【提升卷】1.4解直角三角形—2023-2024学年北师大版九年级下册同步测试

试卷更新日期：2023-09-17 类型：同步测试

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 如图是一个以O为对称中心的中心对称图形，若∠A=30°，∠C=90°，AC=1，则AB的长为（）

A、4 B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$

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2. 已知直线 $l_{1} ∥ l_{2} ∥ l_{3}$ ，且相邻的两条平行直线间的距离均等，将一个含45°的直角三角板按图示放置，使其三个顶点分别在三条平行线上，则 $s i n α$ 的值是（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{1}{2}$

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3. 将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠.恰好得到菱形AECF.若AD＝ $\sqrt{3}$ ，则菱形AECF的面积为（）

A、2 $\sqrt{3}$ B、4 $\sqrt{3}$ C、4 D、8

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4. 如图所示，是由小正方形构成的 $4 \times 4$ 网格，每个小正方形的顶点叫做格点，点 $O$ ， $A$ ， $P$ ， $C$ ， $D$ 均在格点上，则 $∠ A O B$ 和 $∠ C O D$ 的大小关系为（）

A、 $∠ A O B > ∠ C O D$ B、 $∠ A O B = ∠ C O D$ C、 $∠ A O B < ∠ C O D$ D、无法确定

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5. 如图，一块矩形薄木板 $A B C D$ 斜靠在墙角 $M O N$ 处（ $O M ⊥ O N$ ，点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ ， $O$ ， $M$ ， $N$ 在同一平面内），已知 $A B = m$ ， $A D = n$ ， $∠ A D O = α$ ，则点 $B$ 到 $O N$ 的距离等于（）

A、 $m \cdot c o s α + n \cdot c o s α$ B、 $m \cdot s i n α + n \cdot c o s α$ C、 $m \cdot c o s α + n \cdot s i n α$ D、 $m \cdot s i n α + n \cdot s i n α$

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6. 如图，直线MN是矩形ABCD的一条对称轴，点E在AD边E上，将 $△ B A E$ 沿BE折叠，使点A的对应点F落在直线MN上，若 $A B = 4$ ，则BE的长是（）

A、5 B、 $5 \sqrt{3}$ C、 $4 \sqrt{3}$ D、 $\frac{8 \sqrt{3}}{3}$

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7. 如图，将长、宽分别为6cm， $\sqrt{3}$ cm的长方形纸片分别沿AB，AC折叠，点M，N恰好重合于点P．若∠α＝60°，则折叠后的图案（阴影部分）面积为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ cm² B、（36 $- 6 \sqrt{3}$ ）cm² C、 $3 \sqrt{3}$ cm² D、 $4 \sqrt{3}$ cm²

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8. 如图，在△ABC中，∠C=45°， $t a n B$ = $\sqrt{3}$ ， AD⊥BC于点D，AC= $2 \sqrt{6}$ ，若E、F分别为AC、BC的中点，则EF的长为（）

A、 $\frac{2}{3} \sqrt{3}$ B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{6}$

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9. 如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A（﹣2，0），与x轴夹角为30°，将△ABO沿直线AB翻折，点O的对应点C恰好落在双曲线 $y = \frac{k}{x}$ （k≠0）上，则k的值为（）

A、4 B、﹣2 C、 $\sqrt{3}$ D、 $- \sqrt{3}$

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10. 由12个有公共顶点O的直角三角形拼成如图所示的图形， $∠ O A B = ∠ O B C = ∠ O C D = \cdot \cdot \cdot = ∠ O L M = 90 °$ ， $∠ A O B = ∠ B O C = ∠ C O D = \cdot \cdot \cdot = ∠ L O M = 30 °$ ．若 $S_{△ A O B} = 1$ ，则图中与 $△ A O B$ 位似的三角形的面积为（）

A、 ${(\frac{4}{3})}^{5}$ B、 ${(\frac{4}{3})}^{6}$ C、 ${(\frac{4}{3})}^{7}$ D、 ${(\frac{4}{3})}^{8}$

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二、填空题（每题3分，共15分）

11. 已知在 $△ A B C$ 中， $C D ⊥ A B$ 于D， $B C = 5$ ， $t a n A = \frac{1}{2}$ ， $t a n ∠ B C D = \frac{4}{3}$ ，则线段AB的长为．

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12. 如图，四边形 $A B C D$ 中， $A B ∥ C D$ ， $D E$ 平分 $∠ A D C$ ，交 $B C$ 于点 $E ， A E ⊥ D E ， A B = 4 ， A E = 3$ ， $s i n ∠ C D E = \frac{3}{5}$ ，那么 $C D =$ ．

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13. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB边上，AD＝AC，点E在BC边上，∠BAE＝ $\frac{1}{2}$ ∠ABC，点F为AE上一点，∠ADF＝2∠BCD，若DF＝2，BD＝1，则AD的长为．

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14. 如图，将一个边长为10cm的正方形活动据架（边框粗细忽略不计）拉动成四边形ABCD，若∠BAD＝60°，则AC＝cm．

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15. 如图，点F，G分别在正方形ABCD的边BC，CD上，E为AB中点，连结ED，正方形FGQP的边PQ恰好在DE上，记正方形ABCD面积为 $S_{1}$ ，正方形FPQG面积为 $S_{2}$ ，则 $S_{1} ： S_{2}$ 的值为．

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三、解答题（共7题，共55分）

16. 构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要策略．在计算 $t a n 15^{°}$ 时，如图，在 $R t Δ A C B$ 中， $∠ C = 90^{°} ， ∠ A B C = 30^{°}$ ，延长 $C B$ 使 $B D = A B$ ，连接 $A D$ ，得 $∠ D = 15^{°}$ ，所以 $\tan 15^{°} = \frac{A C}{C D} = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{(2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})} = 2 - \sqrt{3}$ ，类比这种方法，计算 $t a n {22.5}^{°}$ （画图并写出过程）

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17. 定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点与该边所对顶点所连线段长度的平方，则称这个点为三角形该边的“奇点”．如图①，在 $△ A B C$ 中，点D是 $B C$ 边上一点，连接 $A D$ ，若 $A D^{2} = B D \cdot C D$ ，则称点D是 $△ A B C$ 中 $B C$ 边上的“奇点”．问题解决：如图②，在 $△ A B C$ 中， $B C = 11$ ， $t a n B = \frac{3}{5}$ ， $t a n C = \frac{1}{2}$ ，点D是 $B C$ 边上的“奇点”，求线段 $B D$ 的长．

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18. 如图， $A C$ 是菱形 $A B C D$ 的对角线．

(1)、尺规作图：将 $△ A B C$ 绕点 $A$ 逆时针旋转得到 $△ A D E$ ，点 $B$ 旋转后的对应点为 $D ($ 保留作图痕迹，不写作法 $)$ ；

(2)、在（1）所作的图中，连接 $B D$ ， $C E$ ．

$①$ 求证： $△ A B D$ ∽ $△ A C E$ ；

$②$ 若 $t a n ∠ B A C = \frac{1}{3}$ ，求 $c o s ∠ D C E$ 的值．

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19. 如图，在Rt△ABC中， $∠ A C B = 90 °$ ， D为AB的中点， $A E ∥ C D$ ， $C E ∥ A B$ ．

(1)、证明：四边形ADCE为菱形；

(2)、若 $B C = 6$ ， $t a n B = \frac{4}{3}$ ，求四边形ADCE的周长．

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20. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C=45°，sinB= $\frac{2}{3}$ ， AD=4．

(1)、求BC的长；

(2)、求tan∠DAE的值．

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21. 如图，将矩形 $A B C D$ 绕点B旋转得到矩形 $B E F H$ ，点E在 $A D$ 上，连接 $C E ， C H$ ．

(1)、求证： $C E$ 平分 $∠ B E D$ ；

(2)、若 $B C = 4 ， ∠ E B C = 30 °$ ，求 $C H$ 的长度．

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22. 如图，在边长为6的正方形 $A B C D$ 中，点P是边 $A D$ 上一动点，连接 $B P$ ，将 $△ A B P$ 沿 $B P$ 翻折，点A的对应点为点E ，连接 $D E ， C E$ ．

(1)、如图1，当 $∠ A B P = 30^{°}$ 时，直接写出 $∠ D E C$ 的度数为；

(2)、如图2，当 $A P = 2$ 时，求证： $D E ⊥ E C$ ；

(3)、如图3，点M是边 $B C$ 上一动点，当 $∠ A B P = {37.5}^{°}$ 时，求 $E M + \frac{\sqrt{2}}{2} B M$ 的最小值．

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