吉林省梅河口市重点中学2023-2024学年高三上册数学开学考试试卷

试卷更新日期：2023-09-11 类型：开学考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设全集U＝R，A＝{x|0＜x≤3}，B＝{x|x＜1}，则图中阴影部分表示的集合为（）

A、{x|1≤x＜3} B、{x|1＜x≤3} C、{x|1＜x＜3} D、{x|1≤x≤3}

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2. 已知 $a \in R ， z = \frac{a + i}{1 + i}$ （ $i$ 为虚数单位）是纯虚数，则 $a =$ （）

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、2

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3. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 的一条渐近线方程为 $y = \frac{1}{2} x$ ，则 $C$ 的焦距为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{5}$

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4. 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥.如图，若 $A B ， C D$ 都是直角圆锥 $S O$ 底面圆的直径，且 $∠ A O D = \frac{π}{3}$ ，则异面直线 $S A$ 与 $B D$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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5. 已知函数 $f (x)$ 的部分图象如图所示，则函数 $f (x)$ 的解析式可能为（）

A、 $f (x) = \frac{x - x^{3}}{2^{x}}$ B、 $f (x) = \frac{x^{3} - x}{e^{| x |}}$ C、 $f (x) = x^{3} \cdot l n | x |$ D、 $f (x) = e^{| x |} \cdot (x^{2} - 1)$

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6. 已知集合A＝{x∈N|x²＜8x}，B＝{2，3，6}，C＝{2，3，7}，则 $B \cup (∁_{A} C)$ ＝（）

A、{2，3，4，5} B、{2，3，4，5，6} C、{1，2，3，4，5，6} D、{1，3，4，5，6，7}

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7. 已知复数z $= \frac{5}{3 + 4 i}$ ，则复数z的虚部为（）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $- \frac{4}{5}$ C、 $\frac{4}{5}$ i D、 $- \frac{4}{5}$ i

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8. 已知集合A={y|y= $\sqrt{x^{2} - 1}$ }，B={x|y=lg（x﹣2x²）}，则∁_R（A∩B）=（）

A、[0， $\frac{1}{2}$ ） B、（﹣∞，0）∪[ $\frac{1}{2}$ ，+∞） C、（0， $\frac{1}{2}$ ） D、（﹣∞，0]∪[ $\frac{1}{2}$ ，+∞）

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二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）

9. 近年来､新冠疫情波及到千家万户，人们的生活方式和习惯不得不发生转变，短视频成了观众空闲时娱乐活动的首选．某电影艺术中心为了解短视频平台的观众年龄分布情况，向各大短视频平台的观众发放了线上调查问卷，共回收有效样本4000份，根据所得信息制作了如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（）

A、图中 $a = 0.028$ B、在4000份有效样本中，短视频观众年龄在10~20岁的有1320人 C、估计短视频观众的平均年龄为32岁 D、估计短视频观众年龄的75%分位数为39岁

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10. 已知函数 $f (x) = s i n (3 x + φ) (- \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2})$ 的图像关于直线 $x = \frac{π}{4}$ 对称，则（）

A、 $f (x)$ 满足 $f (\frac{π}{12} + x) = - f (\frac{π}{12} - x)$ B、将函数 $f (x)$ 的图像向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度后与 $g (x) = c o s 3 x$ 图像重合 C、若 $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | = 2$ ，则 $| x_{1} - x_{2} |$ 的最小值为 $\frac{π}{3}$ D、若 $y = | f (x) |$ 在 $[a ， b]$ 上单调递减，那么 $b - a$ 的最大值是 $\frac{π}{3}$

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11. 已知直线 $l ： x - y + 5 = 0$ ，过直线上任意一点 $M$ 作圆 $C ： (x - 3)^{2} + y^{2} = 4$ 的两条切线，切点分别为 $A ， B$ ，则有（）

A、 $| M A |$ 长度的最小值为 $4 \sqrt{2} - 2$ B、不存在点 $M$ 使得 $∠ A M B$ 为 $6 0^{∘}$ C、当 $| M C | \cdot | A B |$ 最小时，直线 $A B$ 的方程为 $x - 2 y - 1 = 0$ D、若圆 $C$ 与 $x$ 轴交点为 $P ， Q$ ，则 $\vec{M P} \cdot \vec{M Q}$ 的最小值为28

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12. 已知直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B ⊥ B C ， A B = B C = B B_{1} = 2 ， D$ 是 $A C$ 的中点， $O$ 为 $A_{1} C$ 的中点．点 $P$ 是 $B C_{1}$ 上的动点，则下列说法正确的是（）

A、无论点 $P$ 在 $B C_{1}$ 上怎么运动，都有 $A_{1} P ⊥ O B_{1}$ B、当直线 $A_{1} P$ 与平面 $B B_{1} C_{1}$ 所成的角最大时，三棱锥 $P - B C D$ 的外接球表面积为 $4 π$ C、若三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ ，内放有一球，则球的最大体积为 $\frac{4 π}{3}$ D、 $△ O P B_{1}$ 周长的最小值 $\sqrt{3} + \sqrt{2} + 1$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（""表示一根阳线，""表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有两根阳线，四根阴线的概率为.

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14. 设直线 $l$ 过双曲线 $C$ 的一个焦点，且与 $C$ 的一条对称轴垂直， $l$ 与 $C$ 交于 $A ， B$ 两点， $|A B|$ 为 $C$ 的实轴长的2倍，则双曲线 $C$ 的离心率为.

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15. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率是 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，若以 $N (0 ， 2)$ 为圆心且与椭圆C有公共点的圆的最大半径为 $\sqrt{26}$ ，此时椭圆C的方程是

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16. 已知函数 $f (x) = \frac{x^{2} + k x + 1}{x^{2} + x + 1}$ ，若对于任意正实数 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3}$ ，均存在以 $f (x_{1}) ， f (x_{2}) ， f (x_{3})$ 为三边边长的三角形，则实数k的取值范围是.

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四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{3} + a_{7} = 18 ， a_{1} + a_{5} = 10$ ，各项均为正数的等比数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{3} + b_{5} = \frac{5}{16} ， b_{1} b_{5} = \frac{1}{16}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 与 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = \frac{(a_{n} + n + 2)}{2} \cdot b_{n}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ， ${\frac{a_{n}}{n}}$ 是公差为 $\frac{1}{2}$ 的等差数列.

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{1}{a_{n}}$ ， $T_{n}$ 为数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和，证明： $T_{n} < 2$ .

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19. 已知函数 $f (x) = \ln x + (a - \frac{1}{2}) x^{2} - 2 a x ， a \in R$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 在定义域内是增函数，且存在不相等的正实数 $x_{1} ， x_{2}$ ，使得 $f (x_{1}) + f (x_{2}) = - 3$ ，证明： $x_{1} + x_{2} > 2$ .

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20. 在 $Δ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 的边长分别为 $a ， b ， c$ ，且 $c = 2$ .

(1)、若 $A = \frac{π}{3}$ ， $b = 3$ ，求 $sin C$ 的值；

(2)、若 $sin A {cos}^{2} \frac{B}{2} + sin B {cos}^{2} \frac{A}{2} = 3 sin C$ ，且 $Δ A B C$ 的面积 $S = \frac{25}{2} sin C$ ，求 $a$ 和 $b$ 的值.

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21. 已知函数 $f (x) = m x^{2} (l n x + \frac{1}{2})$ .

(1)、若 $m = 1$ ，求曲线 $y = f (x)$ 在 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、当 $m \leq 1$ 时，要使 $f (x) > x l n x$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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22. 某公园有一块边长为3百米的正三角形 $A B C$ 空地，拟将它分割成面积相等的三个区域，用来种植三种花卉.方案是：先建造一条直道 $D E$ 将 $Δ A B C$ 分成面积之比为 $2 ： 1$ 的两部分（点D ， E分别在边 $A B$ ， $A C$ 上）；再取 $D E$ 的中点M ，建造直道 $A M$ （如图）.设 $A D = x$ ， $D E = y_{1}$ ， $A M = y_{2}$ （单位：百米）.

(1)、分别求 $y_{1}$ ， $y_{2}$ 关于x的函数关系式；

(2)、试确定点D的位置，使两条直道的长度之和最小，并求出最小值.

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