浙江省A9协作体2023-2024学年高二上学期暑假返校联考数学试题

试卷更新日期：2023-09-11 类型：开学考试

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一、单选题

1. 若 $z (1 - i) = {(1 + i)}^{2}$ ，则复数 $z$ 的虚部为（）

A、i B、1 C、-1 D、-i

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2. 如图所示，等腰梯形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图， $A^{'} D^{'} = 2 B^{'} C^{'} = 4 \sqrt{2}$ ，则平面图形ABCD的面积为（）

A、 $12 \sqrt{2}$ B、12 C、 $6 \sqrt{2}$ D、6

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3. 抛掷两枚质地均匀的骰子，记事件A=“第一枚骰子奇数面朝上”，事件B=“第二枚骰子偶数面朝上”，事件C=“两枚骰子向上点数之和为7”.则下列结论正确的是（）

A、A与B对立 B、A与C互斥 C、 $P (C) = \frac{1}{5}$ D、B与C独立

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4. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， 1)$ ， $\vec{b} = (1 ， 2)$ ，若 $\vec{c}$ 是 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量，则 $\vec{c} =$ （）

A、 $(\frac{2 \sqrt{5}}{5} ， \frac{\sqrt{5}}{5})$ B、 $(\frac{\sqrt{5}}{5} ， \frac{2 \sqrt{5}}{5})$ C、 $(\frac{4}{5} ， \frac{8}{5})$ D、 $(\frac{2}{5} ， \frac{4}{5})$

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5. 在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为 $a ， b ， c$ ， $b c = a^{2} - b^{2} - c^{2}$ ， $a = \sqrt{21}$ ， $b = \sqrt{3}$ 将该三角形绕AC边旋转360°得一个旋转体，则该旋转体体积为（）

A、 $4 \sqrt{3} π$ B、 $3 \sqrt{3} π$ C、 $2 \sqrt{3} π$ D、 $\sqrt{3} π$

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6. 一组数据由6个数组成，将其中一个数由4改为6，另一个数由12改为10，其余数不变，得到新的一组数据，则新的一组数的方差减去原一组数的方差的差为（）

A、4 B、3 C、-4 D、-3

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7. 如图，点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $M$ 、 $N$ 为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线 $M N / /$ 平面 $A B C$ 的是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 五面体ABCDEF中，底面ABCD为矩形，AB=3， $\vec{A B} = 3 \vec{E F}$ ， △ADE与 $△ B C F$ 都是边长为2的等边三角形，若点A，B，C，D，E，F都在球O的球面上，则球O的表面积为（）

A、 $\frac{27}{2} π$ B、 $9 π$ C、 $\frac{27}{4} π$ D、 $\frac{9}{2} π$

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二、多选题

9. 有一组样本数据 $x_{1} ， x_{2} ， \cdot \cdot \cdot x_{n}$ ，另一组样本数据 $y_{1} ， y_{2} ， \cdot \cdot \cdot y_{n}$ ，其中 $y_{i} = x_{i} - 2 c (i = 1 ， 2 ， \cdot \cdot \cdot n)$ ， c为非零常数，则（）

A、两组样本数据平均数相同 B、两组样本数据方差相同 C、两组样本数据中位数相等 D、两组样本数据极差相同

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10. 在复平面内，复数 $z = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$ ，则（）

A、 $z$ 的模长为1 B、 $z$ 在复平面内对应的点在第二象限 C、 $z \cdot \bar{z} \in R$ D、复数 $ω$ 满足 $| ω - z | = 1$ ，则 ${| ω |}_{m a x} = 2$

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11. 已知l，m，n是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则（）

A、已知 $α ∩ β = l$ ， $β ∩ γ = m$ ， $γ ∩ α = n$ ，若 $l ∩ m = P$ ，则 $P \in n$ B、若 $α ∩ β = l$ ， $α ⊥ β$ ， $γ ⊥ β$ ，则 $l ⊥ γ$ C、若 $m ⊥ α$ ， $n ⊥ α$ ， $l / / m$ ，则 $l / / n$ D、若 $α / / β$ ， $l / / α$ ，则 $l / / β$

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12. 在 $△ A B C$ 中，内角A、B、C所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，则（）

A、若A>B，则 $s i n 2 A > s i n 2 B$ B、若 $S_{Δ A B C} = 1$ ， a=1，则 $s i n A$ 最大值为 $\frac{8}{17}$ C、若 $a = 2 \sqrt{3}$ ， b=4， $A = \frac{π}{4}$ ，则满足条件的三角形有两个 D、若 $(\frac{\vec{A B}}{| \vec{A B} |} + \frac{\vec{A C}}{| \vec{A C} |}) \cdot \vec{B C} = 0$ ，且 $\frac{\vec{A B}}{| \vec{A B} |} \cdot \frac{\vec{A C}}{| \vec{A C} |} = \frac{1}{2}$ ，则 $△ A B C$ 为等边三角形

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三、填空题

13. 复数 $1 + 2 i$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} + p x + q = 0 (p ， q \in R)$ 的一个根，则 $p + q =$ ．

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14. 某人在湖面之上2米处测得空中一气球的仰角为30°，且测得湖中气球倒影的俯角为60°，若不考虑水的折射和球的体积，则气球离水面的高度为米．

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15. 在△ABC中，内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，a= $\sqrt{7}$ ， b=2，C=2B，则AB的长为.

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16. 已知三棱锥ABCD中，AB⊥CD，且CD与平面ABD所成角余弦值为 $\frac{3}{5}$ ，当 $\frac{S_{Δ A B D}}{S_{Δ A B C}}$ 取得最大值时，二面角C-AB-D的正弦值为．

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四、解答题

17. 已知向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $θ = \frac{2 π}{3}$ ，且 $| \vec{a} | = 3$ ， $\vec{b}$ 是单位向量．

(1)、分别求 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 和 $| \vec{a} - \vec{b} |$ 的值；

(2)、若 $k \vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a} - 2 \vec{b}$ 共线，求 $k$ ．

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18. 杭州2022年第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日举行．随着亚运会的临近，亚运会的热度持续提升．为让更多的人了解亚运会运动项目和亚运精神，某中学举办了亚运会知识竞赛，并从中随机抽取了100名学生的成绩，绘制成如图所示的频率分布直方图．

(1)、试根据频率分布直方图求出这100名学生中成绩低于60分的人数；

(2)、试估计这100名学生成绩的第75百分位数；

(3)、若采用分层抽样的方法从成绩在 $[70 ， 80)$ ， $[80 ， 90)$ ， $[90 ， 100]$ 的学生中共抽取6人参加志愿者活动．现从这6人中随机抽取2人分享活动经验，求抽取的2人成绩都在 $[80 ， 100]$ 的概率．

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19. 在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 $t a n A + t a n B = \frac{\sqrt{3} c}{a c o s B}$ ．

(1)、求角A；

(2)、若a= $\sqrt{6}$ ， c=2， $∠ B A C$ 的角平分线交BC于D，求AD的长．

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20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为 $2$ 的正方形，侧面 $P A D$ 为等腰直角三角形，且 $∠ P A D = \frac{π}{2}$ ，点 $F$ 为棱 $P C$ 上的点，平面 $A D F$ 与棱 $P B$ 交于点 $E$ ．

(1)、求证： $E F / / A D$ ；

(2)、若 $P B ⊥ F D$ ， $A E = \sqrt{2}$ ，求证平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ．

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21. 如图，在△ABC中， $A B = 2$ ， $A C = 3$ ， $∠ B A C = \frac{π}{3}$ ，点D，E分别在 $A B$ ， $A C$ 上且满足 $\vec{A B} = 2 \vec{A D}$ ， $\vec{A C} = 3 \vec{A E}$ ，点 $F$ 在线段 $D E$ 上．

(1)、若 $\vec{A F} = \frac{1}{3} \vec{A B} + μ \vec{A C}$ ，求 $μ$ ；

(2)、若 $\vec{D F} = λ \vec{D E}$ ，且 $B F ⊥ C F$ 求 $λ$ ；

(3)、求 $\vec{B F} \cdot \vec{C F}$ 的最小值．

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22. 如图1，在矩形 $A B C D$ 中，已知 $A B = 2 \sqrt{2} ， B C = 2$ ， E为 $A B$ 的中点.将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 向上翻折，进而得到多面体 $A_{1} - B C D E$ （如图2）.

(1)、当平面A₁DE⊥平面 $B E D$ ，求直线 $A_{1} C$ 与平面 $B C D$ 所成角的正切值；

(2)、在翻折过程中，求二面角 $A_{1} - D C - B$ 的最大值.

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