广东省中山市重点中学2023-2024学年高三上册数学第一次月考试卷

试卷更新日期：2023-09-11 类型：月考试卷

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一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分。）

1. 已知集合 $S = {s | s = 2 n + 1 ， n \in Z} ， T = {t | t = 4 n + 1 ， n \in Z}$ ，则 $S ∪ T =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 $T$ C、S D、 $Z$

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2. 已知复数 $z = \frac{a + i}{2 - i} \in R$ （其中 $a$ 为实数，i为虚数单位），则 $a =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、2

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3. 设 $a > 0$ ，将 $\frac{a^{2}}{\sqrt[3]{a \sqrt{a^{3}}}}$ 表示成指数幂的形式，其结果是（）

A、 $a^{\frac{1}{2}}$ B、 $a^{\frac{5}{6}}$ C、 $a^{\frac{7}{6}}$ D、 $a^{\frac{3}{2}}$

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4. 下列函数中，是奇函数且在其定义域上为增函数的是（）

A、 $y = s i n x$ B、 $y = x | x |$ C、 $y = x^{\frac{1}{2}}$ D、 $y = x - \frac{1}{x}$

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5. 如果不等式 $| x - a | < 1$ 成立的充分非必要条件是 $\frac{1}{2} < x < \frac{3}{2}$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $\frac{1}{2} < a < \frac{3}{2}$ B、 $\frac{1}{2} \leq a \leq \frac{3}{2}$ C、 $a > \frac{3}{7}$ 或 $a < \frac{1}{2}$ D、 $a \geq \frac{3}{2}$ 或 $a \leq \frac{1}{2}$

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6. 在同一坐标系中，二次函数 $y = (1 - a) x^{2} + a$ 与指数函数 $y = a^{x}$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 若定义在R的奇函数f(x)在 $(- \infty ， 0)$ 单调递减，且f(2)=0，则满足 $x f (x - 1) \geq 0$ 的x的取值范围是（）

A、 $[- 1 ， 1] \cup [3 ， + \infty)$ B、 $[- 3 ， - 1] \cup [0 ， 1]$ C、 $[- 1 ， 0] \cup [1 ， + \infty)$ D、 $[- 1 ， 0] \cup [1 ， 3]$

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8. 设正实数 $x ， y$ 满足 $x + 2 y = 3$ ，则下列说法错误的是（）

A、 $\frac{y}{x} + \frac{3}{y}$ 的最小值为4 B、 $x y$ 的最大值为 $\frac{9}{8}$ C、 $\sqrt{x} + \sqrt{2 y}$ 的最小值为2 D、 $x^{2} + 4 y^{2}$ 的最小值为 $\frac{9}{2}$

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二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。）

9. 下列结论中正确的是（）

A、若幂函数 $f (x)$ 的图象经过点 $(\frac{1}{8} ， 2)$ ，则 $f (x) = x^{- 3}$ B、若幂函数 $f (x) = x$ ，则 $f (x)$ 在区间 $(- \infty ， 0)$ 上单调递减 C、幂函数 $y = x^{a} (a > 0)$ 始终经过点 $(0 ， 0)$ 和 $(1 ， 1)$ D、若幂函数 $f (x) = \sqrt{x}$ ，则对任意 $x_{1} ， x_{2} \in [0 ， + \infty)$ ，都有 $\frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2} \leq f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2})$

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10. 设 $a > b > 0 ， c \neq 0$ ，则（）

A、 $a c^{2} < b c^{2}$ B、 $\frac{b}{a} < \frac{b + c^{2}}{a + c^{2}}$ C、 $a^{2} - \frac{1}{a} > b^{2} - \frac{1}{b}$ D、 $a^{2} + \frac{1}{a} > b^{2} + \frac{1}{b}$

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11. 下列命题中的真命题有（）

A、当 $x > 1$ 时， $x + \frac{1}{x - 1}$ 的最小值是3 B、 $\frac{x^{2} + 5}{\sqrt{x^{2} + 4}}$ 的最小值是2 C、当 $0 < x < 10$ 时， $\sqrt{x (10 - x)}$ 的最大值是5 D、若正数 $x ， y$ 为实数，若 $x + 2 y = 3 x y$ ，则 $2 x + y$ 的最大值为3

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12. 下列几个说法，其中正确的有（）

A、已知函数 $f (x)$ 的定义域是 $(\frac{1}{2} ， 8]$ ，则 $f (2^{x})$ 的定义域是 $(- 1 ， 3]$ B、若函数 $f (x) = | 2^{x} - 2 | - b$ 有两个零点，则实数 $b$ 的取值范围是 $0 < b < 2$ C、函数 $y = 2^{x}$ 与 $y = x^{2}$ 图像的交点个数是2个 D、已知函数 $f (x) = 4 + x^{2} l n \frac{1 + x}{1 - x}$ 在区间 $[- \frac{1}{2} ， \frac{1}{2}]$ 上的最大值与最小值分别为 $M$ 和 $m$ ，则 $M + m = 8$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 若命题 $p$ ：“ $\forall x \in R ， 2^{x} - 2 x - 2 \geq 0$ ”，则“ $\neg p$ ”为．

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14. 已知函数 $f (x) = l n \frac{x + 1}{x - 1} + m + 1$ （其中 $e$ 是自然对数的底数， $e \approx 2.718 \cdot \cdot \cdot$ ）是奇函数，则实数 $m$ 的值为．

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15. 已知函数 $f (x) = l n x + \frac{1}{x} - 5 ， g (x) = x^{2} - 2 a x$ ，对于 $\forall x_{1} \in (0 ， + \infty)$ ，都 $\exists x_{2} \in R$ ，使 $f (x_{1}) > g (x_{2})$ ，则 $a$ 的取值范围为．

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16. 已知偶函数 $y = f (x) (x \in R)$ 在区间 $[- 1 ， 0]$ 上单调递增。且满足 $f (1 - x) + f (1 + x) = 0$ ，给出下列判断：
① $f (5) = 0$ ；② $f (x)$ 在 $[1 ， 2]$ 上是减函数；③函数 $f (x)$ 没有最小值；④函数 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处取得最大值；⑤ $f (x)$ 的图象关于直线 $x = 1$ 对称．
其中正确的序号是．

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四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17. 解下列不等式：

(1)、 $x^{2} - 2 x - 1 > 0$ ；

(2)、 $\frac{2 x - 1}{x - 3} \geq 3$ ：

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18. 记 $S_{n}$ 是公差不为0的等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，若 $a_{3} = S_{5}, a_{2} a_{4} = S_{4}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式 $a_{n}$ ；

(2)、求使 $S_{n} > a_{n}$ 成立的n的最小值．

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19. 如图，有一块矩形空地 $A B C D$ ，要在这块空地上开辟一个内接四边形 $E F G H$ 为绿地，使其四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知 $A B = 2 a (a > 3)$ ， $B C = 6$ ，且 $A E = A H = 2 C F = 2 C G$ ，设 $C F = x$ ，绿地 $E F G H$ 面积为 $S (x)$ ．

(1)、写出 $S (x)$ 关于 $x$ 的函数解析式，并求出 $S (x)$ 的定义域；

(2)、当 $C F$ 为何值时，绿地面积 $S (x)$ 最大？并求出最大值．

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20. 设 $f (x)$ 是定义在实数集 $R$ 上的奇函数，且对任意实数 $x$ 恒满足． $f (x + 2) = - f (x)$ ，当 $x \in [0 ， 2]$ 时， $f (x) = 2 x - x^{2}$ ．

(1)、求证： $f (x)$ 是周期函数；

(2)、当 $x \in [2 ， 4]$ 时，求 $f (x)$ 的解析式；

(3)、计算： $f (0) + f (1) + f (2) + ⋯ + f (2021)$ ．

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21. 设函数 $f (x) = a^{x} + m b^{x}$ ，其中 $a ， m ， b \in R$ ．

(1)、若 $a = 2 ， b = \frac{1}{2}$ 且 $f (x)$ 为R上偶函数，求实数 $m$ 的值；

(2)、若 $a = 4 ， b = 2$ 且 $f (x)$ 在 $R$ 上有最小值，求实数 $m$ 的取值范围并求出这个最小值；

(3)、 $a \in (0 ， 1) ， b > 1$ ，解关于x的不等式 $f (x) > 0$ ．

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22. 已知函数 $f (x) = x^{2} + (2 a - \frac{1}{a}) x - l n x$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $a < 0$ 时，证明 $f (x) \geq (1 - 2 a) (a + 1)$ ．

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