吉林省长春重点中学2023-2024学年高二上册数学期初考试试卷

试卷更新日期：2023-09-11 类型：开学考试

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一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

1. 已知 $z (1 - i) = 3 + i$ （i是虚数单位），z的共轭复数为 $\bar{z}$ ，则 $\bar{z}$ 的虚部为（）

A、2 B、 $- 2$ C、1 D、 $- 1$

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2. 已知单位向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $\vec{a} \cdot (\vec{b} - \vec{a}) = - \frac{1}{2}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角的大小为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{π}{3}$

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3. 已知空间中三个互不相同的平面 $α$ 、 $β$ 、 $γ$ ，两条不同的直线a、b ，下列命题正确的是（）

A、若 $α ⊥ β$ ， $β ⊥ γ$ ，则 $α ⊥ γ$ B、若 $a ⊥ α$ ， $b ⊥ β$ ， $a ∥ b$ ，则 $α ∥ β$ C、若 $a∥α$ ， $α ∥ β$ ， $a ⊥ b$ ，则 $b ⊥ β$ D、若 $α ⊥ β$ ， $β ⊥ γ$ ，则 $α ∥ γ$

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4. “抽陀螺”是中国传统民俗体育游戏，陀螺上大下尖，将尖头着地，以绳绕之，然后抽打，使其旋转．如图所示的陀螺近似看作由一个圆锥与一个圆柱组成的组合体，其中圆柱的底面直径为2，圆锥与圆柱的高都为1，则该几何体的表面积为（）

A、 $4 π$ B、 $(3 + \sqrt{2}) π$ C、 $(2 + \sqrt{2}) π$ D、 $(8 + 2 \sqrt{5}) π$

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5. 已知 $t a n α = 4$ ，则 $c o s 2 α$ 的值为（）

A、 $\frac{15}{17}$ B、 $\frac{12}{13}$ C、 $- \frac{15}{17}$ D、 $- \frac{12}{13}$

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6. 已知边长为1的正方形 $A B C D$ ，点 $E$ 为 $B C$ 中点，点 $P$ 满足 $\vec{D C} = 3 \vec{D P}$ ，那么 $\vec{A P} \cdot \vec{A E}$ 等于（）

A、2 B、 $\frac{7}{6}$ C、 $\frac{5}{6}$ D、 $\frac{1}{6}$

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7. 如图，湖南岳阳市岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼、江西南昌滕王阁并称为“江南三大名楼”，是“中国十大历史文化名楼”之一，世称“天下第一楼”．因范仲淹作《岳阳楼记》使得岳阳楼著称于世．为了测量岳阳楼的高度CD ，选取了与底部水平的直线AC ，测得 $∠ D A C = 30 ° ， ∠ D B C =$ $60 ° ， A B = 22$ 米，则岳阳楼的高度CD为（）

A、 $8 \sqrt{3}$ 米 B、 $9 \sqrt{3}$ 米 C、 $10 \sqrt{3}$ 米 D、 $11 \sqrt{3}$ 米

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8. 在正四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A B = 8 ， P A = 4 \sqrt{10}$ ，若该棱锥的所有顶点都在球 $O$ 的表面上，则球 $O$ 的表面积为（）

A、 $800 π$ B、 $400 π$ C、 $200 π$ D、 $50 π$

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二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分）

9. 若 $z = - 1 + 3 i$ ，则（）

A、 $\bar{z} = - 1 - 3 i$ B、 $| z | = \sqrt{10}$ C、 $z i = - 3 - i$ D、 $z$ 在复平面内对应的点在第四象限

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10. 已知空间向量 $\vec{a} = (- 2 ， - 1 ， 1)$ ， $\vec{b} = (3 ， 4 ， 5)$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $(2 \vec{a} + \vec{b}) ∥ \vec{a}$ B、 $5 | \vec{a} | = \sqrt{3} | \vec{b} |$ C、 $\vec{a} ⊥ (5 \vec{a} + 4 \vec{b})$ D、 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量的长度为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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11. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E ， F$ 分别为 $A B ， A_{1} D_{1}$ 的中点，则（）

A、 $B F ⊥ C E$ B、 $D F$ $/ /$ 平面 $B_{1} C E$ C、 $B F ⊥$ 平面 $B_{1} C E$ D、直线 $D F$ 与直线 $C E$ 所成角的余弦值为 $\frac{2}{5}$

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12. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 的周期为 $π$ B、 $f (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{π}{3} ， 0)$ 对称 C、将函数 $y = 2 s i n (2 x + \frac{π}{6})$ 的图象向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度可以得到函数 $f (x)$ 的图象 D、方程 $f (x) = \sqrt{3}$ 在 $(0 ， 2 π)$ 上有3个不相等的实数根

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三、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）

13. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， 3) ， \vec{b} = (- 1 ， 2)$ ，若 $(\vec{a} + k \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则 $k =$ ．

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14. 函数 $y = s i n 2 x + 2 \sqrt{3} s i n^{2} x$ 的最小正周期 $T$ 为．

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15. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E为线段 $B B_{1}$ 的中点，则直线 $C_{1} E$ 与平面 $A_{1} D_{1} B$ 所成角的正弦值为．

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16. 已知△ABC中，角A ， B ， C所对应的边分别为a ， b ， c ，且 $c^{2} = {(a - b)}^{2} + 6$ ，若△ABC的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则 $s i n A \cdot s i n B$ 的取值范围为．

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四、解答题（本题共4小题，每题10分，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤）

17. 已知向量 $\vec{a} = (2 t ， t)$ ， $\vec{b} = (- 3 ， 2)$ ， $\vec{c} = (3 ， - 1)$ ．

(1)、求 $| \vec{c} - \vec{b} |$

(2)、若 $\vec{b} - \vec{a}$ 与 $\vec{c}$ 共线，求 $\vec{a}$ 与 $\vec{c}$ 的夹角．

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18. 如图，已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2．

(1)、证明： $C D_{1} / /$ 平面 $A_{1} B D$ ；

(2)、证明：BD⊥平面 $A_{1} A C$ ；

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19. 在 $Δ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，且 $(a + c) (s i n A + s i n C) = b s i n B + 3 a s i n C$ ．

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若 $A C$ 边上中线长为 $\frac{\sqrt{7}}{2} ， a = 2$ ，求 $Δ A B C$ 的面积．

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20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $B C / / A D$ ， $P A = A B = B C = 2$ ， $A D = 4$ ， $E$ 为棱 $P D$ 的中点， $F$ 是线段 $P C$ 上一动点．

(1)、求证：平面PBC⊥平面 $P A B$ ；

(2)、若直线 $B F$ 与平面 $A B C D$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 时，求平面 $A E F$ 与平面 $A D E$ 夹角的余弦值

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