【基础卷】1.5三角函数的应用—2023-2024学年北师大版九年级下册同步测试

试卷更新日期：2023-09-17 类型：同步测试

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 如图，AB表示一条跳台滑雪赛道，在点A处测得起点B的仰角为40°，底端点C与顶端点B的距离为50米，BC⊥AC于点C，则赛道AB的长度为（）

A、 $\frac{50}{s i n 40 °}$ 米 B、 $\frac{50}{c o s 40 °}$ 米 C、50sin40°米 D、50cos40°米

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2. 已知一个不等臂跷跷板 $A B$ 长4米，支撑柱 $O H$ 垂直地面，如图1，当 $A B$ 的一端A着地时， $A B$ 与地面夹角的正弦值为 $\frac{1}{2}$ ﹔如图2，当 $A B$ 的另一端B着地时， $A B$ 与地面夹角的正弦值为 $\frac{1}{3}$ ，则支撑柱 $O H$ 的长为（）

A、0.5米 B、0.6米 C、 $\frac{1}{2} \sqrt{3}$ 米 D、0.8米

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3. 苏州虎丘塔是我国江南著名的园林景点．它建成于宋代（961年），共7层，高h米．由于地基的原因，塔身自400年前就开始向西北方向倾斜．据测量，至今塔顶的中心偏离底层中心铅垂线的角度为 $α$ ，被称为“东方比萨斜塔”．如今虎丘塔塔顶的中心偏离底层中心铅垂线的距离是（）米

A、 $h \cdot c o s α$ B、 $h \cdot s i n α$ C、 $h \cdot t a n α$ D、 $\frac{h}{t a n α}$

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4. “儿童放学归来早，忙趁东风放纸鸢”，小明周末在婺州公园草坪上放风筝，已知风筝拉线长100米且拉线与地面夹角为65°（如图所示，假设拉线是直的，小明身高忽略不计），则风筝离地面的高度可以表示为（）

A、 $100 \sin 65 °$ B、 $100 \cos 65 °$ C、 $100 \tan 65 °$ D、 $\frac{100}{\sin 65 °}$

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5. 如图，一辆小车沿着坡度为 $i = 1 ： \sqrt{3}$ 的斜坡向上行驶了100米，则此时该小车上升的高度为（）

A、50米 B、 $50 \sqrt{2}$ 米 C、 $50 \sqrt{3}$ 米 D、100米

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6. 河堤横断面如图所示，堤高BC＝6米，迎水坡AB的坡比是1∶ $\sqrt{3}$ ，则AC的长是（）

A、6 $\sqrt{2}$ 米 B、12米 C、3 $\sqrt{3}$ 米 D、6 $\sqrt{3}$ 米

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7. 已知从点B观测热气球A的俯角为 $32 °$ ，从点C观测热气球A的仰角为 $58 °$ ，则两条视线的夹角 $∠ B A C$ 的度数是（）

A、 $110 °$ B、 $100 °$ C、 $90 °$ D、 $80 °$

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8. 如图，为测楼房 $B C$ 的高，在距楼房50米的 $A$ 处，测得楼顶的仰角为 $a$ ，则楼房 $B C$ 的高为（）

A、 $50 t a n a$ 米 B、 $\frac{50}{t a n a}$ 米 C、 $50 s i n a$ 米 D、 $\frac{50}{s i n a}$ 米

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9. 如图，一艘船向东航行，上午8时到达O处，测得一灯塔A在船的北偏东60°方向，且与船相距 $30 \sqrt{3}$ 海里；上午11时到达B处，测得灯塔在船的正北方向.则这艘船航行的速度为（）

A、 $45$ 海里/时 B、 $15$ 海里/时 C、 $\frac{15}{2} \sqrt{3}$ 海里/时 D、 $5 \sqrt{3}$ 海里/时

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10. 如图，一艘海轮位于灯塔 $P$ 的北偏东55°方向的 $A$ 处，已知 $P A = 6$ 海里，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，则海轮航行的距离 $A B$ 的长是（）

A、6海里 B、 $6 c o s 55 °$ 海里 C、 $6 s i n 55 °$ 海里 D、 $6 t a n 55 °$ 海里

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二、填空题（每题3分，共15分）

11. 一艘货轮又西向东航行，在A处测得灯塔P在它的北偏东60°方向，继续航行到达B处，测得灯塔P在正南方向4海里的C处是港口，点A，B，C在一条直线上，则这艘货轮由A到B航行的路程为海里（结果保留根号）．

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12. 如图，某一时刻太阳光从窗户射入房间内，与地面的夹角 $∠ D P C = 30 °$ ，已知窗户的高度 $A F = 2 m$ ，窗台的高度 $C F = 1 m$ ，窗外水平遮阳篷的宽 $A D = 0.8 m$ ，则 $C P$ 的长度为（结果精确到 $0.1 m$ ）．

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13. 如图，河坝横断面迎水坡 $A B$ 的坡比是 $1 ： \sqrt{3}$ （坡比是坡面的铅直高度 $B C$ 与水平宽度 $A C$ 之比），水平宽度 $A C = 3 \sqrt{3} m$ ，则坡面 $A B$ 的长度是m.

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14. 如图所示，河坝横断面迎水坡 $A B$ 的坡比为1∶2（坡比是坡面的铅直高度 $B C$ 与水平宽度 $A C$ 之比），坝高 $B C = 3 m$ ，则坡面 $A B$ 的长度是m.

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15. 如果在A点处观察B点的仰角为 $α$ ，那么在B点处观察A点的俯角为（用含 $α$ 的式子表示）

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三、解答题（共7题，共55分）

16. 动感单车是一种新型的运动器械.图1是一辆动感单车的实物图，图2是其侧面示意图.△BCD为主车架，AB为调节管，点A，B，C在同一直线上.已知BC长为70cm，∠BCD的度数为58°.当AB长度调至34cm时，求点A到CD的距离AE的长度（结果精确到1cm）.（参考数据：sin58°=0.85，cos58°=0.53，tan58°=1.60）

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17. 2022年6月6日是第27个全国“爱眼日”，某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑的张角大小、顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动.如图，当张角 $∠ A O B = 150 °$ 时，顶部边缘 $A$ 处离桌面的高度 $A C$ 的长为 $10 c m$ ，此时用眼舒适度不太理想.小组成员调整张角大小继续探究，最后联系黄金比知识，发现当张角 $∠ A^{'} O B = 108 °$ 时（点 $A^{'}$ 是 $A$ 的对应点），用眼舒适度较为理想.求此时顶部边缘 $A^{'}$ 处离桌面的高度 $A^{'} D$ 的长.（结果精确到 $1 c m$ ；参考数据： $s i n 72 ° \approx 0.95$ ， $c o s 72 ° \approx 0.31$ ， $t a n 72 ° \approx 3.08$ ）

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18. 自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图（1）所示的坡路进行改造．如图（2）所示，改造前的斜坡的高度 $A E = 100$ 米，坡角 $∠ A B E = 30 °$ ；将斜坡 $A B$ 的高度 $A E$ 降低20米后，斜坡 $A B$ 改造为斜坡 $C D$ ，其坡度为1：4，改造后的斜坡多占多长一段地面？（结果保留根号）

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19. 楼房AB后有一假山，其坡度为i＝1： $\sqrt{3}$ ，山坡坡面上E点处有一休息亭，测得假山坡脚C与楼房水平距离BC＝30米，与亭子距离CE＝18米，小丽从楼房顶测得E点的俯角为45°，求楼房AB的高.

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20. 一次数学活动课上，老师带领学生去测一条东西流向的河宽，如图所示，小明在河北岸点A处观测到河对岸有一点C在A的南偏西60°的方向上，沿河岸向西前行20m到达B处，又测得C在B的南偏西45°的方向上，请你根据以上数据，帮助小明计算出这条河的宽度．（结果保留根号）

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21. 如图，海岸线上有两座灯塔 $A$ ， $B$ ，灯塔 $A$ 位于灯塔 $B$ 的正东方向，与灯塔 $B$ 相距 $8 k m$ .海上有甲、乙两艘货船，甲船位于灯塔 $B$ 的北偏东30°方向，与灯塔 $B$ 相距的 $8 k m$ 的 $C$ 处；乙船位于灯塔 $A$ 的北偏东15°方向，与灯塔 $A$ 相距 $6 \sqrt{2} k m$ 的 $D$ 处.求：

(1)、甲船与灯塔 $A$ 之间的距离；

(2)、两艘货船之间的距离.

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22. 如图①中 $N 、 A 、 M 、 C$ 共线，若 $A B = 4$ 米， $∠ M A B$ 的范围： $30 ° \leq ∠ M A B \leq 60 ° ， ∠ A B C$ 的范围： $45 ° \leq ∠ A B C \leq 105 °$ .

(1)、如图②，当 $∠ M A B = 45 °$ ， BC恰好垂直 $M N$ 时，求 $B C$ 的长；（结果保留根号）

(2)、若（1）中 $B C$ 长度不变，求点 $C 、 A$ 间最远的距离多少米.（结果保留根号）

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