M N = c m$ ．求解过程：

由测量知， $A C = a ， B C = b ， C M = \frac{a}{3} ， C N = \frac{b}{3}$ ，

$∴ \frac{C M}{C A} = \frac{C N}{C B} = \frac{1}{3}$ ，又 $∵$ ①____，

$∴ △ C M N ∽ △ C A B ， ∴ \frac{M N}{A B} = \frac{1}{3}$ ．

又 $∵ M N = c ， ∴ A B =$ ②____（ $m)$ ．

故小水池的最大宽度为____ $m$ ．

(1)、补全小明求解过程中①②所缺的内容；

(2)、小明求得

A B

用到的几何知识是；

(3)、小明仅利用皮尺，通过5次测量，求得

A B

．请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，并利用解直角三角形的知识求小水池的最大宽度

A B

，写出你的测量及求解过程．

要求：测量得到的长度用字母 $a ， b ， c ⋯$ 表示，角度用 $α ， β ， γ ⋯$ 表示；测量次数不超过4次（测量的几何量能求出 $A B$ ，且测量的次数最少，才能得满分）．

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22. 【问题背景】由光的反射定律知：反射角等于入射角（如图，即 $∠ C E F = ∠ A E F$ ）．小军测量某建筑物高度的方法如下：在地面点E处平放一面镜子，经调整自己位置后，在点D处恰好通过镜子看到建筑物AB的顶端A ．经测得，小军的眼睛离地面的距离 $C D = 1.7 m$ ， $B E = 20 m$ ， $D E = 2 m$ ，求建筑物AB的高度．

【活动探究】

观察小军的操作后，小明提出了一个测量广告牌高度的做法（如图）：他让小军站在点D处不动，将镜子移动至 $E_{1}$ 处，小军恰好通过镜子看到广告牌顶端G ，测出 $D E_{1} = 2 m$ ；再将镜子移动至 $E_{2}$ 处，恰好通过镜子看到广告牌的底端A ，测出 $D E_{2} = 3.4 m$ ．经测得，小军的眼睛离地面距离 $C D = 1.7 m$ ， $B D = 10 m$ ，求这个广告牌AG的高度．

【应用拓展】

小军和小明讨论后，发现用此方法也可测量出斜坡上信号塔AB的高度．他们给出了如下测量步骤（如图）：①让小军站在斜坡的底端D处不动（小军眼睛离地面距离 $C D = 1.7 m$ ），小明通过移动镜子（镜子平放在坡面上）位置至E处，让小军恰好能看到塔顶B；②测出 $D E = 2.8 m$ ；③测出坡长 $A D = 17 m$ ；④测出坡比为 $8 ： 15$ （即 $t a n ∠ A D G = \frac{8}{15}$ ）．通过他们给出的方案，请你算出信号塔AB的高度（结果保留整数）．

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