辽宁省丹东市凤城市2023年中考数学毕业试卷

试卷更新日期：2023-09-11 类型：中考真卷

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一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. $- 1 \frac{1}{2}$ 的相反数是（）

A、 $- 1 \frac{1}{2}$ B、 $1.5$ C、 $- \frac{2}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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2. 下列计算正确的是（）.

A、 $a^{2} + a^{3} = a^{5}$ B、 ${(2 a^{2})}^{3} = 2 a^{6}$ C、 $2 a^{3} - a^{2} = 2 a$ D、 $- 2 a + a = - a$

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3. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（）

A、球体 B、圆柱 C、圆锥 D、棱柱

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4. 下列说法正确的个数是（）
①0.01的立方根是0.000001；②如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则两个角一定相等；③正三角形既是中心对称又是轴对称图形；④顺次连接对角线相等的四边形四边中点所得的四边形必是矩形；⑤三角形的内心到三角形的三个顶点的距离相等

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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5. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $∠ C = 30 °$ ，以点 $A$ 为圆心，以 $A B$ 的长为半径作弧交 $A C$ 于点 $D$ ，连接 $B D$ ，再分别以点 $B$ ， $D$ 为圆心，大于的 $\frac{1}{2} B D$ 长为半径作弧，两弧交于点 $P$ ，作射线 $A P$ 交 $B C$ 于点 $E$ ，连接 $D E$ ，则下列结论中不正确的是（）

A、 $B E = D E$ B、 $D E$ 垂直平分线段 $A C$ C、 $\frac{S △ E D C}{S △ A B C} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $B D^{2} = B C \cdot B E$

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6. 我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子来量竿，却比竿子短一托．”其大意为，现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺，竿长y尺，根据题意，可列方程组为（）

A、 ${\begin{array}{l} x - y = 5 \\ y - \frac{1}{2} x = 5 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} y - x = 5 \\ y - \frac{1}{2} x = 5 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} x - y = 5 \\ y - 2 x = 5 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} y - x = 5 \\ y - 2 x = 5 \end{array}$

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7. 在同一平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝ax与二次函数y＝ax²+a的图象可能是（）.

A、 B、 C、 D、

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8. 如图， $△ A B C$ 中， $A B = 3$ ，将 $△ A B C$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $60 °$ 得到 $△ A B_{1} C_{1}$ ， $A B_{1}$ 恰好经过点 $C .$ 则阴影部分的面积为（）

A、 $\frac{2}{3} π$ B、 $\frac{3}{2} π$ C、 $\frac{4}{3} π$ D、 $\frac{3}{4} π$

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9. 如图，在 $△ A B C$ 中， $D C$ 平分 $∠ A C B$ ， $B D ⊥ C D$ 于点 $D$ ， $∠ A B D = ∠ A$ ，若 $B D = 1$ ， $A C = 7$ ，则 $t a n ∠ C B D$ 的值为（）

A、 $5$ B、 $2 \sqrt{6}$ C、 $3$ D、 $\sqrt{26}$

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10. 如图，正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ 是边 $C D$ 上的动点 $($ 不与点 $C$ 、 $D$ 重合 $)$ ，以 $C E$ 为边向右作正方形 $C E F G$ ，连接 $A F$ ，点 $H$ 是 $A F$ 的中点，连接 $D H$ 、 $C H .$ 下列结论：
$① △ A D H$ ≌ $△ C D H$ ；
$② A F$ 平分 $∠ D F E$ ；
$③$ 若 $B C = 4$ ， $C G = 3$ ，则 $A F = 5 \sqrt{2}$ ；
$④$ 若 $\frac{C G}{B C} = \frac{1}{2}$ ，则 $\frac{S_{△ E F I}}{S_{△ D F I}} = \frac{1}{2}$ ．
其中正确的有（）

A、 $1$ 个 B、 $2$ 个 C、 $3$ 个 D、 $4$ 个

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二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

11. 若 $\frac{\sqrt{x + 3}}{3}$ 在实数范围内有意义，则x的取值范围是．

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12. 分解因式： $a^{2} (x - y) + 9 (y - x) =$ ．

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13. 《全国防沙治沙规划（ $2021 - 2030$ 年》》正式印发实施，提出到2030年，规划完成沙化土地治理任务1.86亿亩．数据“1.86亿”用科学记数法表示为．

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14. 如图，直线 $A B / / C D$ ， $∠ A = 70 °$ ， $∠ C = 40 °$ ，则 $∠ E$ 等于度．

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15. 已知函数 $y = (k - 3) x^{2} + 2 x + 0.5$ 的图象与x轴有交点，则k的取值范围是．

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16. 如图，在平面直角坐标系中，点 $A (a ， b)$ 为第一象限内一点，且 $a < b$ .连结 $O A$ ，并以点 $A$ 为旋转中心把 $O A$ 逆时针转90°后得线段 $B A$ .若点 $A ， B$ 恰好都在同一反比例函数的图象上，则 $\frac{b}{a}$ 的值等于.

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17. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C$ ， $D$ 两点在圆上，连接 $A D$ ， $C D$ ，且 $\overset{⌢}{B C} = \overset{⌢}{C D}$ ， $∠ C A B = 25 °$ ， $P$ 为 $\overset{⌢}{A B C}$ 上一动点，在运动过程中， $D P$ 与 $A C$ 相交于点 $M$ ，当 $△ C D M$ 为等腰三角形时， $∠ P D C$ 的度数为．

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18. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 4$ ， $t a n ∠ B A C = \frac{3}{2}$ 点 $D$ 是边 $B C$ 的中点，点 $E$ 是边 $A B$ 上的一动点 $($ 不与 $B$ 重合 $)$ ，连接 $D E$ ，将 $△ D E B$ 沿 $D E$ 翻折得 $△ D E F$ ，连接 $A F$ 、 $B F$ ，当线段 $A F$ 的长取最小值时， $B F$ 的长为．

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三、解答题（本大题共8小题，共96.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19. 先化简，再求值： $(\frac{a^{2} - 1}{a^{2} - 2 a + 1} - \frac{1}{1 - a}) \div \frac{2}{a^{2} - a}$ ，其中a满足 $a^{2} + 2 a - 15 = 0$ ．

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20. “春节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“饺子”的习俗 $.$ 我市某食品厂为了解市民对去年销量较好的猪肉馅饺、牛肉馅饺、虾肉馅饺、素馅饺 $($ 以下分别用 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 表示 $)$ 这四种不同口味饺子的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图 $($ 尚不完整 $)$ ．

请根据以上信息回答

(1)、本次参加抽样调查的居民有人；

(2)、将两幅不完整的图补充完整；

(3)、若居民区有 $8000$ 人，请估计爱吃 $D$ 饺的人数；

(4)、若有外型完全相同的 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 饺子各一个，煮熟后，小王吃了两个 $.$ 用列表或画树状图的方法，求他吃到 $C$ 饺的概率．

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21. 多功能家庭早餐机可以制作多种口味的美食，深受消费者的喜爱，在新品上市促销活动中，已知8台A型早餐机和3台B型早餐机需要1000元，6台A型早餐机和1台B型早餐机需要600元．

(1)、每台A型早餐机和每台B型早餐机的价格分别是多少元？

(2)、某商家欲购进A，B两种型号早餐机共20台，但总费用不超过2200元，那么至少要购进A型早餐机多少台？

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22. 如图1所示是一种太阳能路灯，它由灯杆和灯管支架两部分构成如图2， $A B$ 是灯杆， $C D$ 是灯管支架，灯管支架 $C D$ 与灯杆间的夹角 $∠ B D C = 60 °$ .综合实践小组的同学想知道灯管支架 $C D$ 的长度，他们在地面的点E处测得灯管支架底部D的仰角为60°，在点F处测得灯管支架顶部C的仰角为30°，测得 $A E = 3$ m， $E F = 8$ m（A，E，F在同一条直线上）.根据以上数据，解答下列问题：

(1)、求灯管支架底部距地面高度 $A D$ 的长（结果保留根号）；

(2)、求灯管支架 $C D$ 的长度（结果精确到0.1m，参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）.

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23. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $C$ 在 $A B$ 的延长线上， $∠ B D C = ∠ A$ ， $C E ⊥ A D$ ，交 $A D$ 的延长线于点 $E$ ．

(1)、求证： $C D$ 与 $⊙ O$ 相切：

(2)、若 $C E = 6$ ， $D E = 3$ ，求 $A D$ 的长．

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24. 为实施“乡村振兴”计划，某村产业合作社种植了“千亩桃园”.2022年该村桃子丰收，销售前对本地市场进行调查发现：当批发价为4千元/吨时，每天可售出12吨，每吨涨1千元，每天销量将减少2吨，据测算，每吨平均投入成本2千元，为了抢占市场，薄利多销，该村产业合作社决定，批发价每吨不低于4千元，不高于5.5千元.请解答以下问题：

(1)、求每天销量y（吨）与批发价x（千元/吨）之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；

(2)、当批发价定为多少时，每天所获利润最大？最大利润是多少？

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25. 在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 90 °$ ，点 $D$ ， $E$ 分别是 $A C$ ， $B C$ 的中点，点 $P$ 是射线 $D E$ 上一点，连接 $A P$ ，将线段 $P A$ 绕点 $P$ 顺时针旋转 $90 °$ 得到线段 $P M$ ，连接 $A M$ ， $C M$ ．

(1)、如图 $①$ ，当点 $P$ 与点 $D$ 重合时，线段 $C M$ 与 $P E$ 的数量关系是， $∠ A C M =$ $°$ ；

(2)、如图 $②$ 当点 $P$ 在射线 $D E$ 上运动时 $($ 不与点 $D$ ， $E$ 重合 $)$ ，求 $\frac{P E}{C M}$ 的值；

(3)、连接 $P C$ ，当 $△ P C M$ 是等边三角形时，请直接写出 $\frac{A C}{C M}$ 的值．

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26. 如图，直线 $y = x + 3$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于 $C$ ，抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 经过 $A$ 、 $C$ 两点，与 $x$ 轴正半轴交于点 $B$ ， $M$ 为抛物线的顶点，连接 $B C$ ．

(1)、求抛物线的解析式及顶点 $M$ 的坐标；

(2)、如图 $1$ ， $P$ 点为直线 $A C$ 上方的抛物线上的一点，连接 $P A$ 、 $P C$ 、 $P O$ ， $P O$ 交 $A C$ 于点 $Q$ ，若 $P O$ 将 $△ A P C$ 的面积分为 $1$ ： $2$ 两部分，求点 $Q$ 的坐标；

(3)、如图 $2$ ，若点 $N$ 是第三象限的抛物线上一点，连接 $N M$ ，交直线 $A C$ 于 $E$ ，当 $∠ N E C = ∠ B C M$ 时，求点 $N$ 的坐标；

(4)、在(3)的条件下，若 $F$ 是 $y$ 轴上的一个动点，请直接写出 $N F + \frac{\sqrt{10}}{10} C F$ 的最小值．

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