【培优卷】1.4解直角三角形—2023-2024学年北师大版九年级下册同步测试

试卷更新日期：2023-09-17 类型：同步测试

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是CD边上的一点，点F是点D关于直线AE对称的点，连接AF、BF，若tan∠ABF＝2，则DE的长是（）

A、1 B、 $\frac{6}{5}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{5}{3}$

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2. 如图，已知反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ （k≠0）的图象经过矩形ABCD的对角线AC的端点A和C，AC交y轴于点F，BC边交y轴于点E，过线段FO中点G的直线 $y = - \frac{1}{2} x + 2$ 与AC平行，连接AE，若∠BAE=∠ACB， $S_{Δ A E C} = 48$ ．则k的值为（）

A、－24 B、－16 C、－36 D、－12

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3. 如图①，在菱形 $A B C D$ 中， $∠ D = 120 °$ ，点 $E$ 是 $A B$ 的中点，点 $P$ 是对角线 $A C$ 上一动点，设 $P C$ $= x$ ， $P E + P B = y$ ，图②是 $y$ 关于 $x$ 的函数图象，且图象上最低点 $Q$ 的坐标为 $(\frac{8 \sqrt{3}}{3} ， 2 \sqrt{3})$ ，则菱形 $A B C D$ 的边长为（）

A、2 B、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、4

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4. 如图，以矩形 $A B C D$ 的顶点 $A$ 为圆心，适当长为半径作弧，分别交 $A B$ ， $A C$ 于点 $M$ ， $N$ ；再分别以点 $M$ ， $N$ 为圆心，大于 $M N$ 的长为半径作弧，两弧交于点 $P$ ；作射线 $A P$ ，交 $B C$ 于点 $E$ ，连接 $D E$ ，交 $A C$ 于点 $F$ .若 $A B = 1$ ， $B C = \sqrt{3}$ ，则 $D F$ 的长为（）

A、1 B、 $\frac{2 \sqrt{21}}{15}$ C、 $\frac{\sqrt{21}}{5}$ D、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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5. 在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A在y轴上，点C坐标为（﹣4，0），E为BC上靠近点C的三等分点，点B、E均在反比例函数y＝ $\frac{k}{x}$ （k＜0，x＜0）的图象上，若tan∠OAD＝ $\frac{1}{2}$ ，则k的值为（）

A、﹣2 B、﹣2 $\sqrt{5}$ C、﹣6 D、﹣4 $\sqrt{2}$

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6. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $A B$ ， $C D$ ， $E F$ ， $G H$ 是正方形 $O P Q R$ 边上的线段，点 $M$ 在其中某条线段上，若射线 $O M$ 与 $x$ 轴正半轴的夹角为 $α$ ，且 $sin α > cos α$ ，则点 $M$ 所在的线段可以是 $($ 　　 $)$

A、 $A B$ 和 $C D$ B、 $A B$ 和 $E F$ C、 $C D$ 和 $G H$ D、 $E F$ 和 $G H$

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7. 已知如图， $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 90 °$ ，D为线段 $B C$ 上一点，将线段 $A D$ 绕点A逆时针旋转 $90 °$ 得到线段 $A E$ ，F为 $D E$ 中点，直线 $C F$ 交射线 $B A$ 于点G.下列说法：①若连接 $E C$ ，则 $E C ⊥ B C$ ；② $∠ B D A = ∠ E D C$ ；③ $D E = C G$ ；④若 $B D = 2 D C$ ，则 $A D = \sqrt{5} A G$ .其中正确的有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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8. 如图，已知点A是第一象限内横坐标为2 $\sqrt{3}$ 的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y=﹣x于点N.若点P是线段ON上的一个动点，∠APB=30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动，求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长为（）.

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、4 D、 $2 \sqrt{3}$

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9. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $∠ A B C = 45^{°}$ ， $A B = 3$ ， $A D ⊥ B C$ 于点D ， $B E ⊥ A C$ 于点E ， $A E = 1$ ．连接DE ，将 $Δ A E D$ 沿直线AE翻折至 $Δ A B C$ 所在的平面内，得 $Δ A E F$ ，连接DF ．过点D作 $D G ⊥ D E$ 交BE于点G ．则四边形DFEG的周长为（）

A、8 B、 $4 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{2} + 4$ D、 $3 \sqrt{2} + 2$

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10. 如果，正方形ABCD的边长为2cm，E为CD边上一点，∠DAE=30°，M为AE的中点，过点M作直线分别与AD、BC相交于点P、Q，若PQ=AE，则PD等于（）

A、 $\frac{2}{3}$ cm或 $\frac{2}{3} \sqrt{3}$ cm B、 $\frac{2}{3} \sqrt{3}$ cm C、 $\frac{4}{3}$ cm或 $\frac{2}{3} \sqrt{3}$ cm D、 $\frac{2}{3}$ cm或 $\frac{4}{3}$ cm

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二、填空题（每题3分，共15分）

11. 如图．四边形 $A B C D$ 中， $A B = A D$ ， $B C = D C$ ， $∠ C = 60 °$ ， $A E ∥ C D$ 交 $B C$ 于点 $E$ ， $B C = 8$ ， $A E = 6$ ，则AB的长为．

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12. 如图，将平行四边形 $A B C D$ 沿着对角线 $A C$ 翻折，点 $B$ 的对应点为 $M$ ， $C M$ 交 $A D$ 于点 $N$ ，如果 $∠ B = 76^{\circ}$ ， $∠ A C M = ∠ D C M + 10^{\circ}$ ，且 $N C = m$ ，那么平行四边形 $A B C D$ 的周长为．（参考数据： $\cos 76^{\circ} \approx 0.24 ， \tan 76^{\circ} \approx 4$ ）

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13. 如图，矩形 $O A B C$ 的顶点 $A$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x < 0)$ 的图像上，顶点 $B 、 C$ 在第一象限，对角线 $A C / / x$ 轴，交 $y$ 轴于点 $D$ .若矩形 $O A B C$ 的面积是 $6 ， c o s ∠ O A C = \frac{2}{3}$ ，则 $k =$ .

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14. 如图，直线 $y = - \frac{1}{3} x + 2$ 与x轴，y轴分别交于A，B两点，点D是线段AB上一动点，点H是直线 $y = - \frac{4}{3} x + 2$ 上的一动点，动点 $E (m ， 0) ， F (m + 3 ， 0)$ ，连接 $B E ， D F ， H D$ ．当 $B E + D F$ 取最小值时， $3 B H + 5 D H$ 的最小值是．

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15. 如图1，将一张等腰三角形纸片 $A B C$ 沿虚线剪开，得到两个全等的三角形和两个全等的四边形小纸片.小博按图2方式拼接，恰好拼成一个不重叠、无缝隙的矩形；小雅按图3方式拼接，也拼出一个矩形 $F H I K$ ，但由于两个四边形纸片有重叠（阴影）部分，整个面积减少了 $5 c m^{2}$ .若 $A E ： D E = 5 ： 3$ ，则 $t a n C =$ ，矩形 $F H I K$ 的面积为 $c m^{2}$ .

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三、解答题（共7题，共55分）

16. 已知等边 $△ A B C$ ，其中点D、E是过顶点B的一条直线l上两点

(1)、如图1， $∠ A D B = ∠ C E B = 60 °$ ，求证： $A D = B E$

(2)、如图2， $∠ A D B = ∠ C E B = 90 °$ ， $B D = 1$ ， $B E = 2$ ，求AD的长．

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17. $△ A B C$ 是等边三角形，点 $E$ 是射线 $B C$ 上的一点（不与点 $B$ ， $C$ 重合），连接 $A E$ ，在 $A E$ 的左侧作等边三角形 $A E D$ ，将线段 $E C$ 绕点 $E$ 逆时针旋转 $120 °$ ，得到线段 $E F$ ，连接 $B F$ ．交 $D E$ 于点 $M$ ．

(1)、如图1，当点 $E$ 为 $B C$ 中点时，请直接写出线段 $D M$ 与 $E M$ 的数量关系；

(2)、如图2．当点 $E$ 在线段 $B C$ 的延长线上时，请判断（ $1$ ）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；

(3)、当 $B C = 6$ ， $C E = 2$ 时，请直接写出 $A M$ 的长．

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18. 问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为 $△ A B C$ 和 $△ D F E$ ，其中 $∠ A C B = ∠ D E F = 90 ° ， ∠ A = ∠ D$ ．将 $△ A B C$ 和 $△ D F E$ 按图2所示方式摆放，其中点 $B$ 与点 $F$ 重合（标记为点 $B$ ）．当 $∠ A B E = ∠ A$ 时，延长 $D E$ 交 $A C$ 于点 $G$ ．试判断四边形 $B C G E$ 的形状，并说明理由．


(1)、数学思考：谈你解答老师提出的问题；

(2)、深入探究：老师将图2中的 $△ D B E$ 绕点 $B$ 逆时针方向旋转，使点 $E$ 落在 $△ A B C$ 内部，并让同学们提出新的问题．


①“善思小组”提出问题：如图3，当 $∠ A B E = ∠ B A C$ 时，过点 $A$ 作 $A M ⊥ B E$ 交 $B E$ 的延长线于点 $M ， B M$ 与 $A C$ 交于点 $N$ ．试猜想线段 $A M$ 和 $B E$ 的数量关系，并加以证明．请你解答此问题；



②“智慧小组”提出问题：如图4，当 $∠ C B E = ∠ B A C$ 时，过点 $A$ 作 $A H ⊥ D E$ 于点 $H$ ，若 $B C = 9 ， A C = 12$ ，求 $A H$ 的长．请你思考此问题，直接写出结果．



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19. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，E，F分别是边 $A D$ ， $A B$ 上的点，连接 $C E$ ， $E F$ ， $C F$ ．

(1)、若正方形 $A B C D$ 的边长为2，E是 $A D$ 的中点．
①如图1，当 $∠ F E C = 90 °$ 时，求证： $△ A E F ∽ △ D C E$ ；
②如图2，当 $t a n ∠ F C E = \frac{2}{3}$ 时，求 $A F$ 的长；

(2)、如图3，延长 $C F$ ， $D A$ 交于点G，当 $G E = D E ， s i n ∠ F C E = \frac{1}{3}$ 时，求证： $A E = A F$ ．

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20. 在平面直角坐标系中，O为原点，菱形 $A B C D$ 的顶点 $A (\sqrt{3} ， 0) ， B (0 ， 1) ， D (2 \sqrt{3} ， 1)$ ，矩形 $E F G H$ 的顶点 $E (0 ， \frac{1}{2}) ， F (- \sqrt{3} ， \frac{1}{2}) ， H (0 ， \frac{3}{2})$ ．

(1)、填空：如图①，点C的坐标为，点G的坐标为；

(2)、将矩形 $E F G H$ 沿水平方向向右平移，得到矩形 $E^{'} F^{'} G^{'} H^{'}$ ，点E，F，G，H的对应点分别为 $E^{'}$ ， $F^{'}$ ， $G^{'}$ ， $H^{'}$ ．设 $E E^{'} = t$ ，矩形 $E^{'} F^{'} G^{'} H^{'}$ 与菱形 $A B C D$ 重叠部分的面积为S．

①如图②，当边 $E^{'} F^{'}$ 与 $A B$ 相交于点M、边 $G^{'} H^{'}$ 与 $B C$ 相交于点N，且矩形 $E^{'} F^{'} G^{'} H^{'}$ 与菱形 $A B C D$ 重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围：

②当 $\frac{2 \sqrt{3}}{3} \leq t \leq \frac{11 \sqrt{3}}{4}$ 时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．

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21. 我们把两个面积相等但不全等的三角形叫关联三角形.

(1)、如图1，已知等腰直角△ABC，∠ACB=90°，请将它分成两个三角形，使它们成为关联三角形.

(2)、如图2，已知△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，以AB，AC，BC为边向外作正方形ABDE，正方形ACFG和正方形BCMN，连结EG.求证：△ABC与△AEG为关联三角形.

(3)、在△ABC中，∠A=30°，AC=8，点D在线段AC上，连接BD，△ABD和△BCD是关联三角形，将△ABD沿BD所在的直线翻折，得到△A₁BD，若△A₁BD与△BCD重合部分的面积等于△BCD面积的一半，求△ABC的面积.

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22. 【课本再现】黄金分割是一种最能引起美感的分割比例，具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值．我们知道：如图1，如果 $\frac{B C}{A C} = \frac{A C}{A B}$ ，那么称点 $C$ 为线段 $A B$ 的黄金分割点．

(1)、【问题发现】如图1，请直接写出 $C B$ 与 $A C$ 的比值是；

(2)、【尺规作黄金分割点】如图2，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $B C = 1$ ， $A C = 2$ ，则 $A B =$ ，在 $B A$ 上截取 $B D = B C$ ，则 $A D =$ ，在 $A C$ 上截取 $A E = A D$ ，则 $\frac{A E}{A C}$ 的值为；

(3)、【问题解决】如图3，用边长为4的正方形纸片进行如下操作：对折正方形 $A B D E$ 得折痕 $M N$ ，连接 $E N$ ，点 $A$ 对应点 $H$ ，得折痕 $C E$ ，试说明： $C$ 是 $A B$ 的黄金分割点；

(4)、【拓展延伸】如图4，正方形 $A B C D$ 中， $M$ 为对角线 $B D$ 上一点，点 $N$ 在边 $C D$ 上，且 $C N < D N$ ，当 $N$ 为 $C D$ 的黄金分割点时， $∠ A M B = ∠ A N B$ ，连 $N M$ ，延长 $N M$ 交 $A D$ 于 $E$ ，请用相似的知识求出 $A E ： D E$ 的值为．

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