吉林省长春重点中学2023-2024学年高三上册数学期初试卷

试卷更新日期：2023-09-11 类型：开学考试

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一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.）

1. 已知集合M $= {- 1 ， 1}$ ，下列选项正确的是（）

A、 ${- 1}$ $\in$ M B、 $\emptyset$ $\in$ M C、 $- 1 \subseteq$ M D、 ${- 1}$ $\subseteq$ M

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2. “2^x>2”是“x²>1”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 某市一次高三模拟考试一共有3.2万名考生参加，他们的总分 $ξ$ 服从正态分布 $N (480 ， σ^{2})$ ，若 $P (430 \leq ξ \leq 530) = 0.78$ ，则总分高于530分的考生人数为（）

A、2400 B、3520 C、8520 D、12480

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4. 已知 $C_{n}^{0} + 2 C_{n}^{1} + 2^{2} C_{n}^{2} + 2^{3} C_{n}^{3} + \cdot \cdot \cdot + 2^{n} C_{n}^{n} = 81$ ，则 $C_{n}^{1} + C_{n}^{2} + C_{n}^{3} + \cdot \cdot \cdot + C_{n}^{n}$ =（）

A、15 B、16 C、7 D、8

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5. 在射击比赛中，甲乙两人对同一目标各进行一次射击，甲击中目标的概率为 $\frac{3}{5}$ ，乙击中目标的概率为 $\frac{4}{5}$ ，在目标被击中的情况下，甲击中目标的概率为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{12}{25}$ C、 $\frac{15}{23}$ D、 $\frac{3}{7}$

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6. 设某医院仓库中有10盒同样规格的 $X$ 光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的．且甲、乙、丙三厂生产该种 $X$ 光片的次品率依次为 $\frac{1}{10}$ ， $\frac{1}{15}$ ， $\frac{1}{20}$ ，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张 $X$ 光片，则取得的 $X$ 光片是次品的概率为（）

A、0.08 B、0.1 C、0.15 D、0.2

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7. 为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”，“乐”，“射”，“御”，“书”，“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，若课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，则所有可能的排法种数为（）

A、216 B、480 C、504 D、624

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8. 已知函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 1) + f (x) = 2$ 对任意x恒成立，且 $x \in (0 ， 1)$ 时 $f (x) = 2^{x}$ ，则 $[f (l o g_{3} 405) - 2] \times f (l o g_{3} \frac{81}{5})$ 的值为（）

A、－2 B、－1 C、1 D、2

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二、多选题（本题共2小题，每小题5分，全部选对得5分，部分选对得2分.）

9. 下列命题为真命题的是（）

A、若 $a < b$ ，则 $a^{2} < b^{2}$ B、若 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b} < 0$ ，则 $a - \frac{1}{a} > b - \frac{1}{b}$ C、若关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + b x + 2 > 0$ 的解集为 ${x | - \frac{1}{3} < x < \frac{1}{2}}$ ，则 $a + b = - 10$ D、若a>0，b>0，则“ $a + b \leq 8$ ”是“ $a b \leq 16$ ”的必要不充分条件

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10. 已知函数 $f (x) = e^{x} - \frac{1}{2} x$ ，则（）

A、 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 是增函数 B、 $f (x)$ 有极大值点 $x_{0}$ ，且 $x_{0} \in (- 1 ， - \frac{1}{2})$ C、 $f (x)$ 的极小值点 $x_{0}$ ，且 $x_{0} \in (- 1 ， - \frac{1}{2})$ D、 $f (x)$ 没有零点

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三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）

11. 函数 $y = l g (x^{2} - 4) + \sqrt{x^{2} + 6 x}$ 的定义域是．

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12. 曲线y＝ $\frac{x}{x - 2}$ 在点（1，－1）处的切线方程为.

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13. 已知m ， n是正实数，函数 $y = m e^{x - 2} + n$ 的图象经过点 $(2 ， \frac{1}{2})$ ，则 $\frac{2}{m} + \frac{1}{n}$ 的最小值为.

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14. 已知定义在 $[0 ， 4]$ 上的连续函数 $f_{1} (x)$ 满足：
① $f_{1} (x)$ 在 $[0 ， 1]$ 上单调

② $f_{1} (0) = \frac{1}{2}$

③ $f_{1} (2 + x) = f_{1} (2 - x)$ 对 $x \in [- 2 ， 2]$ 恒成立

④ $f_{1} (x) + f_{1} (2 - x) = 0$ 对 $x \in [0 ， 2]$ 恒成立若 $f_{n} (x) = 2 f_{n - 1} (x - 4)$ ， $x \in [4 n - 4 ， 4 n]$ ， $n \geq 2$ ， $n \in N$ ，记 $f_{n} (x)$ 与 $y = 2^{n - 2}$ 形成的封闭图形的面积为 $a_{n}$ ， $n \in N^{*}$ ，则满足 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot + a_{n} > 511$ 的最小的n的值为.

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四、解答题（本题共4小题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤）

15. 已知 $l o g_{2} (2 - x) \leq l o g_{2} (3 x + 6)$

(1)、解上述不等式；

(2)、在（1）的条件下，求函数 $y = {(\frac{1}{4})}_{}^{x} - 2_{}^{1 - x} + 2$ 的最大值和最小值及对应的 $x$ 的值.

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16. 甲乙两所友好学校举行篮球联谊赛，先获得3场比赛胜利的学校获得冠军并终止比赛，比赛交替在甲校与乙校进行，第一场比赛在甲校进行.已知甲队在主场（甲校）获胜的概率为 $\frac{2}{3}$ ，在客场（乙校）获胜的概率为 $\frac{1}{4}$ ，每场比赛要分出胜负且胜负概率不变.

(1)、求甲队以3胜1负的成绩赢得冠军的概率；

(2)、设篮球联谊赛比赛进行的场数为X ，求随机变量X的分布列与期望.

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17. 某品牌中性笔研发部门从流水线上随机抽取100件产品，统计其性能指数并绘制频率分布直方图（如图1）

产品的性能指数在 $[50 ， 70)$ 的适合儿童使用（简称A类产品），在 $[70 ， 90)$ 的适合少年使用（简称B类产品），在 $[90 ， 110]$ 的适合青年使用（简称C类产品）， $A ， B ， C$ 三类产品的销售利润分别为每件1.5，3.5，5.5（单位：元）．以这100件产品的性能指数位于各区间的频率代替产品的性能指数位于该区间的概率．

(1)、该公司为了解年营销费用

x

（单位：万元）对年销售量

y

（单位：万件）的影响，对近5年的年营销费用

x_{i}

和年销售量

y_{i} (i = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5)

的数据做了初步处理，得到散点图（如图2）及一些统计量的值（如下表）．

$\sum_{i = 1}^{5} u_{i}$	$\sum_{i = 1}^{5} v_{i}$	$\sum_{i = 1}^{5} (u_{i} - \bar{u}) (v_{i} - \bar{v})$	$\sum_{i = 1} {(u_{i} - \bar{u})}^{2}$
16.30	24.87	0.41	1.64

表中 $u_{i} = l n x_{i} ， v_{i} = l n y_{i} ， \bar{u} = \frac{1}{5} \sum_{i = 1} u_{i} ， \bar{v} = \frac{1}{5} \sum_{i = 1} v_{i}$ ．根据散点图判断， $y = a \cdot x^{b}$ 可以作为年销售量 $y$ （万件）关于年营销费用 $x$ （万元）的回归方程，求 $y$ 关于 $x$ 的回归方程；（取 $e^{4.159} = 64$ ）

(2)、求每件产品的平均销售利润；并用所求的回归方程估计该公司应投入多少营销费，才能使得该产品一年的收益达到最大？（收益=销售利润-营销费用）

参考公式：对于一组数据 $(u_{1} ， v_{1}) ， (u_{2} ， v_{2}) ， \cdot \cdot \cdot ， (u_{n} ， v_{n})$ ，其回归直线 $v^$ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 $\hat{β} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (u_{i} - \bar{u}) (v_{i} - \bar{v})}{\sum_{i = 1}^{n} {(u_{i} - \bar{u})}^{2}} ， \hat{α} = \bar{v} - \hat{β} \bar{u}$ ．

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18.

(1)、证明：当 $x < 1$ 时， $x + 1 \leq e^{x} \leq \frac{1}{1 - x}$ ；

(2)、是否存在正数a ，使得 $f (x) = 2 e^{x} + a s i n x - a x^{2} - (a + 2) x$ 在 $R$ 上单调递增，若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由

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