【培优卷】1.5三角函数的应用—2023-2024学年北师大版九年级下册同步测试

试卷更新日期：2023-09-17 类型：同步测试

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 图中的梯形ABCD是水坝的一个截面图，阴影部分是外坡面土方的部分．其中 $A D ∥ B C$ ， $∠ C = 9 0^{o}$ ， $∠ B = 45^{o}$ ， $∠ D E C = 60^{o}$ ， $A B = 10 \sqrt{6}$ m，AD＝5m，则坝底外坡面土方的水平宽度BE长为（）

A、 $10 \sqrt{3}$ m B、 $(10 \sqrt{3} - 5)$ m C、 $(10 \sqrt{3} + 5)$ m D、 $(5 \sqrt{3} + 5)$ m

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2. 如图，在大楼AB正前方有一斜坡CD，坡角∠DCE=30°，楼高AB=60米，在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A，C，E在同一直线上.则斜坡CD的长度为（）.

A、 $80 \sqrt{3} - 120$ B、 $40 \sqrt{3} - 60$ C、 $120 - 60 \sqrt{3}$ D、 $120 - 40 \sqrt{3}$

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3. 数学兴趣小组利用无人机测量学校旗杆高度，已知无人机的飞行高度为37米，当无人机与旗杆的水平距离是45米时，观测旗杆顶部的俯角为 $30 °$ ，则旗杆的高度约为（）

A、 $15 \sqrt{3}$ 米 B、 $(37 - 15 \sqrt{3}) 米$ C、 $(45 - 15 \sqrt{3}) 米$ D、22.5米

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4. $2022$ 年 $4$ 月 $16$ 日，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，神舟十三号载人飞行任务收得圆满成功，中国航天，又站在了一个新的起点.如图 $2021$ 年 $10$ 月 $16$ 日，神舟十三号载人飞船从地面 $О$ 处成功发射，当飞船到达点 $A$ 时，地面 $D$ 处的雷达站测得 $A D = 4000$ 米，仰角为 $30 °$ ， $3$ 秒后，飞船直线上升到达点 $B$ 处，此时地面 $C$ 处的雷达站测得 $B$ 处的仰角为 $45 °$ .点 $O$ ， $C$ ， $D$ 在同一直线上，已知 $C$ ， $D$ 两处相距 $460$ 米，则飞船从 $A$ 到 $B$ 处的平均速度为（）米 $/$ 秒.（结果精确到 $1$ 米；参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.732$ ， $\sqrt{2} \approx 1.414$ ）

A、336 B、335 C、334 D、333

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5. 如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西 $70 °$ 方向上，轮船从A处以每小时40海里的速度沿南偏西 $50 °$ 方向匀速航行，1小时后到达码头B处，此时，观测灯塔C位于北偏西 $25 °$ 方向上，则下列说法正确的是（）

A、 $∠ C B A = 85 °$ B、点B到 $A C$ 的距离为 $20 \sqrt{2}$ 海里 C、 $B C = 20 \sqrt{6}$ 海里 D、点B在点C的南偏东 $65 °$ 的方向上

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6. 最近央视纪录片《航拍中国》中各地的美景震撼了全国观众，如图是航拍无人机从A点俯拍在坡比为3：4的斜坡CD上的景点C，此时的俯角为30°，为取得更震撼的拍摄效果，无人机升高200米到达B点，此时的俯角变为45°．已知无人机与斜坡CD的坡底D的水平距离DE为400米，则斜坡CD的长度为（）米（精确到0.1米，参考数据： $\sqrt{2}$ ≈1.41， $\sqrt{3}$ ≈1.73）

A、91.1 B、91.3 C、58.2 D、58.4

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7. 如图， $△ A B C$ 中， $A B = A C = 10$ ， $t a n A = 3$ ， $B D ⊥ A C$ 于点 $D$ ，若点 $E$ 是线段 $B D$ 上一动点，则 $C E + \frac{\sqrt{10}}{10} B E$ 的最小值为（）

A、 $3 \sqrt{10}$ B、 $\frac{3 \sqrt{10}}{2}$ C、 $5 \sqrt{3}$ D、 $10$

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8. 如图，在观测站O处测得船A和灯塔B分别位于正东方向和北偏东60°方向，灯塔B位于船A的北偏东15°方向4海里处，若船A向正东航行，则船A离灯塔B的最近距离是（）

A、（ $\sqrt{2}$ + $\sqrt{6}$ ）海里 B、2 $\sqrt{3}$ 海里 C、（ $\sqrt{3}$ +1）海里 D、2 $\sqrt{2}$ 海里

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9. 一艘在南北航线上的测量船，于A点处测得海岛B在点A的南偏东30°方向，继续向南航行30海里到达C点时，测得海岛B在C点的北偏东15°方向，那么海岛B离此航线的最近距离是（）（结果保留小数点后两位）（参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.732 ， \sqrt{2} \approx 1.414$ ）

A、4.64海里 B、5.49海里 C、6.12海里 D、6.21海里

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10. 一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点B₁在y轴上，顶点C₁ ， E₁ ， E₂ ， C₂ ， E₃ ， E₄ ， C₃…在x轴上，已知正方形A₁B₁C₁D₁的边长为1，∠B₁C₁O=60°，B₁C₁∥B₂C₂∥B₃C₃…则正方形A₂₀₁₈B₂₀₁₈C₂₀₁₈D₂₀₁₈的边长是（）

A、（ $\frac{1}{2}$ ）²⁰¹⁷ B、（ $\frac{1}{2}$ ）²⁰¹⁶ C、（ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ）²⁰¹⁷ D、（ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ）²⁰¹⁶

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二、填空题（每题3分，共15分）

11. 图1所示是一种单臂篮球架，其侧面示意图如图2所示，其中支架AB垂直于地面BE ，支架AC与AB的夹角为115°，篮筐DP与支架PC都平行于地面BE ．现已知AB=2.50米，CA=1.30米，则篮筐DP距离地面的高度为米．（精确到0.01米．参考数据：sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47）

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12. 图1是某折叠式靠背椅实物图，图2是椅子打开时的侧面示意图，椅面CE与地面平行，支撑杆AD，BC可绕连接点O转动，且 $O A = O B$ ，椅面底部有一根可以绕点H转动的连杆HD，点H是CD的中点，FA，EB均与地面垂直，测得FA=54cm，EB=45cm，AB=48cm.

(1)、椅面CE的长度为cm.

(2)、如图3，椅子折叠时，连杆HD绕着支点H带动支撑杆AD，BC转动合拢，椅面和连杆夹角∠CHD的度数达到最小值30°时，A，B两点间的距离为cm（结果精确到0.1cm）.

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13. 疫情期间，小红在家里在图1所示的平板支架上网课，图2是她观看网课的侧面示意图，已知平板宽度AB＝20cm，支架底板宽度CD＝AB，支撑角∠ABC＝60°，支撑板CE＝BE＝6cm，小红坐在距离支架底板20cm处观看（即DF＝20cm），Q点是AB中点.当视线PQ与屏幕AB垂直时，小红的眼睛距离桌面的高度PF等于 cm；当落在屏幕中点的视线与屏幕构成的夹角（指锐角或直角）不小于75°时，能使观看平板视频的效果最佳，为保证最佳的观看效果，小红眼睛距离桌面的最大高度和最小高度的差等于 cm.

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14. 足球射门时，在不考虑其他因素的条件下，射点到球门AB的张角越大，射门越好. 当张角达到最大值时，我们称该射点为最佳射门点. 通过研究发现，如图1所示，一学生带球在直线CD上行进时，当存在一点Q，使得∠CQA=∠ABQ（此时也有∠DQB=∠QAB）时，恰好能使球门AB的张角∠AQB达到最大值，故可以称点Q为直线CD上的最佳射门点.如图2所示，是一个矩形形状的足球场，AB为球门一部分，CD⊥AB于点D，AB=6米，BD=2米.某球员沿CD向球门AB进攻，设最佳射门点为点Q.

(1)、tan∠AQB= ．

(2)、已知对方守门员伸开双臂后，成功防守的范围为 $\frac{\sqrt{5}}{2} 米$ ，若此时守门员站在张角∠AQB内，双臂张开MN垂直于AQ进行防守，为了确保防守成功，MN中点与AB的距离至少为．

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15. 随着“科学运动、健康生活”的理念深入人心，跑步机已成为家居新宠，某品牌跑步机（如图1）的跑道可以旋转（如图2)，图3为跑道 $C D$ 绕 $D$ 点旋转到 $D C^{'}$ 位置时的主视图，其中 $A E$ 为显示屏， $A F$ 为扶手，点 $C$ 在直线 $A E$ 上， $G H$ 为可伸缩液压支撑杆， $G ， H$ 的位置不变， $G H$ 的长度可变化，已知 $A B = 100 c m ， c o s B = \frac{1}{3} ， ∠ E A B + ∠ B = 180^{°}$ ，则 $B C =$ $c m$ .若 $B G = 50 c m ， G H / / A B ， ∠ B =$ $2 ∠ D H G$ ，且 $A ， H ， C$ 恰好在同一直线上，则 $A D =$ $c m$ .

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三、解答题（共7题，共55分）

16. 如图，某数学兴趣小组为了测量古树 $D E$ 的高度，采用了如下的方法：先从与古树底端 $D$ 在同一水平线上的点A出发，沿斜面坡度为 $i = 2 ： \sqrt{3}$ 的斜坡 $A B$ 前进 $20 \sqrt{7} m$ 到达点 $B$ ，再沿水平方向继续前进一段距离后到达点 $C$ ．在点 $C$ 处测得古树 $D E$ 的顶端 $E$ 的俯角为 $37 °$ ，底部 $D$ 的俯角为 $60 °$ ，求古树 $D E$ 的高度（参考数据： $s i n 37 ° \approx \frac{3}{5}$ ， $c o s 37 ° \approx \frac{4}{5}$ ， $t a n 37 ° \approx \frac{3}{4}$ ，计算结果用根号表示，不取近似值）．

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17. 2022年底，太忻一体化经济区将新建1994座5G基站．如图是建在坡度 $i = 1 ： 2.4$ 的斜坡 $A M$ 上的一个5G基站塔 $C D$ ，在坡角顶点A处测得塔顶D的仰角为 $45 °$ ，沿斜坡步行 $52 m$ 到达B处，在B处测得塔顶D的仰角为 $63.4 °$ ，点A，B，C，D，M，N在同一平面内．求基站塔高 $C D$ ．
（结果精确到 $0.1 m$ ，参考数据： $s i n 63.4 ° = 0.89 ， c o s 63.4 ° = 0.45 ， t a n 63.4 ° \approx 2.00$ ）

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18. 如图是一个小商场的纵截面图（矩形 $A B C D$ ）， $A D$ 是商场的顶部， $B C$ 是商场的地面，地面由边长为 $80 cm$ 的正方形瓷砖铺成，从 $B$ 到 $C$ 共有 $25$ 块瓷砖， $A B$ 和 $C D$ 是商场的两面墙壁， $M N$ 是顶部正中央的一个长方形的灯饰（ $A M = D N$ ）.小张同学想通过学过的几何知识来测量该商场的高度（ $A B$ ）和灯饰的长度（ $M N$ ），于是去商场时带了一块镜子和一根激光笔，他先把激光笔挂在墙壁 $C D$ 距地面两块砖高度（ $C G$ 的长）的 $G$ 处，镜子水平放在地面距离 $C$ 两块砖的 $F$ 处，发现激光笔的反射光照到了 $N$ 处；再把激光笔挂在墙壁 $A B$ 距地面两块砖高度（ $L B$ 的长）的 $L$ 处，镜子水平放在地面距离 $B$ 三块砖的 $P$ 处，发现激光笔的反射光恰好又照到了 $N$ 处，请你帮忙计算 $A B$ 的高度和 $M N$ 的长度.

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19. 如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图．量得托板长AB＝130mm，支撑板长CD＝80mm，底座长DE＝90mm．托板AB固定在支撑板顶端点C处，且CB＝40mm，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．（结果保留小数点后一位）

(1)、若∠DCB＝80°，∠CDE＝60°，求点A到直线DE的距离；

(2)、为了观看舒适，在（1）的情况下，把AB绕点C逆时针旋转10°后，再将CD绕点D顺时针旋转，使点B落在直线DE上即可，求CD旋转的角度．（参考数据：sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，tan40°≈0.839，sin26.6°≈0.448，cos26.6°≈0.894，tan26.6°≈0.500， $\sqrt{3}$ ≈1.732）

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20. 随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们在高空测量距离和高度．圆圆要测量教学楼 $A B$ 的高度，借助无人机设计了如下测量方案：如图，圆圆在离教学楼底部 $24 \sqrt{3}$ 米的C处，遥控无人机旋停在点C的正上方的点D处，测得教学楼 $A B$ 的顶部B处的俯角为 $30 °$ ， $C D$ 长为 $49.6$ 米．已知目高 $C E$ 为 $1.6$ 米．

(1)、求教学楼 $A B$ 的高度．

(2)、若无人机保持现有高度沿平行于 $C A$ 的方向，以 $4 \sqrt{3}$ 米/秒的速度继续向前匀速飞行，求经过多少秒时，无人机刚好离开圆圆的视线 $E B$ ．

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21. 小明家住在某小区一楼，购房时开发商赠送了一个露天活动场所，现小明在活动场所正对的墙上安装了一个遮阳棚 $B C$ ，经测量，安装遮阳棚的那面墙 $A B$ 高 $3 m$ ，安装的遮阳棚展开后可以使正午时刻房前能有 $2 m$ 宽的阴影处 $(A D)$ 以供纳凉．已知正午时刻太阳光与水平地面的夹角为 $63.4 °$ ，安装好的遮阳篷 $B C$ 与水平面的夹角为 $10 °$ ，如下右图为侧面示意图．

（参考数据： $s i n 10 ° \approx 0.17$ ， $c o s 10 ° \approx 0.98$ ， $t a n 10 ° \approx 0.18$ ， $s i n 63.4 ° \approx 0.89$ ， $c o s 63.4 ° \approx 0.45$ ， $t a n 63.4 ° \approx 2.00$ ）

(1)、据研究，当一个人从遮阳棚进出时，如果遮阳棚外端（即图中点C）到地面的距离小于 $2.3 m$ 时，则人进出时总会觉得没有安全感，就会不自觉的低下头或者用手护着头，请你通过计算，判断此遮阳棚是否使得人进出时具有安全感？

(2)、请计算此遮阳棚延展后的长度（即 $B C$ 的长度）．（结果精确到 $0.1 m$ ）

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22. 太极揉推器是一种常见的公共健身器械，如图是某太极揉推器的实物图和侧面示意图．立柱 $O P$ 高1.2m，底面直径为10cm，支架 $A B$ 和 $C D$ 长均为50cm，且均与立柱所夹锐角为45°，支点A，C到立柱顶端的垂直距离均为40cm，转盘的直径 $E F$ 和 $G H$ 长均为48cm，且分别与 $A B$ 和 $C D$ 垂直，点B，D分别是 $E F$ ， $G H$ 的中点．

(1)、该太极揉推器的直径 $E F$ 和 $G H$ 所在直线的夹角为；

(2)、求该太极揉推器的高度h（即点E到地面的距离）；

(3)、请直接判断该太极揉推器的高度h与宽度w（即线段 $F H$ 在地面的正投影长）的大小关系：hw．

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