2024高考一轮复习第七讲函数的奇偶性

试卷更新日期：2023-09-12 类型：一轮复习

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一、选择题

1. 已知 $f (x) = a^{x} + a^{- x}$ ，且 $f (3) > f (1)$ ，则下列各式一定成立的是（）

A、 $f (3) > f (- 2)$ B、 $f (0) > f (3)$ C、 $f (- 1) > f (- 3)$ D、 $f (0) > f (- 1)$

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2. 已知函数 $f (x) = \frac{4 x}{1 + | x |}$ ，则不等式 $- 3 < f (2 x + 1) < 3$ 的解集是（）

A、 $(- 1 ， 2)$ B、 $(- 2 ， 1)$ C、 $(- \infty ， - 1) ∪ (2 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - 2) ∪ (1 ， + \infty)$

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3. 已知 $f (x) = \frac{x e^{x}}{e^{a x} - 1}$ 是偶函数，则 $a =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、1 D、2

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4. 若 $f (x) = (x + a) l n \frac{2 x - 1}{2 x + 1}$ 为偶函数，则a=（）

A、-1 B、0 C、 $\frac{1}{2}$ D、-1

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5. 已知函数 $f (x) = e^{2 x} + e^{- 2 x + 2}$ ，则（）

A、 $f (x + 1)$ 为奇函数 B、 $f (x + \frac{1}{2})$ 为偶函数 C、 $f (x - 1)$ 为奇函数 D、 $f (x - \frac{1}{2})$ 为偶函数

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6. 设函数 $f (x)$ 在定义域 $R$ 上满足 $f (- x) + f (x) = 0$ ，若 $f (x)$ 在 $(- ∞ ， 0)$ 上是减函数，且 $f (- 1) = 0$ ，则不等式 $f (e^{x}) < 0$ 的解集为（）

A、 $(0 ， + \infty)$ B、 $(- 1 ， 0) \cup (1 ， + \infty)$ C、 $(- 1 ， 0)$ D、 $(\frac{1}{e} ， 1)$

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7. 函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且在 $(0 ， + ∞)$ 上单调递增， $f (1) = 0$ ，则不等式 $x f (x - 1) < 0$ 的解集为（）

A、 $(- \infty ， 0) \cup [2 ， + \infty)$ B、 $(0 ， 1)$ C、 $(- \infty ， 0) ∪ (2 ， + \infty)$ D、 $(1 ， 2)$

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8. 在下列函数中，为偶函数的是（）

A、 $f (x) = x - c o s x$ B、 $f (x) = x c o s x$ C、 $f (x) = l n | x |$ D、 $f (x) = \sqrt{x}$

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9. 下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的为（）

A、 $y = 0$ B、 $y = \frac{1}{x}$ C、 $y = x^{2}$ D、 $y = 2^{x}$

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10. 下列函数中，既是定义域内单调递增函数，又是奇函数的为（）

A、 $f (x) = t a n x$ B、 $f (x) = - \frac{1}{x}$ C、 $f (x) = x - c o s x$ D、 $f (x) = e^{x} - e^{- x}$

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11. 已知函数 $f (x)$ 为奇函数，且当 $x > 0$ 时， $f (x) = l o g_{3} (2 x + 1)$ ，则 $f (- 1) =$ （）

A、-1 B、0 C、1 D、2

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12. 已知函数 $f (x - 1)$ 为偶函数，且函数 $f (x)$ 在 $[- 1 ， + \infty)$ 上单调递增，则关于x的不等式 $f (1 - 2^{x}) < f (- 7)$ 的解集为（）

A、 $(- \infty ， 3)$ B、 $(3 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， 2)$ D、 $(2 ， + ∞)$

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二、填空题

13. 若偶函数 $f (x)$ 在 $[0 ， + ∞)$ 上单调递减，且 $f (1) = 0$ ，则不等式 $f (x^{2} - 3 x + 3) \geq 0$ 的解集是。

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14. 若函数 $y = f (x)$ 为偶函数，且当 $x < 0$ 时， $f (x) = 2^{x} - 1$ ，则 $f (1) =$ .

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15. 若 $f (x) = (x - 1)^{2} + a x + s i n (x + \frac{π}{2})$ 为偶函数，则 $a =$ ．

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16. 已知函数 $g (x) = \frac{a}{5^{x} - 1} + 6$ 为奇函数，则实数 $a =$ .

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三、解答题

17. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} m (x + \frac{1}{x}) - 2 ， x > 0 \\ 2 (x + \frac{1}{x}) + n ， x < 0 \end{array}$ 是奇函数.

(1)、求实数 $m$ ， $n$ 的值；

(2)、若对任意实数 $x$ ，都有 $f (e^{2 x}) + λ f (e^{x}) \geq 0$ 成立.求实数 $λ$ 的取值范围.

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18. 已知函数 $f (x) = l o g_{a} \frac{2 - x}{2 + x}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）.

(1)、求函数 $f (x)$ 的奇偶性；

(2)、若关于 $x$ 的方程 $f (x) = l o g_{a} (x - m)$ 有实数解，求实数 $m$ 的取值范围.

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19. 函数 $f (x) = \frac{x^{2} + (3 a + 1) x + c}{x + a} (a ， c \in R)$

(1)、当 $a = 0$ 是，是否存在实数 $c$ ，使得 $f (x)$ 为奇函数；

(2)、函数 $f (x)$ 的图像过点 $(1 ， 3)$ ，且 $f (x)$ 的图像与 $x$ 轴负半轴有两个交点，求实数 $a$ 的取值范围.

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20. 设 $f (x) = l o g_{\frac{1}{3}} \frac{1 - a x}{x - 1}$ 为奇函数， $a$ 为常数．

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、若 $\forall x \in [2 ， 4]$ ，不等式 $f (x) + x > (\frac{1}{3})^{x} + m$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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21. 已知函数 $f (x) = l o g_{2} (4^{x} + a) - x$ 是偶函数.

(1)、求实数 $a$ 的值；

(2)、求方程 $f (x) - x = 1$ 的实根的个数；

(3)、若函数 $g (x) = 2^{f (x)}$ 与 $h (x) = (n - 1) 2^{x} - n$ 的图象有且只有一个公共点，求实数 $n$ 的取值范围.

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{2 x + m}{x^{2} + 1}$ ， $x ∈ R$ 是奇函数.

(1)、求实数 $m$ 的值；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 在 $[2 ， 3]$ 上的单调性，并求函数 $f (x)$ 在 $[2 ， 3]$ 上的最大值和最小值.

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2024高考一轮复习 第七讲 函数的奇偶性

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二、填空题

三、解答题

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