2023-2024学年高中数学人教A版必修二 7.2 复数的四则运算同步练习

试卷更新日期：2023-09-12 类型：同步测试

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一、选择题

1. 若复数 $z$ 满足 $(1 + i) z = 4 - 2 i$ （ $i$ 为虚数单位），则 $z$ 的共轭复数 $\bar{z} =$ （）

A、 $3 + i$ B、 $3 - i$ C、 $1 + 3 i$ D、 $1 - 3 i$

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2. 已知复数 $z$ 在复平面内对应的点是 $(0 ， 1)$ ，则 $\frac{1 + i}{z} =$ （）

A、 $1 + i$ B、 $1 - i$ C、 $- 1 + i$ D、 $- 1 - i$

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3. 已知复数 $z = \frac{1 + 3 i}{1 - 2 i}$ ，则 $z$ 的共轭复数的虚部为（）

A、1 B、i C、 $- i$ D、 $- 1$

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4. 复数 $(z + i) (2 - i) = i$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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5. 已知 $(1 + i) z = i$ ，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} - \frac{1}{2} i$ B、 $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} i$ C、 $- \frac{1}{2} + \frac{1}{2} i$ D、 $- \frac{1}{2} - \frac{1}{2} i$

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6. 已知复数 $z$ 满足 $\frac{1 + 3 i}{z} = 1 - i (i$ 为虚数单位 $)$ ， $\bar{z}$ 是 $z$ 的共轭复数，则复数 $\bar{z}$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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7. 已知复数 $z$ 满足 $z (3 + i) = 3 + i^{2023}$ ，则 $z$ 的共轭复数 $\bar{z}$ 的虚部为（）

A、 $- \frac{3}{5} i$ B、 $\frac{3}{5} i$ C、 $- \frac{3}{5}$ D、 $\frac{3}{5}$

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8. 已知 $(1 - 2 i) z = 2 i$ ，则z的共轭复数 $\bar{z} =$ （）

A、 $\frac{4}{5} + \frac{2}{5} i$ B、 $- \frac{4}{5} + \frac{2}{5} i$ C、 $\frac{4}{5} - \frac{2}{5} i$ D、 $- \frac{4}{5} - \frac{2}{5} i$

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二、多项选择题

9. 在复平面内，点 $Z (2 ， 1)$ 对应的复数为z，则（）

A、 $| z | = 5$ B、 $z + \bar{z} = 4$ C、 $z \bar{z} = 5$ D、 $\frac{1}{z} = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} i$

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10. 已知复数 $z = (2 - 3 i) (1 + i)$ ，其共轭复数为 $\bar{z}$ ，则（）

A、 $z$ 的实部与虚部之和为 $4$ B、 $\bar{z} = 5 + i$ C、 $z^{2}$ 是纯虚数 D、 $| \bar{z} | = 2 \sqrt{6}$

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11. 设 $z_{1}$ ， $z_{2}$ ， $z_{3}$ 为复数，且 $z_{1} \neq z_{2}$ .下列命题中正确的是（）

A、若 $z_{1} z_{3} = z_{2} z_{3}$ ，则 $z_{3} = 0$ B、若 $z_{1} = z_{3}$ ，则 ${| z_{1} |}^{2} = z_{1} z_{3}$ C、若 $| z_{1} - z_{2} | = | z_{1} + z_{2} |$ ，则 $z_{1} z_{2} = 0$ D、若 ${\bar{z}}_{2} = z_{3}$ ，则 $| z_{1} z_{2} | = | z_{1} z_{3} |$

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12. 复数 $z = \frac{2 + i}{1 - i}$ ， $i$ 是虚数单位，则下列结论正确的是（）

A、 $z \cdot \bar{z} = \frac{5}{2}$ B、 $z$ 的共轭复数为 $\frac{1}{2} + \frac{3}{2} i$ C、 $z$ 的实部与虚部之和为 $2$ D、 $z$ 在复平面内的对应点位于第一象限

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13. 已知复数 $z$ ，其共轭复数为 $\bar{z}$ ，下列结论正确的是（）

A、 $z \cdot \bar{z} = | z |^{2}$ B、 $z^{2} = | \bar{z} |^{2}$ C、 $z + \bar{z} = 0$ D、 $| z | + | \bar{z} | \geq | z + \bar{z} |$

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14. 已知复数 $z_{1} = i$ ， $z_{2} = 2 - i$ ，下列结论正确的有（）

A、 $\bar{z_{1} z_{2}} = \bar{z_{1}} \cdot \bar{z_{2}}$ B、若 $| z - z_{2} | = 1$ ，则 $| z |$ 的最大值为 $\sqrt{5}$ C、 $z_{1} + z_{2} \in R$ D、 $z_{1} \bar{z_{2}}$ 在复平面内对应的点在第二象限

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15. 下列命题为真命题的是（）

A、若复数 $z_{1} > z_{2}$ ，则 $z_{1} ， z_{2} \in R$ B、若i为虚数单位，n为正整数，则 $i^{4 n + 3} = i$ C、若 $z_{1}^{2} + z_{2}^{2} = 0$ ，则 $z_{1} = z_{2} = 0$ D、若 $(1 + 2 i) a + b = 2 i$ ，其中a，b为实数，a=1，b=-1

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16. 若关于 $x 的$ 方程 $x^{2} + p x + q = 0$ （ $p ， q$ 是实数）有两个不等复数根 $α 和 β$ ，其中 $α = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$ （ $i$ 是虚数单位），下面四个选项正确的有（）

A、 $α \times β = 1$ B、 $\frac{α}{β^{2}} = 1$ C、 $| \frac{α}{β} | = 2$ D、 $α^{3} + β^{3} = 2$

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三、填空题

17. 若复数 $z$ 满足 $R e z \geq 0$ ， $I m z \geq 0$ ，且 $| z | = | z - 1 - i |$ （ $i$ 为虚数单位），则 $| z |$ 的最小值为．

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18. 已知复数 $z = \frac{2 + i}{i}$ （ $i$ 是虚数单位），则 $| z | =$

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19. 已知 $(2 - i) z = i^{2021}$ （ $i$ 为虚数单位），则 $z =$ .

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20. 已知复数 $z$ 满足 $z^{2} + z + 1 = 0$ ，则 $z \cdot \bar{z} =$ .

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21. 已知i为虚数单位，若 $\frac{i}{1 + i} = a + b i ， (a ， b \in R)$ ，则 $a + b =$ ．

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22. 已知复数集合 $A = {x + y i | | x | \leq 1 ， | y | \leq 1 ， x ， y \in R}$ $B = {z_{2} | z_{2} = (\frac{3}{4} + \frac{3}{4} i) z_{1} ， z_{1} \in A}$ ，其中 $i$ 为虚数单位，若复数 $z \in A ∩ B$ ，则 $z$ 对应的点 $Z$ 在复平面内所形成图形的面积为

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23. 已知 $z = a + b i$ ( $a ， b \in R ， i$ 是虚数单位), $z_{1} ， z_{2} \in C ，$ 定义: $D (z) = | | z | | = | a | + | b | ， D (z_{1} ， z_{2}) = | | z_{1} - z_{2} | | ，$ 给出下列命题:
⑴对任意 $z \in C ，$ 都有 $D (z) > 0 ；$

⑵若 $\bar{z}$ 是 $z$ 的共轭复数,则 $D (\bar{z}) = D (z)$ 恒成立；

⑶若 $D (z_{1}) = D (z_{2}) (z_{1} ， z_{2} \in C) ，$ 则 $z_{1} = z_{2} ；$

⑷对任意 $z_{1} ， z_{2} ， z_{3} \in C ，$ 结论 $D (z_{1} ， z_{3}) \leq D (z_{1} ， z_{2}) + D (z_{2} ， z_{3})$ 恒成立.

则其中所有的真命题的序号是.

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四、解答题

24. 设复数 $z = a + b i (a ， b \in R)$ ， i为虚数单位，且满足 $| z | + z = \frac{- 4 + 8 i}{i}$ ．

(1)、求复数z；

(2)、复数z是关于x的方程 $x^{2} + p x + q = 0$ 的一个根，求实数p，q的值．

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25. 解下列小题：

(1)、设复数 $z$ 满足 $4 - {(1 - i)}^{2} = z (1 - 2 i)$ ，求复数 $| z | ；$

(2)、若复数 $z$ 满足 $z ⋅ (2 + i) = \bar{z} ⋅ (1 - i) + 1$ ，求复数 $z ；$

(3)、已知复数 $z = m^{2} + 5 m + 6 + (m^{2} - 2 m - 15) i$ ，当实数 $m$ 为何值时，复数 $z$ 对应的点 $Z$ 在第四象限．

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26. 已知复数 $z$ 满足 $∣ z ∣ = \sqrt{2}$ ， $z^{2}$ 的虚部为 $2$ ．

(1)、求复数 $z$ ；

(2)、当复数 $z$ 的虚部大于零，设复数 $z$ ， $z^{2}$ ， $z - z^{2}$ 在复平面上对应的点分别为 $A$ ， $B$ ， $C$ ，求 $(\vec{O A} + \vec{O B}) \cdot \vec{O C}$ 的值．

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27. 已知复数 $z$ 满足 $(1 + 3 i) z = 5 + 5 i$ .

(1)、求 $z - \bar{z}$ ；

(2)、求 ${(\frac{z}{2 \bar{z} - 3})}^{2023}$ .

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28. 已知复数 $z = m (m - 2) + m i (m \in R)$ 是纯虚数．

(1)、求实数 $m$ 的值；

(2)、若复数 $ω$ 满足 $| ω | = | z |$ ， $ω + \bar{ω} = 2$ ，求复数 $ω$ ．

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29. $i$ 为虚数单位， $z = a + b i (a, b \in R)$ 且 $z - \frac{1}{z}$ 是纯虚数，

(1)、求 $| z - 2 |$ 的取值范围；

(2)、若 $a \neq 0$ ， $u = \frac{1 - z}{1 + z}$ ， $v = z + \frac{1}{z}$ ，求 $4 v - u^{2}$ 的最小值.

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30. 已知z=1+i，a，b为实数．

(1)、若ω=z²+3 $\bar{z}$ ﹣4，求|ω|；

(2)、若 $\frac{z^{2} + a z + b}{z^{2} - z + 1} - 1 - i$ ，求a，b的值．

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二、多项选择题

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四、解答题

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