广东省深圳市福田区重点中学2022-2023学年高三上册数学模拟试卷

试卷更新日期：2023-09-11 类型：高考模拟

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一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分，每小题的4个选项中仅有一个选项是正确的，请将你认为正确的答案的代号涂在答题卡上

1. 设S ， T是两个非空集合，且 $S ⊈ T$ ， $T ⊈ S$ ，令 $X = S ∩ T$ ，那么 $S ∪ X$ 等于（）

A、X B、T C、 $\emptyset$ D、S

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2. $i$ 为虚数单位，则 ${(\frac{1 + i}{1 - i})}^{2023} =$ （）

A、 $i$ B、 $- i$ C、 $- 1$ D、 $1$

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3. “ $x^{- 2} > 1$ ”是“ $2^{| x | - 1} \leq 1$ ”成立的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 函数 $f (x) = c o s x \cdot l n (\sqrt{x^{2} + 1} - x)$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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5. 已知各项均为正数的等比数列 ${a_{n}}$ 中， $(a_{2} + 2 a_{4} + a_{6}) a_{4} = 25$ ，则 $a_{3} + a_{5}$ 等于（）

A、5 B、10 C、15 D、20

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6. 点 $P$ 在以 $F_{1} ， F_{2}$ 为焦点的椭圆 $\frac{x^{2}}{12} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 上，若线段 $P F_{1}$ 的中点在 $y$ 轴上，则 $| P F_{1} |$ 是 $| P F_{2} |$ 的（）

A、3倍 B、4倍 C、5倍 D、7倍

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7. 已知函数 $y = l o g_{a} (2 - a x + x^{2})$ 在区间 $[0 ， 1]$ 上单调递减，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $[2 ， 2 \sqrt{2})$ C、 $[2 ， 3)$ D、 $[2 \sqrt{2} ， 3)$

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8. 过直线 $y = x$ 上的一点作圆 $(x - 5)^{2} + (y - 1)^{2} = 2$ 的两条切线 $l_{1} ， l_{2}$ ，当直线 $l_{1} ， l_{2}$ 关于 $y = x$ 对称时，它们之间的夹角为（）

A、 $3 0^{∘}$ B、 $4 5^{∘}$ C、 $6 0^{∘}$ D、 $9 0^{∘}$

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二、多选题：共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有两个以上是符合题目要求的，少选得2分，多选或错选得0分

9. 一组数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， …， $x_{n}$ 的平均数是3，方差为4，关于数据3x₁-1，3x₂-1，…，3x_n-1，下列说法正确的是（）

A、平均数是3 B、平均数是8 C、方差是11 D、方差是36

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10. 已知函数 $f (x) = e^{x} + e^{- x} + \frac{1}{2} x^{2}$ ，则满足 $f (\sqrt{3} a) < f (a + 2)$ 的整数 $a$ 的取值可以是（）

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、2

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11. 设 $f (x)$ 是 $R$ 上的奇函数，且 $f (x + 2) = - f (x)$ ，当 $0 < x \leq 1$ 时， $f (x) = l g x + 1$ ，则（）

A、 $f (3) = - 1$ B、 $f (x)$ 的图像关于直线 $x = - 2$ 对称 C、 $f (x)$ 的一个周期为4 D、 $f (x)$ 在 $[- 1 ， 4]$ 上有7个零点

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12. 已知长方体的表面积为10，十二条棱长度之和为16，则该长方体（）

A、一定不是正方体 B、外接球的表面积为 $6 π$ C、长、宽、高的值均属于区间 $[1 ， 2]$ D、体积的取值范围为 $[\frac{50}{27} ， 2]$

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三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分

13. 已知函数 $f (x) = 4^{x} + l o g_{4} x$ ，则 $f (\frac{1}{2}) =$ ．

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14. 曲线 $y = l n x - x + 2$ 过坐标原点的切线的斜率为．

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15. 函数 $y = \frac{1}{s i n^{2} x} + \frac{1}{4 c o s^{2} x}$ 的最小值是．

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x e^{x} - x^{2} - 2 x ， x < 1 \\ x + \frac{9}{x} - 8 ， x \geq 1 \end{array}$ ，则方程 $f [f (x)] + \frac{1}{e} = 1$ 有个不相等的实数解．

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四、解答题：本大题共6小题，共70分（第17题10分，第18-22题每题12分）.解答请写在答卷纸上，应写出文字说明，证明过程或演算步骤

17. 在 $△ A B C$ 中，分别是 $A ， B ， C$ 的对边， $a + b c o s A = c + a c o s B$ ．

(1)、求 $B$

(2)、若 $b = 2$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值．

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18. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A C = B C = 2 ， ∠ A C B = 9 0^{∘} ， A P = B P = A B ， P C ⊥ A C$ ．

(1)、求证： $P C ⊥ A B$ ；

(2)、求二面角 $B - A P - C$ 的余弦值．

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19. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的首项 $a_{1}$ 及公差 $d$ 都为整数，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ．

(1)、若 $a_{11} = 0$ ， $S_{14} = 98$ ，求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $a_{1} \geq 6 ， a_{11} > 0 ， S_{14} \leq 77$ ．
①证明： $d = - 1$ ；
②求所有可能的数列 ${a_{n}}$ 的通项公式．

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20. 已知函数 $f (x) = \frac{2 a x - a^{2} + 1}{x^{2} + 1} (x \in R)$ ，其中 $a \in R$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(2 ， f (2))$ 处的切线方程；

(2)、当 $a \neq 0$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间与极值．

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21. 已知抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ，过 $M (a ， 0)$ 且斜率为1的直线 $l$ 与抛物线交于不同的两点 $A ， B ， | A B | \leq 2 p$

(1)、求 $a$ 的取值范围；

(2)、若线段 $A B$ 的垂直平分线交 $x$ 轴于点 $N$ ，求 $Δ N A B$ 面积的最大值．

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22. 已知函数 $f (x) = (a x + 2) e^{- x}$ 的最大值为 $e$ ，且 $a < 3$ ．

(1)、求 $a$ ；

(2)、若 $m f (x) + x - l n (2 x + 4) \geq 0$ ，求 $m$ 的取值范围．

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