2023-2024学年高中数学人教A版必修二 6.4 平面向量的应用同步练习

试卷更新日期：2023-09-12 类型：同步测试

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一、选择题

1. 在 $△ A B C$ 中，已知 $a = 2$ ， $b = 3$ ， $C = 60 °$ ，则 $c$ 等于（）

A、 $\sqrt{7}$ B、7 C、 $\sqrt{19}$ D、19

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2. 在 $△ A B C$ 中，已知 $b^{2} + c^{2} - a^{2} = b c$ ，且 $2 c o s B s i n C = s i n A$ ，则该三角形的形状是（）

A、直角三角形 B、等腰三角形 C、等边三角形 D、钝角三角形

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3. 在△ABC中，D为BC的中点，3sin∠ADB=2sin∠ACB，BC=6，AB=4 $\sqrt{2}$ ，则△ABC的面积为（）

A、2 $\sqrt{3}$ B、3 $\sqrt{3}$ C、2 $\sqrt{2}$ D、4 $\sqrt{2}$

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4. 在 $△ A B C$ 中，若 $B = 3 A$ ，则 $\frac{b}{a}$ 的取值范围是（）

A、 $(1 ， 2)$ B、 $(2 ， 3)$ C、 $(1 ， 3)$ D、 $(0 ， 3)$

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5. 在锐角 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 $c - b = 2 b c o s A$ .若 $λ s i n A - c o s (C - B) < 2$ 恒成立，则实数 $λ$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty ， 2 \sqrt{2}]$ B、 $(- \infty ， 2 \sqrt{2})$ C、 $(- \infty ， \frac{5 \sqrt{3}}{3}]$ D、 $(- \infty ， \frac{5 \sqrt{3}}{3})$

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6. 十七世纪法国数学家皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”.它的答案是：当三角形的三个角均小于 $12 0^{∘}$ 时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角 $12 0^{∘}$ ；当三角形有一内角大于或等于120°时，所求点为三角形最大内角的顶点.在费马问题中所求的点称为费马点，已知在 $△ A B C$ 中，已知 $C = \frac{2}{3} π$ ， $A C = 1$ ， $B C = 2$ ，且点 $M$ 在 $A B$ 线段上，且满足 $C M = B M$ ，若点 $P$ 为 $△ A M C$ 的费马点，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P M} + \vec{P M} \cdot \vec{P C} + \vec{P A} \cdot \vec{P C} =$ （）

A、 $- 1$ B、 $- \frac{4}{5}$ C、 $- \frac{3}{5}$ D、 $- \frac{2}{5}$

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7. 如图，在矩形ABCD中， $A B = 3 ， B C = 4$ ， E为AD上一点， $B E ⊥ A C$ ，若 $\vec{B A} = λ \vec{B E} + μ \vec{A C}$ ，则 $λ - μ$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{7}{25}$ C、 $\frac{16}{25}$ D、1

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8. 在锐角 $△ A B C$ 中，角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ， $△ A B C$ 的面积为S ，若 $s i n (A + C) = \frac{2 S}{b^{2} - a^{2}}$ ，则 $t a n A + \frac{1}{3 t a n (B - A)}$ 的取值范围为（）

A、 $[\frac{2 \sqrt{3}}{3} ， + \infty)$ B、 $[\frac{2 \sqrt{3}}{3} ， \frac{4}{3}]$ C、 $(\frac{2 \sqrt{3}}{3} ， \frac{4}{3})$ D、 $[\frac{2 \sqrt{3}}{3} ， \frac{4}{3})$

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9. 如图，在 $△ A B C$ 中，D是BC的中点，E是AC上的点， $A C = 2 A B$ ， $C D = 1$ ， $A E = 3 E C$ ， $∠ A D B = ∠ E D C = α$ ，则 $c o s α =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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二、多项选择题

10. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $A = \frac{2 π}{3}$ ， $a = 3$ ， $A B$ 边上的高为 $\frac{3}{2}$ ，则 $△ A B C$ 为等腰三角形 B、若 $a = \sqrt{3}$ ， $b = 1$ ， $B = \frac{π}{6}$ ，则 $△ A B C$ 为直角三角形 C、若 $A = 2 C$ ， $s i n B = 2 s i n C$ ，则 $△ A B C$ 为直角三角形 D、若 $t a n A + t a n B + t a n C > 0$ ，则 $△ A B C$ 为锐角三角形

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11. 在 $△ A B C$ 中， $A = \frac{π}{6} ， A B = 2$ ，下列结论正确的是（）

A、若 $B C = \sqrt{2}$ ，则 $C = \frac{π}{4}$ B、若 $A C = \sqrt{3}$ ，则 $B C = 1$ C、若 $△ A B C$ 的面积 $S = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则该三角形为直角三角形 D、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，则 $B C \in (1 ， \frac{2}{3} \sqrt{3})$

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12. 在 $△ A B C$ 中， $| \vec{B C} | = 2$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 1$ ，则 $B C$ 边上的中线长 $| \vec{A D} | = \sqrt{2}$ B、若 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} < 0$ ，则 $| \vec{A B} |^{2} + | \vec{A C} |^{2} < 4$ C、若 $t a n A = \frac{3}{4}$ ，则 $△ A B C$ 面积的最大值为2 D、若 $| \vec{A B} | = 2 | \vec{A C} |$ ，则 $△ A B C$ 面积的最大值为 $\frac{4}{3}$

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13. 在 $△ A B C$ 中，三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c， $\vec{A D} = λ \vec{A C} (λ \in R)$ ，记 $∠ A B D = θ$ .下列命题中正确的是（）

A、若 $λ = \frac{1}{2}$ ，则 $c s i n θ = a s i n (B - θ)$ B、若 $λ = \frac{1}{2}$ ，则 $c c o s θ + b c o s (A + θ) = B D$ C、若 $λ \in [0 ， 1]$ ，则 $\frac{s i n θ}{a} + \frac{s i n (B - θ)}{c} = \frac{s i n B}{B D}$ D、若 $λ \in [0 ， 1]$ ，则 $a c o s (B - θ) + b c o s (A + θ) = c c o s θ$

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14. 窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出几何图形的示意图.已知正八边形 $A B C D E F G H$ 的边长为2， $P$ 是正八边形 $A B C D E F G H$ 边上任意一点，则下列说法正确的是（）

A、若函数 $f (x) = | \vec{A D} - x \vec{A B} |$ ，则函数 $f (x)$ 的最小值为 $2 + \sqrt{2}$ B、 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 的最大值为 $12 + 8 \sqrt{2}$ C、 $\vec{A G}$ 在 $\vec{A B}$ 方向上的投影向量为 $- \frac{\vec{A B}}{2}$ D、 $\vec{O A} + \vec{O C} = \sqrt{3} \vec{O B}$

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三、填空题

15. 海伦不仅是古希腊的数学家，还是一位优秀的测绘工程师，在他的著作《测地术》中最早出现了已知三边求三角形面积的公式，即著名的海伦公式 $S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ （其中 $p = \frac{1}{2} (a + b + c)$ ）， $a ， b ， c$ 分别为 $△ A B C$ 的三个内角 $A ， B ， C$ 所对的边，该公式具有轮换对称的特点，形式很美.已知在 $△ A B C$ 中， $a = 2 ， b = 3 ， c = 4$ ，则该三角形内切圆的半径为.

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16. 在 $△ A B C$ 中，点D在边 $B C$ 上（不含端点）， $∠ A B C = 120 °$ ， $B D = 2$ ， $A B = B C$ ， $\frac{A D^{2}}{C D}$ 的最小值为.

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17. 在 $△ A B C$ 中，若 $A C = 2$ ， $B = \frac{π}{3}$ ，且 $s i n A s i n C = \frac{9}{28}$ ，则 $A B =$ ．

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18. 在 $△ A B C$ 中， $B = 60 °$ ， $B A = 2$ ， $C D = 3 B C$ ，对任意 $u \in R$ ，有 $| \vec{C A} - (μ - 1) \vec{B C} | \geq | \vec{A C} |$ 恒成立，点 $P$ 是直线 $B A$ 上，则 $C P + D P$ 的最小值是．

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19. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别是 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，且 $\frac{\sqrt{3} a}{s i n B c o s C} + \frac{b}{c o s B} + \frac{c}{c o s C} = 0$ ，则 $B =$ ；若 $∠ A B C$ 的角平分线与边 $A C$ 交于点 $D$ ，且 $B D = 4$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{c} =$ .

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20. 在平面直角坐标系中， $A (0 ， 0)$ ， $B (1 ， 2)$ 两点绕定点 $P$ 按顺时针方向旋转 $θ$ 角后，分别到 $A^{'} (4 ， 4)$ ， $B^{'} (5 ， 2)$ 两点位置，则 $c o s θ$ 的值为.

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四、解答题

21. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a ， b ， c ，且 $a s i n B + \sqrt{3} b c o s A = 0$ ．

(1)、求角A的大小；

(2)、若 $b = 4$ ， △ABC的面积 $S = 2 \sqrt{3}$ ，求△ABC的周长．

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22. 已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量 $\vec{m} = (s i n A ， \sqrt{3} c o s A)$ ， $\vec{n} = (1 ， 1)$ ，且 $\vec{m} ∥ \vec{n}$ .

(1)、求角A；

(2)、若 $a = 2 \sqrt{7}$ ， b＝4，求 $△ A B C$ 的周长.

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23. 在 $△ A B C$ 中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且 $2 a s i n A = (2 b - c) s i n B + c (2 s i n C - s i n B)$ ．

(1)、求A；

(2)、点D在边 $B C$ 上，且 $B D = 3 D C$ ， $A D = 4$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值．

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24. 在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，其中b=2．

(1)、若A+C=120°，a=2c，求边长c；

(2)、若A-C=15°，a= $\sqrt{2}$ csinA，求△ABC的面积．

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25. 在 $Δ A B C$ 中， $B = \frac{π}{3}$ ，点D在边 $A B$ 上， $B D = 1$ ，且 $D A = D C$ .

(1)、若 $Δ B C D$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，求 $C D$ ；

(2)、设 $∠ D C A = θ$ ，若 $A C = \sqrt{3}$ ，求 $θ$ .

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26. 在 $△ A B C$ 中，点P为 $△ A B C$ 所在平面内一点.

(1)、若点P在边BC上，且 $\vec{B P} = \frac{1}{3} \vec{P C}$ ，用 $\vec{A B}$ ， $\vec{A C}$ 表示 $\vec{A P}$ ；

(2)、若点P是 $△ A B C$ 的重心.
①求证： $\vec{P A} + \vec{P B} + \vec{P C} = \vec{0}$ ；

②若 $35 s i n A \cdot \vec{P A} + 21 s i n B \cdot \vec{P B} + 15 s i n C \cdot \vec{P C} = \vec{0}$ ，求 $c o s ∠ B A C$ .

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27. 某公司竞标得到一块地，如图1，该地两面临湖（BC，CD面临湖）， $A D = 100 m$ ， $∠ D A C = ∠ B A C = 45 °$ ， $∠ A B D = 30 ° ， ∠ C B D = 45 °$ ．

(1)、求BC，CD的长；

(2)、该公司重新设计临湖面，如图2， $\overset{⌢}{B D}$ 是以BD为直径的半圆，P是 $\overset{⌢}{B D}$ 上一点，BP，PD是一条折线观光道，已知观光道每米造价300元，若该公司预计用88000元建观光道，问预算资金是否充足?

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28. 某城市计划新修一座城市运动主题公园，该主题公园为平面五边形 $A B C D E$ （如图所示），其中三角形 $A B E$ 区域为儿童活动场所，三角形 $B C D$ 区域为文艺活动场所，三角形 $B D E$ 区域为球类活动场所， $A B ， B C ， C D ， D E ， E A$ 为运动小道（不考虑宽度）， $∠ B C D = ∠ B A E = 12 0^{∘}$ ， $B C = C D = 2 \sqrt{3} k m$ ， $D E = 8 k m$ .

条件①： $c o s ∠ D B E = \frac{3}{5}$ ；

条件②： $∠ C D E = 12 0^{∘}$ .

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

(1)、求 $B D$ 的长度；

(2)、再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求 $B E$ 的长度；

(3)、在（2）的条件下，应该如何设计，才能使儿童活动场所（即三角形 $A B E$ ）的面积最大？

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2023-2024学年高中数学人教A版必修二 6.4 平面向量的应用 同步练习

一、选择题

二、多项选择题

三、填空题

四、解答题

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