吉林省通化市梅河口市重点中学2023-2024学年高二上册数学开学考试试卷

试卷更新日期：2023-09-11 类型：开学考试

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一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）

1. 已知复数 $z = \frac{1 + 2 i}{1 - 3 i}$ ，则z的共轭复数 $\bar{z}$ 在复平面内对应的点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 已知 $α \in (0 ， π)$ ， $c o s α = \frac{4}{5}$ ，则 $s i n 2 α =$ （）

A、 $- \frac{12}{25}$ B、 $\frac{12}{25}$ C、 $- \frac{24}{25}$ D、 $\frac{24}{25}$

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3. 一个水平放置的三角形ABC的直观图是边长为2的等边三角形 $A^{'} B^{'} C^{'}$ ，则 $△ A B C$ 的面积是（）

A、 $2 \sqrt{6}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{4}$

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4. 在空间中，l，m是不重合的直线， $α$ ， $β$ 是不重合的平面，则下列说法正确的是（）

A、若 $l \subset α$ ， $m \subset β$ ， $α ∥ β$ ，则 $l ∥ m$ B、若 $l ∥ m$ ， $m \subset β$ ，则 $l ∥ β$ C、若 $α ⊥ β$ ， $α ∩ β = m$ ， $l ⊥ m$ ，则 $l ⊥ β$ D、若 $l ⊥ α$ ， $l ∥ m$ ， $α ∥ β$ ，则 $m ⊥ β$

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5. 生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标。若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{1}{5}$

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6. 在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，二面角A-D₁C₁-C大小等于（）

A、 $3 0^{0}$ B、 $4 5^{0}$ C、 $6 0^{0}$ D、 $9 0^{0}$

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7. 设 $a ， b ， c$ 为三角形 $A B C$ 三边长， $a \neq 1 ， b < c$ ，若 $l o g_{c + b} a + l o g_{c - b} a = 2 l o g_{c + b} a l o g_{c - b} a$ ，则三角形 $A B C$ 的形状为（）

A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、无法确定

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8. 某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30]，样本数据分组为（17.5，20），（20，22.5），（22.5，25），（25，27.5），（27.5，30）.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（）

A、56 B、60 C、140 D、120

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二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分部分选对的得2分，有选错的得0分）

9. 下列关于复数z的说法正确的是（）

A、 $z + \bar{z} \in R$ B、若 $z = 1 + i$ ，则z的虚部为i C、 $z \cdot \bar{z} = {| z |}^{2}$ D、在复平面内满足 $1 \leq | z | \leq 2$ 的点的集合表示图形的面积为 $3 π$

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10. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，以 $A C_{1}$ 中点为球心作半径为R的球，若该球面与正方体的每条棱都没有公共点，则球的半径可以是（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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11. 已知 $△ A B C$ 内角A ， B ， C所对的边分别为a ， b ， c ，则下列说法正确的是（）

A、若 $\vec{C A} \cdot \vec{C B} > 0$ ，则 $△ A B C$ 为锐角三角形 B、若 $A > B$ ，则 $c o s 2 A < c o s 2 B$ C、若 $t a n A + t a n B + t a n C > 0$ ，则 $△ A B C$ 为锐角三角形 D、在 $△ A B C$ 中，若 $a = 4 \sqrt{2}$ ， $b = 4 \sqrt{3}$ ， $A = 45 °$ ，则 $B = 60 °$

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12. 在平面凸四边形 $A B C D$ 中， $∠ A = 60 °$ ， $∠ C = 120 °$ ， $B D = 2 \sqrt{3}$ ，现沿对角线 $B D$ 折起，使点 $A$ 到达点 $P$ ，设二面角 $P - B D - C$ 的平面角为 $α$ ，若 $α \in [\frac{π}{3} ， \frac{2 π}{3}]$ ，当则三棱锥 $P - B C D$ 的外接球的表面积可以是（）

A、 $16 π$ B、 $20 π$ C、 $24 π$ D、 $28 π$

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三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 向量 $\vec{a} = (2, 3)$ ， $\vec{b} = (- 1, 2)$ ，则 $| \vec{a} - 2 \vec{b} | =$ .

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14. 设某批电子手表的正品率为 $\frac{2}{3}$ ，次品率为 $\frac{1}{3}$ ，现对该批电子手表进行检测，每次抽取一个电子手表，假设每次检测相互独立，则第3次首次测到次品的概率为．

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15. 已知 $4 + 3 i$ 是方程 $x^{2} - a x + b = 0 (a ， b \in R)$ 的一个根，则 $a + b =$ ．

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16. 如图，是由正四棱锥和长方体拼接而成的组合体，其顶点都在半径为 $R$ 的球面上，记 $r$ 为 $A B C D$ 的外接圆半径.若该正四棱锥和长方体体积相等，则 $\frac{r}{R} =$ .

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四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. 已知 $△ A B C$ 内角A ， B ， C所对的边分别为a ， b ， c ，面积为S ，已知 $\frac{c o s B}{c o s C} = \frac{b}{2 a - c}$ ．

(1)、求角B；

(2)、若 $S = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $b = \sqrt{3}$ 且 $c < a$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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18. 如图，长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的体积是24，E为 $C C_{1}$ 的中点，平面 $E B D$ 将长方体分成三棱锥 $E - B C D$ 和多面体 $E D B A A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 两部分．

(1)、若 $A B = 2 ， B C = 3$ ，求多面体 $E D B A A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的表面积；

(2)、求三棱锥 $E - B C D$ 的体积．

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19. 为了解学生的周末学习时间（单位：小时），高一年级某班班主任对本班 $40$ 名学生某周末的学习时间进行了调查，将所得数据整理绘制出如图所示的频率分布直方图，根据直方图所提供的信息：

(1)、求该班学生周末的学习时间不少于 $20$ 小时的人数；

(2)、估计这 $40$ 名同学周末学习时间的 $25 %$ 分位数；

(3)、如果用该班学生周末的学习时间作为样本去推断该校高一年级全体学生周末的学习时间，这样推断是否合理？说明理由．

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20. 在△ABC中，角A ， B ， C所对的边分别为a ， b ， c ，且 $5 (s i n A + s i n C) b = 12 a s i n C$ .

(1)、若 $a = 2 b - c$ ，求cosB的值；

(2)、是否存在△ABC ，满足B为直角？若存在，求出△ABC的面积；若不存在，请说明理由.

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21. 随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位： $c m$ ），按照区间 $[160 ， 165)$ ， $[165 ， 170)$ ， $[170 ， 175)$ ， $[175 ， 180)$ ， $[180 ， 185]$ 分组，得到样本身高的频率分布直方图如图所示．

(1)、求频率分布直方图中 $x$ 的值及身高在 $170 c m$ 及以上的学生人数；

(2)、估计该校100名生学身高的75％分位数．

(3)、若一个总体划分为两层，通过按样本量比例分配分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为： $m$ ， $\bar{x}$ ， $S_{1}^{2}$ ； $n$ ， $\bar{y}$ ， $S_{2}^{2}$ ．记总的样本平均数为 $\bar{w}$ ，样本方差为 $S^{2}$ ，证明：
① $\bar{w} = \frac{m}{m + n} \bar{x} + \frac{n}{m + n} \bar{y}$ ；

② $S^{2} = \frac{1}{m + n} {m [S_{1}^{2} + {(\bar{x} - \bar{w})}^{2}] + n [S_{2}^{2} + {(\bar{y} - \bar{w})}^{2}]}$ ．

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22. 在 $△ A B C$ 中，设角A ， B ， C所对的边分别为a ， b ， c ，已知 $c s i n B + (a + \frac{c^{2}}{a} - \frac{b^{2}}{a}) s i n C = 2 c s i n A$ ，且三角形的外接圆半径为 $\sqrt{3}$ ．

(1)、求C的大小；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，求 $c o s 2 A - 2 s i n^{2} B + 1$ 的值；

(3)、设 $△ A B C$ 的外接圆圆心为O ，且满足 $s i n 2 B \cdot \vec{C B} + s i n 2 A \cdot \vec{C A} = 2 m \vec{C O} \cdot s i n A s i n B$ ，求m的值．

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