北京市石景山区2022-2023学年八年级下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2023-09-11 类型：期末考试

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一、单选题

1. 在平面直角坐标系xOy中，点 $P (1 ， - 2)$ 关于原点对称的点的坐标是（）

A、 $(- 1 ， 2)$ B、 $(1 ， - 2)$ C、 $(- 2 ， 1)$ D、 $(2 ， - 1)$

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2. 下列图形中，是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 解方程 $x^{2} - 4 x = 3$ ，下列用配方法进行变形正确的是（）

A、 $(x - 2)^{2} = 19$ B、 $(x - 4)^{2} = 7$ C、 $(x - 2)^{2} = 4$ D、 $(x - 2)^{2} = 7$

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4. 一元二次方程 $2 x^{2} - 3 x + 5 = 0$ 的根的情况是（）

A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、没有实数根 D、无法确定

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5. 下表是甲、乙两名同学八次射击测试成绩，设两组数据的平均数分别为 $\overset{__}{x_{甲}}$ ， $\overset{__}{x_{乙}}$ ，方差分别为 $s_{甲}^{2}$ ， $s_{乙}^{2}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\overset{__}{x_{甲}} = \overset{__}{x_{乙}}$ ， $s_{甲}^{2} < s_{乙}^{2}$ B、 $\overset{__}{x_{甲}} = \overset{__}{x_{乙}}$ ， $s_{甲}^{2} > s_{乙}^{2}$ C、 $\overset{__}{x_{甲}} > \overset{__}{x_{乙}}$ ， $s_{甲}^{2} < s_{乙}^{2}$ D、 $\overset{__}{x_{甲}} < \overset{__}{x_{乙}}$ ， $s_{甲}^{2} > s_{乙}^{2}$

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6. 某工厂由于采用新技术，生产量逐月增加，原来月产量为2000件，两个月后增至月产量为3000件．若设月平均增长率为x ，则下列所列的方程正确的是（）

A、 $2000 (1 + x) = 3000$ B、 $2000 (1 + x)^{2} = 3000$ C、 $2000 (1 + x %)^{2} = 3000$ D、 $2000 + 2000 (1 + x) = 3000$

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7. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，四边形 $O A B C$ 是矩形，点 $A (3 ， 0)$ ， $C (0 ， 2)$ ，将矩形 $O A B C$ 绕点 $O$ 逆时针旋转 $90 °$ ，则旋转后点 $B$ 的对应点坐标为（）

A、 $(- 2 ， 3)$ B、 $(- 2 ， 0)$ C、 $(0 ， 3)$ D、 $(2 ， 3)$

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8. 小英以300米/分的速度匀速骑车8分钟到达某地，原地停留10分钟后以400米/分的速度匀速骑回出发地．小英距出发地的距离y（单位：千米）与时间x（单位：分）的函数图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

9. 函数y= $\sqrt{x - 1}$ 的自变量x的取值范围是．

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10. 已知 $x = 2$ 是关于x的一元二次方程 $x^{2} + b x - 5 = 0$ 的一个根，则b的值是．

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11. 根据某班40名学生身高的频数分布直方图（每组不含起点值，含终点值），回答下列问题：

(1)、人数最多的身高范围是；

(2)、身高大于175cm的学生占全班人数的百分比是．

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12. 请写出一个图象平行于直线 $y = - 5 x$ ，且过第一、二、四象限的一次函数的表达式．

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13. 已知点A（﹣2，y₁），B（3，y₂）在一次函数y＝2x﹣3的图象上，则y₁y₂（填“＞”，“＜”或“＝”）．

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14. 如图，菱形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点O ， M ， N分别是 $B C$ ， $D C$ 边的中点，连接 $M N$ 交 $A C$ 于点P ，以下说法正确的是（填写序号即可）．
① $D A = D C$ ② $O A = O B$ ③ $M N ⊥ A C$ ④ $∠ A B D = 60 °$

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15. 在平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 5$ ， $B C = 3$ ，过点D作 $D H ⊥ A B$ 于点H ，连接 $C H$ ．若 $C H$ 平分 $∠ D C B$ ，则 $D H$ 的长是．

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16. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 10$ ， $B C = 5$ ，点P从点A出发，沿线段 $A D$ 以每秒1个单位长度的速度向终点D运动；点Q从点B出发，沿线段 $B A$ 以每秒2个单位长度的速度向终点A运动． P ， Q两点同时出发，设点P运动的时间为 $t$ （单位：秒）， $△ A P Q$ 的面积为 $y$ ．则 $y$ 关于 $t$ 的函数表达式为．

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三、解答题

17. 解方程： $x^{2} - 4 x - 5 = 0$ .

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18. 一次函数 $y = k x + b$ （ $k \neq 0$ ）的图象经过点 $A (- 2 ， 5)$ ， $B (0 ， 1)$ ．求一次函数的表达式．

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19. 已知：如图 E、F 是平行四边形 ABCD 的对角线 AC 上的两点，AF＝CE．求证：BE=DF．

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20. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $A (4 ， - 1)$ ， $B (5 ， 5)$ ， $C (1 ， 4)$ ，点A关于 $x$ 轴的对称点 $P$ ．

⑴在平面直角坐标系中作出点C ，点P；
⑵顺次连接 $O ， P ， B ， C$ ，所得的四边形是（写出一种特殊四边形，不必证明）．

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21. 下面是证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
已知：如图，在 $△ A B C$ 中，点D ， E分别是 $A B$ ， $A C$ 边的中点．求证： $D E ∥ B C$ ，且 $D E = \frac{1}{2} B C$ ．

(1)、方法一：证明：如图，延长 $D E$ 到点 $F$ ，使 $E F = D E$ ，连接 $A F$ ， $F C$ ， $D C$ ．

(2)、方法二：证明：如图，取 $B C$ 中点 $G$ ，连接 $G E$ 并延长到点 $F$ ，使 $E F = G E$ ，连接 $A F$ ．

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22. 甲、乙两人赛跑时，路程 $s$ （单位：米）和时间 $t$ （单位：秒）的关系如图所示，请你观察图象并回答：

(1)、这次赛跑的总路程有米．

(2)、甲、乙两人中，的速度比较快．

(3)、求出发2秒后，甲、乙两人的距离．

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23. 已知：在矩形 $A B C D$ 中， $A C$ 是对角线．求作：菱形 $A E C F$ ，使点 $E ， F$ 分别在边 $A D ， B C$ 上．
作法：如图，①分别以点 $A$ ， $C$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} A C$ 长为半径画弧，两弧在线段 $A C$ 两侧分别交于点 $M ， N$ ；
②作直线 $M N$ 交 $A C$ 于点 $O$ ，与 $A D ， B C$ 分别交于点 $E ， F$ ；
③连接 $A F ， C E$ ．
所以四边形 $A E C F$ 就是所求的菱形．
根据上面设计的尺规作图过程，

(1)、使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；

(2)、完成下面的证明．
证明：连接 $M A ， M C ， N A ， N C$ ．
∵ $M A = M C ， N A = N C$ ，
∴ $M N$ 是 $A C$ 的垂直平分线（  ）（填推理根据）．
∴ $E A = E C$ ．
∴ $∠ E A C = ∠ E C A$ ．
∵四边形 $A B C D$ 是矩形，
∴ $A D ∥ B C$ ，
∴ $∠ E A C = ∠ F C A$ ．
∴ $∠ E C A =$      ▲     ．
又 $M N ⊥ A C$ ，
∴ $∠ C O E = ∠ C O F = 90 °$ ．
∴ $∠ C E F = ∠ C F E$ ．
∴ $C F = C E$ ．
∴ $C F = E A$ ．
又∵ $C F ∥ E A$ ，
∴四边形 $A E C F$ 是平行四边形（  ）（填推理根据）．
又∵ $A C ⊥ E F$ ，
∴四边形 $A E C F$ 是菱形（  ）（填推理根据）．

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24. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 2 k x + 2 k - 1 = 0$ ．

(1)、请判断这个方程根的情况；

(2)、若该方程有一个根小于1，求 $k$ 的取值范围．

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25. 如图，矩形草地 $A B C D$ 中， $A B = 16$ m， $A D = 10$ m，点 $O$ 为边 $A B$ 中点，草地内铺了一条长和宽分别相等直角折线甬路（ $P O = P Q$ ， $O M = Q N$ ），若草地总面积（两部分阴影之和）为 $132 m^{2}$ ，求甬路的宽．

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26. 平面直角坐标系 $x O y$ 中，一次函数 $y = x + b (k \neq 0)$ 的图象与函数 $y = 2 x$ 的图象交于点 $(1 ， m)$ ．

(1)、求 $b ， m$ 的值；

(2)、当 $x < 2$ 时，对于 $x$ 的每一个值，函数 $y = x + b (k \neq 0)$ 的值大于函数 $y = 2 x + n$ 的值，直接写出 $n$ 的取值范围．

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27. 如图，正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ 在 $A D$ 上（与点 $A ， D$ 不重合），连接 $B E$ ．将线段 $B E$ 绕点 $E$ 逆时针旋转 $90 °$ ，得到线段 $E F$ ，过点 $F$ 作 $F G ⊥ A D$ ，交 $A D$ 延长线于点 $G$ ．

(1)、依题意补全图形；

(2)、连接 $D F$ ，试判断 $D F$ 与 $G F$ 的数量关系，并证明．

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28. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，如果点P到原点O的距离为a ，点M到点P的距离是a的k倍（k为正整数），那么称点M为点P的k倍关联点．

(1)、当点 $P_{1}$ 的坐标为 $(0 ， 1)$ 时，
①如果点 $P_{1}$ 的2倍关联点M在y轴上，那么点M的坐标是；
如果点 $P_{1}$ 的2倍关联点M在x轴上，那么点M的坐标是；
②如果点 $M (x ， y)$ 是点 $P_{1}$ 的k倍关联点，且满足 $y = - 2 ， - 1 \leq x \leq 4$ ，那么k的最大值为；

(2)、如果点 $P_{2}$ 的坐标为 $(1 ， 1)$ ，且在函数 $y = x + b$ 的图象上存在 $P_{2}$ 的2倍关联点，直接写出b的取值范围．

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