2023-2024学年高中数学人教A版必修二 7.3 复数的三角表示同步练习

试卷更新日期：2023-09-12 类型：同步测试

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一、选择题

1. 复数 $6 (c o s \frac{4 π}{3} + i s i n \frac{4 π}{3}) =$ （）

A、 $- 3 - 3 \sqrt{3} i$ B、 $- 3 \sqrt{3} - 3 i$ C、 $- 3 + 3 \sqrt{3} i$ D、 $3 - 3 \sqrt{3} i$

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2. 欧拉公式： $e^{i θ} = c o s θ + i s i n θ$ 将复指数函数与三角函数联系起来，在复变函数中占有非常重要的地位，根据欧拉公式，复数 $e^{3 i}$ 在复平面内对应的点所在的象限为（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 若复数 $z = (5 - 12 i) (c o s θ + i s i n θ) (θ \in R)$ （其中i是虚数单位），则 $| \bar{z} | =$ （）

A、5 B、12 C、13 D、17

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4. 在复平面内，复数 $z = s i n \frac{2 π}{3} + i c o s \frac{2 π}{3}$ 对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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5. 棣莫佛公式 ${[r (c o s θ + i s i n θ)]}^{n} = r^{n} (c o s n θ + i s i n n θ)$ （i为虚数单位， $r > 0$ ），是由法国数学家棣莫佛发现的.根据棣莫佛公式，复数 $z = {[\frac{\sqrt{2}}{2} (c o s \frac{5 π}{12} + i s i n \frac{5 π}{12})]}^{4}$ 的虚部为（）

A、 $- \frac{1}{8}$ B、 $\frac{1}{8}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{8}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{8}$

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6. 已知复数 $z = c o s 75 ° + i s i n 75 °$ ，则 $\frac{| z |^{2}}{z^{2}} =$ （）．

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} i$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} i$ C、 $- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i$ D、1

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7. 欧拉公式 $e^{i θ} = c o s θ + i s i n θ$ （其中 $e = 2.718 \cdot \cdot \cdot$ ， $i$ 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”根据欧拉公式，下列结论中正确的是（）

A、 $e^{i π}$ 的实部为0 B、 $e^{2 i}$ 在复平面内对应的点在第一象限 C、 $| e^{i θ} | = 1$ D、 $e^{i π}$ 的共轭复数为 $1$

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8. 瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写下 $e^{i θ} = c o s θ + i s i n θ$ ，被誉为“数学中的天桥”，据此 ${(c o s \frac{π}{6} + i s i n \frac{π}{6})}^{6} =$ （）

A、1 B、-1 C、0 D、-i

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9. 已知 $z = \cos θ + i \sin θ$ ， $θ \in (0 ， \frac{π}{2})$ ， $\bar{z}$ 是z的共轭复数，且 $\frac{\bar{z}}{z} = \frac{3}{5} - \frac{4}{5} i$ ，则 $\tan θ =$ （）

A、2 B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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10. 欧拉公式（ $e^{i θ} = c o s θ + i s i n θ$ ）被称为“上帝公式”、“最伟大的数学公式”、“数学家的宝藏”．尤其是当 $θ = π$ 时，得到 $e^{i π} + 1 = 0$ ，将数学中几个重要的数字0，1，i，e， $π$ 联系在一起，美妙的无与伦比．利用欧拉公式化简 $z = \frac{e^{\frac{π}{4} i}}{e^{\frac{π}{2} i}}$ ，则在复平面内，复数z对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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二、多项选择题

11. 欧拉公式 $e^{i x} = \cos x + i \sin x$ （本题中e为自然对数的底数，i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”依据欧拉公式，则下列结论中正确的是（）

A、复数 $e^{i \frac{π}{2}}$ 为纯虚数 B、复数 $e^{i 2}$ 对应的点位于第二象限 C、复数 $e^{i \frac{π}{3}}$ 的共轭复数为 $\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} i$ D、复数 $e^{i θ} (θ \in R)$ 在复平面内对应的点的轨迹是圆

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12. 已知复数 $z_{1}$ 、 $z_{2}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $| z_{1} | + | z_{2} | \geq | \bar{z_{1}} + \bar{z_{2}} |$ B、若 $| z_{1} | > | z_{2} |$ ，则 $z_{1} > z_{2}$ C、若 $z_{1} z_{2} = 0$ ，则 $z_{1}$ 、 $z_{2}$ 中至少有 $1$ 个是 $0$ D、若 $z_{1} \neq 0$ 且 $\bar{z_{1}} z_{2} = {| z_{1} |}^{2}$ ，则 $z_{1} = z_{2}$

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13. 欧拉公式 $e^{x i} = c o s x + i s i n x$ （其中 $i$ 为虚数单位， $x ∈ R$ ）将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，则（）

A、 $e^{π i} = 1$ B、 $e^{\frac{π i}{2}}$ 为纯虚数 C、 $| \frac{e^{x i}}{\sqrt{3} + i} | = \frac{1}{2}$ D、复数 $e^{2 i}$ 对应的点位于第三象限

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14. 关于复数 $z = c o s \frac{2 π}{3} + i s i n \frac{2 π}{3}$ （i为虚数单位），下列说法正确的是（）

A、 $| z | = 1$ B、 $\bar{z}$ 在复平面上对应的点位于第二象限 C、 $z^{3} = 1$ D、 $z^{2} + z + 1 = 0$

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三、填空题

15. 已知复数 $z = s i n \frac{π}{3} + i c o s \frac{π}{3}$ ，则 $| z | =$ ．

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16. 欧拉公式 $e^{i x} = c o s x + i s i n x$ （ $i$ 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，则复数 $\frac{\sqrt{2} i}{e^{\frac{π}{4} i}}$ 的共轭复数为．

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17. 欧立公式 $e^{i θ} = c o s θ + i s i n θ$ （ $i$ 为虚数单位， $e$ 为自然底数）是瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥"，若将其中 $θ$ 取作 $π$ 就得到了欧拉恒等式 $e^{i π} + 1 = 0$ ，它将两个超越数——自然底数 $e$ ，圆周率 $π$ ，两个单位一虚数单位 $i$ ，自然数单位1，以及被称为人类伟大发现之一0联系起来，数学家评价它是“上帝创造的公式”.由欧拉公式可知，若复数 $z = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} i$ ，则 $z^{3} =$ .

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四、解答题

18. 已知复数 $z_{1} = 2 - m^{2} + (2 m - 1) i ， z_{2} = λ + s i n θ - (1 - 2 c o s θ) i$ （其中 $i$ 是虚数单位， $m ， λ \in R$ ）.

(1)、若 $z_{1}$ 在复平面内表示的点在第三象限的角平分线上，求实数 $m$ 的值；

(2)、若 $z_{1} = z_{2}$ ，求实数 $λ$ 的取值范围.

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19. 已知复数 $z_{1} = 1 + a i (a \in R)$ ，且 $\bar{z_{1}} (3 + i)$ 为纯虚数.

(1)、求实数 $a$ 的值；

(2)、设复数 $z_{2} = \frac{b - i^{2023}}{z_{1}}$ ，且复数 $z_{2}$ 对应的点在第二象限，求实数 $b$ 的取值范围.

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2023-2024学年高中数学人教A版必修二 7.3 复数的三角表示 同步练习

一、选择题

二、多项选择题

三、填空题

四、解答题

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