广东省湛江重点中学2023-2024学年高三上册数学开学试卷

试卷更新日期：2023-09-11 类型：开学考试

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一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 已知集合 $M = {x | e^{x - 1} ⟩ 1}$ ， $N = {x | x^{2} - 2 x < 0}$ ，则 $M \cup^{} N =$ （）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(1 ， 2)$ C、 $(0 ， + \infty)$ D、 $(2 ， + \infty)$

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2. 已知复数 $(1 + 2 i) (z - 1) = - 2 + i$ ，则 $| z |$ =（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、3

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3. 在 $△ A B C$ 中， $D$ 是 $B C$ 边的中点， $E$ 是 $A D$ 的中点，若 $\vec{B E} = m \vec{A B} + n \vec{A C}$ ，则 $m + n$ 的值是（）

A、 $1$ B、 $- 1$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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4. 已知函数 $f (x) = 3^{x^{2} - 3 x + 1}$ ，则 $f (x)$ 的增区间为（）

A、 $(\frac{3}{2} ， + \infty)$ B、 $(- \frac{3}{2} ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， - \frac{3}{2})$ D、 $(- \infty ， \frac{3}{2})$

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5. 设公差不为零的等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{4} = \frac{1}{2} a_{5}$ ，则 $\frac{S_{9}}{S_{4}} =$ （）

A、 $15$ B、 $1$ C、 $- 1$ D、 $- 9$

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6. 已知抛物线 $C$ ： $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $l$ ，点 $P (x_{0} ， 1) (x_{0} > 0)$ 在抛物线 $C$ 上，过 $P$ 作 $l$ 的垂线，垂足为 $Q$ ，若 $| P O | = | P Q | (O$ 为坐标原点 $)$ ，则 $x_{0} =$ （）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $3$ C、 $3 \sqrt{2}$ D、 $4$

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7. 已知 $θ$ 为钝角， $c o s 2 θ - s i n 2 θ = c o s^{2} θ$ ，则 $t a n 3 θ$ 的值为（）

A、 $- \frac{4}{3}$ B、 $- 2$ C、 $- \frac{8}{3}$ D、 $- \frac{2}{11}$

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8. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 且满足 $f (\frac{2 π}{3} - x) = f (x - \frac{π}{6})$ ，则 $ω$ 的最小值为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $1$ D、 $2$

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二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9. 一组数据： $0$ ， $1$ ， $5$ ， $6$ ， $7$ ， $11$ ， $12$ ，则（）

A、这组数据的平均数为 $6$ B、这组数据的方差为 $16$ C、这组数据的极差为 $11$ D、这组数据的第 $70$ 百分位数为 $7$

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10. 已知函数 $f (x) = x^{2} - x - x l n x$ ，则（）

A、 $f (x)$ 有两个极值点 B、 $f (x)$ 有两个零点 C、 $f' (x) \geq 0$ 恒成立 D、 $f (x) \geq 0$ 恒成立

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11. 已知圆 $C$ ： $(x - 3)^{2} + (y - 1)^{2} = 1$ 与圆 $M$ ： $(x - m)^{2} + (y - 2 m)^{2} = r^{2} (m \in R ， r > 0)$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，则（）

A、圆 $C$ 的圆心坐标为 $(3 ， 1)$ B、当 $r = 2$ 时， $1 - \frac{2 \sqrt{5}}{5} < m < 1 + \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、当 $M A ⊥ C A$ 且 $r = 3$ 时， $m = 2$ D、当 $| A B | = 2$ 时， $r$ 的最小值为 $\sqrt{6}$

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12. $《$ 九章算术 $》$ 里说：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑” $.$ 如图，底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”，沿截面 $P A C$ 将一个“堑堵”截成两部分，其三棱锥称为“鳖臑” $.$ 在鳖臑 $P - A B C$ 中， $P A ⊥ A B ， A B = \sqrt{2}$ ，其外接球的表面积为 $16 π$ ，当此鳖臑的体积 $V$ 最大时，下列结论正确的是（）

A、 $P A = B C = 2 \sqrt{2}$ B、此鳖臑的体积 $V$ 的最大值为 $\frac{7 \sqrt{2}}{6}$ C、直线 $P C$ 与平面 $P A B$ 所成角的余弦值为 $\frac{3}{4}$ D、三棱锥 $P - A B C$ 的内切球的半径为 $\frac{\sqrt{14} - \sqrt{7}}{2}$

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三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 二项式 $(x^{2} - \frac{1}{\sqrt{x}})^{5}$ 的展开式中含 $x^{5}$ 的系数为．

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14. 小张、小陈、小胡独立的做一道数学题，小张做出这道题的概率为 $\frac{2}{3}$ ，小陈做出这道题的概率为 $\frac{4}{5}$ ，小胡做出这道题的概率为 $\frac{5}{6}$ ，每个人是否做出这道题相互没有影响，则这道题被做出来的概率为．

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15. 已知函数 $f (x) = [a (x - 1) - 2 l n x] e^{x}$ 在 $(1 ， + \infty)$ 上单调递增，则实数 $a$ 的取值范围为．

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16. 双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，右支上有一点 $M$ ，满足 $∠ F_{1} M F_{2} = 90 °$ ， $△ F_{1} M F_{2}$ 的内切圆与 $y$ 轴相切，则双曲线 $C$ 的离心率为．

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四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $c o s A = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ．

(1)、若 $b = \sqrt{3}$ ， $c = 2$ ，求 $a$ 的值；

(2)、若 $\frac{a^{2}}{b c} = 2 - \sqrt{3}$ ，求角 $B$ ， $C$ 的大小．

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $\frac{a_{n + 1}}{3 a_{n}} = 1 + \frac{1}{n}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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19. 如图，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，平面 $A_{1} B C ⊥$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ．

(1)、证明： $A B ⊥ B C$ ；

(2)、若 $A A_{1} = A C = 2 B C$ ， $E$ 为 $B B_{1}$ 上一点，且 $B E = 3 E B_{1}$ ，求二面角 $E - A_{1} C - B$ 的余弦值．

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20. 2023年的高考已经结束，考试前一周，某高中进行了一场关于高三学生课余学习时间的调查问卷，现从高三

12

个班级每个班随机抽取

10

名同学进行问卷，统计数据如下表：

	课余学习时间超过两小时	课余学习时间不超过两小时
$200$ 名以前	$40$	$x + 10$
$200$ 名以后	$3 x - 10$	$40$

(1)、求

x

的值；

(2)、依据上表，根据小概率值

α = 0.001

的独立性检验，分析学生成绩与课余学习超过两个小时是否有关系；

(3)、学校在成绩

200

名以前的学生中，采用分层抽样，按课余学习时间是否超过两小时抽取

6

人，再从这

6

人中随机抽取

3

人，记这

3

人中课余学习时间超过两小时的学生人数为

X

，求

X

的分布列和数学期望．

附：参考公式： $χ^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．

$a$	$0.10$	$0.05$	$0.010$	$0.005$	$0.001$
$x_{a}$	$2.706$	$3.841$	$6.635$	$7.879$	$10.828$

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21. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为 $F$ ，上顶点为 $B$ ， $| B F | = 2$ ，离心率为 $\frac{1}{2}$ ．

(1)、求椭圆 $E$ 的标准方程；

(2)、若直线 $l ： y = x - 2 m (m \neq 0)$ 与椭圆 $E$ 相交于 $A ， C$ 两点，且点 $N (0 ， m)$ ，当 $△ A C N$ 的面积最大时，求直线 $l$ 的方程．

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x - 1} - l n x$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小值；

(2)、求证： $e x f (x) + (e x - 1) l n x - e^{x} + \frac{1}{2} > 0$ ．

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