【培优卷】1.1锐角三角函数—2023-2024学年北师大版九年级下册同步测试

试卷更新日期：2023-09-16 类型：同步测试

进入出卷网下载

一、选择题（每题3分，共30分）

1. 在边长为1的正方形组成的网格中，线段AB，CD的端点都在格点上，AB，CD交于点E，则tan∠AED的值为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

查看试题解析
2. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $D E ⊥ A C$ 交 $B C$ 于点 $E$ ，点 $F$ 在 $C D$ 上，连接 $B F$ 分别交 $D E$ ， $A C$ 于点 $G$ ， $H$ ．若 $B G = G F = D F$ ，则 $s i n ∠ F B C$ 的值是（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{15}}{15}$ D、 $\frac{\sqrt{17}}{17}$

查看试题解析
3. 如下图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B = A D = 6$ ， $A B ⊥ B C ， A D ⊥ C D$ ， $∠ B A D = 60 °$ ，点 $M 、 N$ 分别在 $A B 、 A D$ 边上，若 $A M ： M B = A N ： N D = 1 ： 2$ ，则 $s i n ∠ M C N$ （）

A、 $\frac{3 \sqrt{3}}{13}$ B、 $\frac{3 \sqrt{3}}{14}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{5}$ D、 $\sqrt{5} - 2$

查看试题解析
4. 如图，在边长为 $1$ 的小正方形网格中，点 $A ， B ， C ， D$ 都在这些小正方形的顶点上， $A B ， C D$ 相交于点 $O$ ，则 $c o s ∠ B O D =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、2

查看试题解析
5. 以下说法正确的是（）

A、存在锐角 $θ$ ，使得sin² $θ$ +cos² $θ$ >1 B、已知∠A为Rt△ABC的一个内角，且∠A<45°，则sinA<cosA C、在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B为Rt△ABC的两个内角，则sinA不一定等于cosB D、存在锐角 $θ$ ，使得sin $θ$ ≥tan $θ$

查看试题解析
6. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90^{°}$ ，分别以AB，AC，BC为边向外作正方形.连结CD，若 $\sin ∠ B C D = \frac{3}{5}$ ，则 $\tan ∠ C D B$ 的值为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{7}{10}$ D、 $\frac{9}{13}$

查看试题解析
7. 如图，已知 $△ A B C$ 中， $∠ B = 90 °$ ， $D$ ， $E$ 分别为 $B C$ ， $A C$ 的中点，连结 $D E$ ，过 $D$ 作 $A C$ 的平行线与 $∠ C A B$ 的角平分线交于点 $F$ ，连结 $E F$ ，若 $E F ⊥ D F$ ， $A C = 2$ ，则 $∠ D E F$ 的正弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{5} + 1}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{4}$ D、 $\frac{3 + \sqrt{5}}{4}$

查看试题解析
8. 如图，点E在正方形ABCD的边AD上（包括点A和点D）的一个动点，连结BE和CE设y=tan∠BEC，则（）

A、y=1 B、y≥1 C、1≤y≤ $\frac{3}{2}$ D、1≤y≤ $\frac{4}{3}$

查看试题解析
9.
如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D沿BC自B向C运动（点D与点B、C不重合），作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，则BE+CF的值（　　）

A、不变 B、增大 C、减小 D、先变大再变小

查看试题解析
10. 如图1，是数学家毕达哥拉斯根据勾股定理所画的“勾股树”．如图2，在Rt△ABC中， $∠ B A C = 9 0^{∘}$ ，以其三边为边分别向外作正方形，延长EC，DB分别交GF，AH于点N，K，连接KN交AG于点M，若 $\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{9}{16}$ ，则 $t a n ∠ A C B$ 为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{5}{12}$

查看试题解析

二、填空题（每题4分，共24分）

11. 若三个锐角 $α, β, γ$ 满足 $\sin 48^{\circ} = α, \cos 48^{\circ} = β, \tan 48^{\circ} = γ$ ，则 $α, β, γ$ 由小到大的顺序为.

查看试题解析
12. 若α是锐角，且sinα=1﹣3m，则m的取值范围是　；将cos21°，cos37°，sin41°，cos46°的值，按由小到大的顺序排列是 .

查看试题解析
13. 在Rt△ABC中，∠C=90°，若cosB= $\frac{3}{5}$ ，则tanA= ，若此时△ABC的周长为48，那么△ABC的面积．

查看试题解析
14. 如图，点E是正方形ABCD的边BC上一点，FG垂直平分AE且分别交AB，AE，BD，CD于点F，H，I，G．若FH＝2，IG＝6，则HI的长度为， sin∠FIB的值为．

查看试题解析
15. 如图所示，长宽比为3：2的矩形 $ABCD$ ，将矩形 $ABCD$ 沿着 $EF$ 折叠，使点 $C$ 落到宽 $AD$ 的中点 $C'$ ，点 $B$ 落到点 $B'$ 处，则 $tan ∠ EFC =$ ．

查看试题解析
16. 直线y＝－x＋2a（常数 $a > 0$ ）和双曲线 $y = \frac{k}{x} (k > 0 ， x > 0)$ 的图象有且只有一个交点B，一次函数y＝－x＋2a与x轴交于点A，点P是线段OA上的动点，点Q在反比例函数图象上，且满足∠BPO＝∠QPA．设PQ与线段AB的交点为M，若OM⊥BP，则 $s i n ∠ A M P$ 的值为．

查看试题解析

三、解答题（共7题，共66分）

17. $△ A B C$ 中， $t a n ∠ A C B = m$ ， $A D ⊥ B C$ 于D ， $C E ⊥ A B$ 于E ， $A D$ 交 $C E$ 于F

(1)、求证： $△ A D C ∽ △ B D F$ ；

(2)、求 $\sin ∠ F B D$ （用含m的代数式表示）；

(3)、当 $m = \frac{4}{3}$ 时，求 $\frac{C E}{C F}$ 的最大值．

查看试题解析
18. 如图

(1)、如图1，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 2 ∠ B$ ， $C D$ 平分 $∠ A C B$ ，交 $A B$ 于点 $D$ ， $D E / / A C$ ，交 $B C$ 于点 $E$ ．
①若 $D E = 1$ ， $B D = \frac{3}{2}$ ，求 $B C$ 的长；
②试探究 $\frac{A B}{A D} - \frac{B E}{D E}$ 是否为定值．如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．

(2)、如图2， $∠ C B G$ 和 $∠ B C F$ 是 $△ A B C$ 的2个外角， $∠ B C F = 2 ∠ C B G$ ， $C D$ 平分 $∠ B C F$ ，交 $A B$ 的延长线于点 $D$ ， $D E / / A C$ ，交 $C B$ 的延长线于点 $E .$ 记 $△ A C D$ 的面积为 $S_{1}$ ， $△ C D E$ 的面积为 $S_{2}$ ， $△ B D E$ 的面积为 $S_{3} .$ 若 $S_{1} \cdot S_{3} = \frac{9}{16} S_{2}^{2}$ ，求 $c o s ∠ C B D$ 的值．

查看试题解析
19. 已知，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $C D ⊥ A B$ 于点D，点M是射线 $C D$ 上一动点（不与C、D重合），连结 $A M$ ，在 $A M$ 下方作 $△ A M N$ ，连结 $B N$ ，使 $∠ M A N = ∠ C A B$ ， $∠ A B N = ∠ A B C$ ．

(1)、如图，当点M在线段 $C D$ 上时，求证： $△ A C M ∽ △ A B N$ ；

(2)、如图， $A C ∶ B C = 3 ∶ 4$ ，当点M在线段 $C D$ 的延长线上时， $B N$ 交射线 $C D$ 于点E．

①试判断 $A M$ 与 $M N$ 的数量关系和位置关系，并说明理由；

②若 $B N = A B$ ，求 $s i n ∠ E N M$ 的值．

查看试题解析
20. 如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD交射线BC于点E，过点C作CF⊥AE交射线AE于点F，连结BD交AE于点G，连结DF交射线BC于点H.

(1)、当AB＜AD时，
①求证：BE＝CD，
②猜想∠BDF的度数，并说明理由.

(2)、若 $\frac{A B}{A D} = k$ 时，求tan∠CDF的值（用含k的代数式表示）.

查看试题解析
21.

(1)、如图1，纸片 $▱ A B C D$ 中， $A D ＝ 10$ ， $S_{▱ A B C D} = 60$ ，过点A作 $A E ⊥ B C$ ，垂足为E，沿 $A E$ 剪下 $△ A B E$ ，将它平移至 $△ D C E^{'}$ 的位置，拼成四边形 $A E E^{'} D$ ，则四边形 $A E E^{'} D$ 的形状为____．（从以下选项中选取）

A、正方形 B、菱形 C、矩形

(2)、如图2，在（1）中的四边形纸片 $A E E^{'} D$ 中，在 $E E^{'}$ 上取一点F，使 $E F ＝ 8$ ，剪下 $△ A E F$ ，将它平移至 $△ D E^{'} F^{'}$ 的位置，拼成四边形 $A F F^{'} D$ ．

①求证：四边形 $A F F^{'} D$ 是菱形；

②连接 $D F$ ，求 $s i n ∠ A D F$ 的值．

查看试题解析
22. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A D = n A B (n > 1)$ ，点 $E$ 是 $A D$ 边上一动点（点 $E$ 不与 $A$ ， $D$ 重合），连接 $B E$ ，以 $B E$ 为边在直线 $B E$ 的右侧作矩形 $E B F G$ ，使得矩形 $E B F G ∽$ 矩形 $A B C D$ ， $E G$ 交直线 $C D$ 于点 $H$ .

(1)、【尝试初探】在点 $E$ 的运动过程中， $△ A B E$ 与 $△ D E H$ 始终保持相似关系，请说明理由.

(2)、【深入探究】若 $n = 2$ ，随着 $E$ 点位置的变化， $H$ 点的位置随之发生变化，当 $H$ 是线段 $C D$ 中点时，求 $t a n ∠ A B E$ 的值.

(3)、【拓展延伸】连接 $B H$ ， $F H$ ，当 $△ B F H$ 是以 $F H$ 为腰的等腰三角形时，求 $t a n ∠ A B E$ 的值（用含 $n$ 的代数式表示）.

查看试题解析
23. 问题背景：

(1)、如图1，正方形ABCD，点E、F分别在边AB、BC上，连接AF与DE交于点O，有∠FOD＝90°，则 $\frac{A F}{D E}$ ＝，若E为AB中点，则 $\frac{E O}{D O} =$ ；

(2)、尝试应用：
如图2，平行四边形ABCD，AB＝5，BC＝4，点E边AB上，点F在边BC的延长线上，连接AF与DE交于点O，当∠FOD＝∠B时，求 $\frac{A F}{D E}$ 的值；

(3)、类比拓展：
如图3，菱形ABCD中， $\frac{A E}{B E} = \frac{2}{m}$ （m>2），点E在边AB上，点F是BC延长线上一点，且满足 $\frac{B C}{C F} = \frac{3}{2}$ ，连接AF与DE交于点O时，∠DAO＝∠AED；直接写出cos∠ABF的值．（用含m的式子表示）

查看试题解析