2023-2024学年高中数学人教A版必修二 6.2 平面向量的运算同步练习

试卷更新日期：2023-09-12 类型：同步测试

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一、选择题

1. 已知 $\vec{a} ， \vec{b}$ 均为单位向量且 $| \vec{a} + \vec{b} | = 1$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $\frac{\vec{b}}{2}$ B、 $- \frac{\vec{b}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3} \vec{b}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3} \vec{b}}{2}$

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2. 在平行四边形ABCD中， $\vec{D C} - \vec{A C} + \vec{A B} =$ （）

A、 $\vec{D B}$ B、 $\vec{B D}$ C、 $\vec{C A}$ D、 $\vec{A C}$

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3. $\vec{A B} + \vec{B C} - \vec{C A} =$ （）

A、 $2 \vec{C A}$ B、 $\vec{A C}$ C、 $\vec{0}$ D、 $2 \vec{A C}$

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4. ① $\vec{A B} + \vec{B C} + \vec{C A} = \vec{0}$ ；② $\vec{A B} - \vec{A C} + \vec{B D} - \vec{C D} = \vec{0}$ ；③ $\vec{O A} - \vec{O D} + \vec{A D} = \vec{0}$ ．其中正确的个数是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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5. 在等边 $△ A B C$ 中，点 $E$ 在中线 $C D$ 上，且 $C E = 7 E D$ ，则 $\vec{A E} =$ （）

A、 $\frac{1}{8} \vec{A C} + \frac{7}{8} \vec{A B}$ B、 $\frac{1}{8} \vec{A C} - \frac{7}{8} \vec{A B}$ C、 $\frac{1}{8} \vec{A C} - \frac{7}{16} \vec{A B}$ D、 $\frac{1}{8} \vec{A C} + \frac{7}{16} \vec{A B}$

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6. 化简 $\vec{O M} + \vec{M A} - \vec{O B}$ 等于（）

A、 $\vec{B A}$ B、 $\vec{A B}$ C、 $\vec{B M}$ D、 $\vec{M B}$

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7. 平行四边形ABCD中， $\vec{B C} + \vec{B A} - \vec{C D}$ 等于（）

A、 $\vec{C B}$ B、 $\vec{B C}$ C、 $\vec{D C}$ D、 $\vec{A C}$

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8. 下列命题中正确的是（）

A、 $\vec{O A} - \vec{O B} = \vec{A B}$ B、 $\vec{A B} - \vec{B A} = 0$ C、 $0 \cdot \vec{A B} = 0$ D、 $\vec{A B} + \vec{B C} - \vec{D C} = \vec{A D}$

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9. 设点 $M$ 是线段 $A B$ 的中点，点 $C$ 在直线 $A B$ 外， $| \vec{A B} | = 6$ ， $| \vec{C A} + \vec{C B} | = | \vec{C A} - \vec{C B} |$ ，则 $| \vec{C M} | =$ （）

A、12 B、6 C、3 D、 $\frac{3}{2}$

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10. 设 $\vec{a} ， \vec{b}$ 为基底向量，已知向量 $\vec{A B} = \vec{a} - k \vec{b}$ ， $\vec{C B} = 2 \vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{C D} = 3 \vec{a} - \vec{b}$ ，若 $A ， B ， D$ 三点共线，则实数 $k$ 的值等于（）

A、2 B、－2 C、10 D、－10

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11. 如图，已知 $\overset{⇀}{A B} = \overset{⇀}{a}$ ， $\overset{⇀}{A C} = \overset{⇀}{b}$ ， $\overset{⇀}{D C} = 3 \overset{⇀}{B D}$ ，则 $\overset{⇀}{A D} =$ （）

A、 $\frac{1}{4} \overset{⇀}{a} - \frac{3}{4} \overset{⇀}{b}$ B、 $\frac{1}{4} \overset{⇀}{a} + \frac{3}{4} \overset{⇀}{b}$ C、 $\frac{3}{4} \overset{⇀}{a} - \frac{1}{4} \overset{⇀}{b}$ D、 $\frac{3}{4} \overset{⇀}{a} + \frac{1}{4} \overset{⇀}{b}$

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12. 若 $\overset{⇀}{a}, \overset{⇀}{b}$ 是非零向量,则“ $| \overset{⇀}{a} | = | \overset{⇀}{b} |$ ”是“ $| \overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b} | = | \overset{⇀}{a} - \overset{⇀}{b} |$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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13. 已知 $\vec{a} ， \vec{b}$ 为两非零向量，若 $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} |$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角的大小是（）

A、 $90^{\circ}$ B、 $60^{\circ}$ C、 $45^{\circ}$ D、 $30^{\circ}$

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14. 已知点 $G$ 是正方形 $A B C D$ 的中心，点 $P$ 为正方形 $A B C D$ 所在平面外一点，则 $\vec{P A} + \vec{P B} + \vec{P C} + \vec{P D} =$ （）

A、 $\vec{P G}$ B、 $2 \vec{P G}$ C、 $3 \vec{P G}$ D、 $4 \vec{P G}$

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15. 在平行四边形 $A B C D$ 中， $A C$ 与 $B D$ 交于点 $O ， E$ 是线段OD的中点， $A E$ 的延长线与 $C D$ 交于点 $F$ ．若 $\vec{A C} = \vec{a}$ ， $\vec{B D} = \vec{b}$ ，则 $\vec{A F} =$ （）

A、 $\frac{1}{4} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{b}$ C、 $\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b}$ D、 $\frac{1}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b}$

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二、多项选择题

16. 在平行四边形ABCD中，点E，F分别是边AD和DC上的中点，BE与BF分别与AC交于M，N两点，则有（）

A、 $\vec{M N} = \frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A D}$ B、 $\vec{M N} = \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A D}$ C、 $\vec{M N} = \frac{2}{3} \vec{B F} - \frac{2}{3} \vec{B E}$ D、 $\vec{M N} = \frac{1}{3} \vec{B F} - \frac{1}{3} \vec{B E}$

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17. 如图所示，四边形 $A B C D$ 为梯形，其中 $A B / / C D$ ， $A B = 2 C D$ ， $M$ ， $N$ 分别为 $A B ， C D$ 的中点，则结论正确的是（）

A、 $\vec{A C} = \vec{A D} + \frac{1}{2} \vec{A B}$ B、 $\vec{C M} = \frac{1}{2} \vec{C A} + \frac{1}{2} \vec{C B}$ C、 $\vec{M N} = \vec{A D} + \frac{1}{4} \vec{A B}$ D、 $\vec{B C} = \vec{A D} + \frac{1}{2} \vec{A B}$

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18. 如图，在平行六面体 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 中， $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ， $\vec{A A^{'}} = \vec{c}$ ．若 $\vec{C M} = \vec{M D^{'}}$ ， $\vec{A^{'} P} = \frac{1}{2} \vec{A^{'} C}$ ，则（）

A、 $\vec{A^{'} C} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ B、 $\vec{A M} = \frac{1}{2} \vec{a} + \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ C、A，P， $D^{'}$ 三点共线 D、A，P，M，D四点共面

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19. 如图所示，已知P，Q，R分别是 $△ A B C$ 三边的AB，BC，CA的四等分，如果 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A C} = \vec{b}$ ，以下向量表示正确的是（）

A、 $\vec{Q P} = - \frac{3}{4} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b}$ B、 $\vec{Q R} = - \frac{3}{4} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}$ C、 $\vec{P R} = - \frac{1}{4} \vec{a} + \frac{3}{4} \vec{b}$ D、 $\vec{B C} = \vec{a} - \vec{b}$

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20. 一艘船在静水中的航行速度为5km/h，河水的流速为3km/h，则船的实际航行的速度可能为（）

A、1km/h B、5km/h C、8km/h D、10km/h

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21. 下列四式中能化简为 $\overset{⇀}{A D}$ 的是（）

A、 $(\overset{⇀}{A B} + \overset{⇀}{C D}) + \overset{⇀}{B C}$ B、 $(\overset{⇀}{A B} + \overset{⇀}{M B}) + (\overset{⇀}{C M} + \overset{⇀}{B C})$ C、 $(\overset{⇀}{M B} + \overset{⇀}{A D}) - \overset{⇀}{B M}$ D、 $(\overset{⇀}{O C} - \overset{⇀}{O A}) + \overset{⇀}{C D}$

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22. 下列说法中正确的是（）

A、若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ， $\vec{b} / / \vec{c}$ ，则 $\vec{a} / / \vec{c}$ B、两个非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ，若 $| \vec{a} - \vec{b} | = | \vec{a} | + | \vec{b} |$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 共线且反向 C、若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则存在唯一实数 $λ$ 使得 $\vec{a} = λ \vec{b}$ D、若 $P$ 是三角形 $A B C$ 的重心，则 $\vec{P A} + \vec{P B} + \vec{P C} = \vec{0}$

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23. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B / / C D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A B = 2 A D = 2 C D$ ， $E$ 是 $B C$ 边上一点，且 $\vec{B C} = 3 \vec{E C}$ ， $F$ 是 $A E$ 的中点，则下列关系式正确的是（）

A、 $\overset{⇀}{B E} = - \frac{1}{3} \overset{⇀}{A B} + \frac{2}{3} \overset{⇀}{A D}$ B、 $\vec{A F} = \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A D}$ C、 $\overset{⇀}{C F} = - \frac{1}{6} \overset{⇀}{A B} - \frac{2}{3} \overset{⇀}{A D}$ D、 $\vec{B F} = - \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A D}$

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三、填空题

24. 如图，在▱ABCD中，AC为一条对角线，若 $\vec{A B} = (2 ， 4) ， \vec{A C} = (1 ， 3)$ ，则 $\vec{B D}$ ＝.

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25. 已知四面体 $O A B C ， M ， N$ 分别是 $B C ， O A$ 的中点，且 $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ ，则用 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ 表示向量 $\vec{M N} =$ ．

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四、解答题

26. 如图所示，在平行四边形 $A B C D$ 中，M，N分别为 $D C$ ， $B C$ 的中点，已知 $\overset{⇀}{A M} = \vec{c} ， \overset{⇀}{A N} = \vec{d}$ ，试用 $\vec{c} ， \vec{d}$ 表示 $\overset{⇀}{A B} ， \overset{⇀}{A D}$

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27. 如图，点C是点B关于点A的对称点，点D是线段 $O B$ 的一个靠近点B的三等分点，设 $\overset{⇀}{A B} = \overset{⇀}{a} ， \overset{⇀}{A O} = \overset{⇀}{b}$ .

(1)、用向量 $\overset{⇀}{a}$ 与 $\overset{⇀}{b}$ 表示向量 $\overset{⇀}{O C} ， \overset{⇀}{C D}$ ；

(2)、若 $\overset{⇀}{O E} = \frac{4}{5} \overset{⇀}{O A}$ ，求证：C，D，E三点共线.

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二、多项选择题

三、填空题

四、解答题

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