广东省潮州市名校2023-2024学年高三上册数学8月底测试卷

试卷更新日期：2023-09-11 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 下列函数中，在区间 $(- ∞ ， 0)$ 上是减函数的是（）

A、 $y = x^{3}$ B、 $y = {(\frac{1}{2})}^{- x}$ C、 $y = l o g_{\frac{1}{2}} (- x)$ D、 $y = x^{- 1}$

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2. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} l o g_{a} x ， (x > 1) \\ a x - 2 ， (x \leq 1) \end{array}$ ，对任意 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ 成立，则a的取值范围是（）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(1 ， 2]$ C、 $(0 ， 1]$ D、 $(1 ， 2)$

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3. 已知 $f (x)$ 是R上的奇函数，且 $f (x + 2) = - f (x)$ ，当 $x \in (0 ， 2)$ 时， $f (x) = x^{2} + 2 x$ ，则 $f (15) =$ （）

A、3 B、 $- 3$ C、255 D、 $- 255$

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4. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且 $y = f (x + 1)$ 的图象关于点 $(- 1 ， 0)$ 成中心对称.当 $x > 0$ 时， $f (x) = \frac{3}{x + 1}$ ，则 $f (- 2) =$ （）

A、1 B、3 C、 $- 1$ D、 $- 3$

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5. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ， $f (x + 2)$ 为偶函数， $f (2 x + 1)$ 为奇函数，则（）

A、 $f (- \frac{1}{2}) = 0$ B、 $f (- 1) = 0$ C、 $f (2) = 0$ D、 $f (4) = 0$

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6. 已知函数 $f (x) = 2^{x} - \frac{16}{2^{x}} (x \in R)$ ，则 $f (x)$ 的图象（）

A、关于直线 $x = 2$ 对称 B、关于点 $(2 ， 0)$ 对称 C、关于直线 $x = 0$ 对称 D、关于原点对称

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7. 已知函数 $f (x)$ 是 $(0 ， + ∞)$ 上的单调函数，且 $f (f (x) - x - l o g_{2} x) = 5$ ，则 $f (x)$ 在 $[1 ， 8]$ 上的值域为（）

A、 $[2 ， 10]$ B、 $[3 ， 10]$ C、 $[2 ， 13]$ D、 $[3 ， 13]$

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8. 若函数 $f (x) = l o g_{a} (a x - x^{3}) (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 在区间 $(0 ， 1)$ 内单调递增，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[3 ， + \infty)$ B、 $(1 ， 3]$ C、 $(0 ， \frac{1}{3})$ D、 $[\frac{1}{3} ， 1)$

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二、填空题

9. 已知函数 $f (x) = x^{3} (a \cdot 2^{x} - 2^{- x})$ 是偶函数，则 $a =$ .

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10. 函数 $f (x) = | 2 x - 1 | - 2 l n x$ 的最小值为.

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11. 若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为 $f (x) = {\begin{array}{l} x (1 - x) ， 0 \leq x \leq 1 \\ s i n π x ， 1 < x \leq 2 \end{array}$ ，则 $f (5)$ ＋ $f (\frac{41}{6})$ ＝.

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12. 定义在R上的奇函数 $f (x)$ 满足 $\forall x \in$ R， $f (x) + f (4 - x) = 0$ ，且当 $0 < x < 2$ 时， $f (x) = x^{2} - 2^{x}$ ，则 $\sum_{i = 1} | f (i) | =$ ．

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三、解答题

13. 设 $f (x)$ 是定义在实数集 $R$ 上的函数，且对任意实数 $x ， y$ 满足 $f (x - y) = f (x) + f (y) + x y - 1$ 恒成立

(1)、求 $f (0)$ ， $f (1)$ ；

(2)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(3)、若方程 $f [f (2 x)] = k$ 恰有两个实数根在 $(- 2 ， 2)$ ）内，求实数 $k$ 的取值范围.

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