【培优卷】1.2 30°、45°、60°角的三角函数值—2023-2024学年北师大版九年级下册同步测试

试卷更新日期：2023-09-16 类型：同步测试

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 如图，菱形OABC的一边OA在x轴上，将菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置，若OB= $2 \sqrt{3}$ ， ∠C=120°，则点B′的坐标为（）

A、（3， $\sqrt{3}$ ） B、（3，- $\sqrt{3}$ ） C、（ $\sqrt{6}$ ， $\sqrt{6}$ ） D、（ $\sqrt{6}$ ， - $\sqrt{6}$ ）

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2. 由4个形状相同，大小相等的菱形组成如图所示的网格，菱形的顶点称为格点，点A，B，C都在格点上，∠O=60°，则tan∠ABC=（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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3. 在矩形ABCD中有一个菱形BEDF（点E，F分别在线段AB、CD上），记它们的面积分别为S矩形ABCD和S菱形BEDF，若S矩形ABCD：S菱形BEDF＝（2+ $\sqrt{3}$ ）：2，则 $t a n ∠ E D F$ ＝（　）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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4. 如图，在▱OABC中，边OC在x轴上，点A（1， $\sqrt{3}$ ），点C（3，0）.按以下步骤作图：分别以点B，C为圆心，大于 $\frac{1}{2}$ BC的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点；作直线EF，交AB于点H；连接OH，则OH的长为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{7}$ C、2 $\sqrt{2}$ D、2 $\sqrt{3}$

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5. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，D是边AB上一点，连结CD，将△ACD沿CD翻折得到△ECD，连结BE.若四边形BCDE是平行四边形，则BC的长为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、3 C、2 $\sqrt{3}$ D、3 $\sqrt{2}$

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6. 如图，在平面直角坐标系中， $R t Δ A B O$ 的顶点B在x轴的正半轴上， $∠ A B O = 90 °$ ，点A的坐标为 $(1 ， \sqrt{3})$ ，将 $△ A B O$ 绕点О逆时针旋转，使点B的对应点 $B^{'}$ 落在边OA上，则 $A^{'}$ 的坐标为（）

A、 $(- 1 ， \sqrt{3})$ B、 $(- \sqrt{3} ， 1)$ C、 $(- \frac{\sqrt{3}}{3} ， 1)$ D、 $(- 1 ， \frac{\sqrt{3}}{3})$

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7. 如图，矩形OABC的顶点O（ 0，0），B（－2，2 $\sqrt{3}$ ），若矩形绕点O逆时针旋转，每秒旋转60°，则第145秒时，矩形的对角线交点D的坐标为（）

A、（－1， $\sqrt{3}$ ） B、（－1，－3） C、（－2，0 ） D、（1，－3）

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8. 如图，在平行四边形OABC中，边OC在x轴上，点A（1， $\sqrt{3}$ ），点C（3，0）．按以下步骤作图：分别以点B，C为圆心，大于 $\frac{1}{2}$ BC的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点；作直线EF，交AB于点H；连接OH，则OH的长为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{7}$ C、2 $\sqrt{2}$ D、2 $\sqrt{2}$

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9. 如图，在平行四边形ABCD和平行四边形BEFG中，AB=AD，BG=BE，点A， B， E在同一直线上，P是线段DF的中点，连接PG、PC，若∠ABC=∠BEF=60°，则 $\frac{P G}{P C}$ =（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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10. 如图，正△AOB的边长为5，点B在x轴正半轴上，点A在第一象限，反比例函数y＝ $\frac{k}{x}$ （x＞0）的图象分别交边AO，AB于点C，D，若OC＝2BD，则实数k的值为（）

A、4 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{9}{2} \sqrt{3}$ C、 $\frac{25}{4} \sqrt{3}$ D、8 $\sqrt{3}$

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二、填空题（每题3分，共15分）

11. 在△ABC中，AB = AC = 5，tanB = $\frac{4}{3}$ . 若⊙O的半径为 $\sqrt{10}$ ，且⊙O经过点B与C ，那么线段OA的长等于.

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12. 如图， $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ A < ∠ B$ ，以 $A B$ 边上的中线 $C M$ 为折痕将 $△ A C M$ 折叠，使点A落在点D处，如果 $C D$ 恰好与 $A B$ 垂直，则 $\tan A$ 的值为．

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13. 如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2 $\sqrt{3}$ ，点M、N分别在AD，BC上，且AM＝CN，点P在CD上（且不与点D，C重合），当MP+PN最小时，tan∠MPN的值是.

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14. 如图，点A在反比例函数y= $\frac{1}{x}$ （x>0）的图象上，点B在反比例函数y= $\frac{k}{x}$ （k<0）的图象上，且OA⊥OB，线段AB交反比例函数y= $\frac{1}{x}$ （x>0）的图象于另一点C，连结OC。若点C为AB的中点，tan∠OCA= $\sqrt{3}$ ，则k的值为。

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15. 已知 $\tan (α + β) = \frac{\tan α + \tan β}{1 - \tan α \cdot \tan β}$ ， $\tan 2 α = \frac{2 \tan α}{1 - \tan^{2} α}$ （其中 $α$ 和 $β$ 都表示角度），比如求 $\tan 105 °$ ，可利用公式得 $\tan 105 ° = \tan (60 ° + 45 °) = \frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}} = - \sqrt{3} - 2$ ，又如求 $\tan 120 °$ ，可利用公式得 $\tan 120 ° = \tan (2 \times 60 °) = \frac{2 \times \sqrt{3}}{1 - {(\sqrt{3})}^{2}} = - \sqrt{3}$ ，请你结合材料，若 $\tan (120 ° + λ) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ （ $λ$ 为锐角），则 $λ$ 的度数是．

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三、解答题（共7题，共55分）

16.

(1)、在计算 $\frac{- 2^{2} - (- 1)^{10} + | - 6 | + 3^{3}}{\sqrt{3} t a n 30 ° - \sqrt[3]{64} \times (- 2)^{- 2} + (- 2)^{0}}$ 时，小亮的计算过程如下：
解： $\frac{- 2^{2} - (- 1)^{10} + | - 6 | + 3^{3}}{\sqrt{3} t a n 30 ° - \sqrt[3]{64} \times (- 2)^{- 2} + (- 2)^{0}}$
$= \frac{4 - (- 1) - 6 + 27}{\sqrt{3} \times \sqrt{3} - 4 \times 2^{2} + 0}$
$= \frac{4 + 1 - 6 + 27}{3 - 16}$
$= - 2$
小莹发现小亮的计算有误，帮助小亮找出了3个错误．请你找出其他错误，参照①～③的格式写在横线上，并依次标注序号：
① $- 2^{2} = 4$ ；② $(- 1)^{10} = - 1$ ；③ $| - 6 | = - 6$ ；
请写出正确的计算过程．

(2)、先化简，再求值： $(\frac{2}{x - 3} - \frac{1}{x}) \cdot \frac{x^{2} - 3 x}{x^{2} + 6 x + 9}$ ，其中x是方程 $x^{2} - 2 x - 3 = 0$ 的根．

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17. 已知，矩形 $A B C D$ 中，点F在 $C D$ 上，连接 $B F$ 交 $A C$ 于点E．

(1)、若 $A C ⊥ B F$ 于点E，如图1．
①证明： $△ A C D ∽ △ C B E$ ；
②若 $D F = \frac{2}{3} A B$ ，求 $∠ B A C$ 的度数；

(2)、若 $\frac{B C}{A B} = \frac{2}{3}$ ，点F是 $C D$ 的中点，连接 $A F$ ，如图2，求 $s i n ∠ C A F$ 的值．

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18. 如图，在平面直角坐标系中，已知 $A (2 ， 0)$ ，点P为线段 $A B$ 外一动点，且 $P A = O A$ ．点B为x轴上一点，现在以B为中心，将 $P B$ 顺时针旋转 $60 °$ 至 $B M$ ，连接 $P M$ ．

(1)、求证： $△ P B M$ 为等边三角形；

(2)、当 $P A ⊥ x$ 轴， $B (2 + 2 \sqrt{3} ， 0)$ 时，求 $A M$ 的长；

(3)、当点B的坐标为 $(5 ， 0)$ 时，求线段 $A M$ 的最大值（直接写出结果即可）．

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19.

(1)、课本再现
如图1，在 $R t △ A B C$ 和 $R t △ A^{^{'}} B^{^{'}} C^{^{'}}$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ C^{'} = 90 °$ ， $\frac{A B}{A^{'} B^{'}} = \frac{A C}{A^{'} C^{'}}$ ，
求证： $R t △ A B C ∽ R t △ A^{'} B^{'} C^{'}$ ．我们在数学课上探索这一结论时进行了分析：要证 $R t △ A B C ∽ R t △ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，可设法证 $\frac{B C}{B^{'} C^{'}} = \frac{A B}{A^{'} B^{'}} = \frac{A C}{A^{'} C^{'}}$ ，若设 $\frac{A B}{A^{'} B^{'}} = \frac{A C}{A^{'} C^{'}} = k$ ，则只需证 $\frac{B C}{B^{'} C^{'}} = k$ ．
请你根据以上分析，完成证明．

(2)、知识应用
如图2，在四边形 $P M Q N$ 中， $∠ M = ∠ P Q N = 90 °$ ， $P Q^{2} = P M · P N$ ， $\frac{M Q}{N Q} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求 $∠ N$ 的度数．

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20. 已知点E在△ABC内，∠ABC＝∠EBD＝α，∠ACB＝∠EDB＝60°，∠AEB＝150°，∠BEC＝90°.

(1)、当α＝60°时（如图1），
①判断△ABC的形状，并说明理由；

②求证：BD＝ $\sqrt{3}$ AE；

(2)、当α＝90°时（如图2），求 $\frac{B D}{A E}$ 的值.

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21. 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，E是AB边上一点，D是AC边上一点，且点D不与A、C重合，ED⊥AC.

(1)、当sinB＝ $\frac{1}{2}$ 时，
①求证：BE＝2CD；

②当△ADE绕点A旋转到如图2的位置时（45°＜∠CAD＜90°）.BE＝2CD是否成立？若成立，请给出证明；若不成立.请说明理由.

(2)、当sinB＝ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时，将△ADE绕点A旋转到∠DEB＝90°，若AC＝10，AD＝2 $\sqrt{5}$ ，求线段CD的长.

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22. 某校组织数学兴趣探究活动，爱思考的小实同学在探究两条直线的位置关系查阅资料时发现，两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”.如图1、图2、图3中， $A F$ 、 $B E$ 是 $△ A B C$ 的中线， $A F ⊥ B E$ 于点 $P$ ，像 $△ A B C$ 这样的三角形均称为“中垂三角形”.

(1)、（特例探究）
如图1，当 $∠ P A B = 45 °$ ， $A B = 6 \sqrt{2}$ 时， $A C =$ ， $B C =$ ；

如图2，当 $\sin ∠ P A B = \frac{1}{2}$ ， $A B = 4$ 时， $A C =$ ， $B C =$ ；

(2)、（归纳证明）
请你观察（1）中的计算结果，猜想 $A B^{2}$ 、 $B C^{2}$ 、 $A C^{2}$ 三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论；

(3)、（拓展证明）
如图4，在 $△ A B C$ 中， $A B = 4 \sqrt{3}$ ， $B C = 2 \sqrt{5}$ ， $D$ 、 $E$ 、 $F$ 分别是边 $A B$ 、 $A C$ $B C$ 的中点，连结 $D E$ 并延长至 $G$ ，使得 $G E = D E$ ，连结 $B G$ ，当 $B G ⊥ A C$ 于点 $M$ 时，求 $G F$ 的长.

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