广东省四校联考2023-2024学年高三上册数学9月联考（一）试卷

试卷更新日期：2023-09-11 类型：高考模拟

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | x \geq 2 或 x \leq - 3}$ ， $B = {x | 0 \leq x \leq 4}$ ，则 $V e n n$ 图中阴影部分表示的集合为（）

A、 $[0 ， 2)$ B、 $[0 ， 3)$ C、 $(2 ， 4]$ D、 $(3 ， 4]$

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2. 函数 $y = {(\frac{1}{2})}_{}^{x_{}^{2} - 3 x + 2}$ 的单调递增区间是（）

A、 $(- \infty ， 1]$ B、 $[1 ， 2]$ C、 $[\frac{3}{2} ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， \frac{3}{2}]$

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3. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{6}$ ， $a_{18}$ 是方程 $x^{2} - 8 x - 17 = 0$ 的两个根，则 ${a_{n}}$ 的前 $23$ 项的和为（）

A、 $- 184$ B、 $- 92$ C、 $92$ D、 $184$

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4. 设命题甲： $\forall x \in R$ ， $x^{2} + 2 a x + 1 > 0$ 是真命题；命题乙：函数 $y = l o g_{2 a - 1} x$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上单调递减是真命题，那么甲是乙的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 已知函数 $f (x) = l o g_{a} (x - b)$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的图像如图所示，则以下说法正确的是（）

A、 $a + b < 0$ B、 $a b < - 1$ C、 $0 < a^{b} < 1$ D、 $l o g_{a} | b | > 0$

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6. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x_{}^{2} - a x + 5 ， (x \leq 1) \\ \frac{a}{x} ， (x > 1) \end{array}}$ 满足对任意实数 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $\frac{f (x_{2}^{}) - f (x_{1}^{})}{x_{2}^{} - x_{1}^{}} < 0$ 成立，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $0 < a \leq 3$ B、 $a \geq 2$ C、 $a > 0$ D、 $2 \leq a \leq 3$

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7. 若 $a = 0 . 2^{0.2}$ ， $b = 0 . 3^{0.3}$ ， $c = l o g_{0.3} 0.2$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $c > a > b$ D、 $c > b > a$

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8. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - x^{2} + 4 x ， x \leq 4 ， \\ | l o g_{2} (x - 4) | ， x > 4 ， \end{array}$ 若关于 $x$ 的方程 $f (x) = t$ 有四个实根 $x_{1}^{}$ ， $x_{2}^{}$ ， $x_{3}^{}$ ， $x_{4}^{}$ ，且 $x_{1}^{}$ < $x_{2}^{}$ < $x_{3}^{}$ < $x_{4}^{}$ ，则 $x_{1} + x_{2} + 4 x_{3} + \frac{1}{4} x_{4}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{45}{5}$ B、 $23$ C、 $\frac{47}{2}$ D、 $24$

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二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 已知数列 ${a_{n}}$ 的首项 $a_{1} = 1$ ，且 $a_{n + 1} = 2 a_{n} + 1$ ，满足下列结论正确的是（）

A、数列 ${a_{n}}$ 是等比数列 B、数列 ${a_{n} + 1}$ 是等比数列 C、 $a_{n} = 2^{n} - 1$ D、数列 ${a_{n}}$ 的前n项的和 $S_{n} = 2^{n} - n$

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10. 对任意两个实数a，b，定义 $m i n {a ， b} = {\begin{array}{l} a ， a \leq b \\ b ， a > b \end{array}$ ，若 $f (x) = 4 - x^{2}$ ， $g (x) = x^{2}$ ，下列关于函数 $F (x) = m i n {f (x) ， g (x)}$ 的说法正确的是（）

A、函数 $F (x)$ 是偶函数 B、方程 $F (x) = 0$ 有三个解 C、函数 $F (x)$ 有3个单调区间 D、函数 $F (x)$ 有最大值为4，无最小值

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11. 定义在 $R$ 上的偶函数 $f (x)$ 满足 $f (2 + x) = f (2 - x)$ ，当 $x \in [0 ， 2]$ 时， $f (x) = 2 - x$ ，设函数 $g (x) = e_{}^{- | x - 2 |} （ - 2 < x < 6 ）$ ，则正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 图像关于直线 $x = 2$ 对称 B、函数 $f (x)$ 的周期为6 C、 $f (7) = - 1$ D、 $f (x)$ 和 $g (x)$ 的图像所有交点横坐标之和等于8

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12. 已知函数 $f (x) = a_{}^{x} (a > 1)$ ， $g (x) = f (x) - f (- x)$ ，若 $x_{1}^{} \neq x_{2}^{}$ ，则（）

A、 $f (x_{1}) f (x_{2}) = f (x_{1} + x_{2})$ B、 $f (x_{1}) + f (x_{2}) = f (x_{1} x_{2})$ C、 $x_{1} g (x_{1}) + x_{2} g (x_{2}) > x_{1} g (x_{2}) + x_{2} g (x_{1})$ D、 $g (\frac{x_{1}^{} + x_{2}^{}}{2}) \leq \frac{g (x_{1}^{}) + g (x_{2}^{})}{2}$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. $y = x + \sqrt{2 x - 1}$ 的值域为．

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14. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = x^{2} - 4 x$ ，则不等式 $x f (x) < 0$ 的解集为．

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15. 已知函数 $f (x) = l g (a x - 3)$ 的图象经过定点 $(2 ， 0)$ ，若 $k$ 为正整数，那么使得不等式 $2 f (x) > l g (k x^{2})$ 在区间 $[3 ， 4]$ 上有解的 $k$ 的最大值是.

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16. 数列 ${a_{n}^{}}$ 满足 $a_{n + 2}^{} + (- 1)_{}^{n} a_{n}^{} = 3 n + 1$ ，前8项的和为106，则 $a_{1} =$ .

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四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.

17. 等比数列 ${a_{n}^{}}$ 中， $a_{1}^{} = 1$ ， $a_{9}^{} = 4 a_{7}^{}$ ．

(1)、求 ${a_{n}^{}}$ 的通项公式；

(2)、记 $S_{n}^{}$ 为 ${a_{n}^{}}$ 的前 $n$ 项和，若 $S_{m}^{} = 127$ ，求 $m$ ．

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18. 已知a ， b为常数，且 $a \neq 0$ ， $f (x) = a x^{2} + b x$ ， $f (2) = 0$ .

(1)、若方程 $f (x) - x = 0$ 有唯一实数根，求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、当 $x \geq 2 ， a > 0$ 时，不等式 $f (x) \geq 2 - a$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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19. 已知函数 $f (x) = \frac{a x + b}{1 + x_{}^{2}}$ 是定义域为 $（ - 1 ， 1 ）$ 的奇函数，且 $f (\frac{1}{2}) = \frac{2}{5}$ .

(1)、求实数 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、判断 $f (x)$ 在 $（ - 1 ， 1 ）$ 上的单调性，并用定义法证明；

(3)、解不等式： $f (t - 1) + f (t) < 0$ .

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20. 民族要复兴，乡村要振兴，合作社助力乡村产业振兴，农民专业合作社已成为新型农业经营主体和现代农业建设的中坚力量，为实施乡村振兴战略作出了巨大的贡献.某农民专业合作社为某品牌服装进行代加工，已知代加工该品牌服装每年需投入固定成本30万元，每代加工 $x$ 万件该品牌服装，需另投入 $f (x)$ 万元，且 $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{1}{2} x^{2} + 2 x ， 0 < x \leq 10 ， \\ 14 x + \frac{450}{x} - 115 ， 10 < x \leq 50 . \end{array}$ 根据市场行情，该农民专业合作社为这一品牌服装每代加工一件服装，可获得12元的代加工费.

(1)、求该农民专业合作社为这一品牌服装代加工费的年利润y（单位：万元）关于年代加工量x（单位：万件）的函数解析式；

(2)、当年代加工量为多少万件时，该农民专业合作社为这一品牌服装代加工费的年利润最大?并求出年利润的最大值.

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21. 在人教版高中数学教材选择性必修三中，我们探究过“杨辉三角”（如下图所示）所蕴含的二项式系数性质，也了解到在我国古代，杨辉三角是解决很多数学问题的有力工具。

(1)、把“杨辉三角”中第三斜列各数取出，并按原来的顺序排列可得一数列 ${a_{n}^{}}$ ：1，3，6，10，15，……，请写出 $a_{n}^{}$ 与 $a_{n - 1}^{}$ （ $n \in N_{}^{*}$ ， $n \geq 2$ ）的递推关系，并求出数列 ${a_{n}^{}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n}^{} = \frac{a_{n}^{}}{(n + 1) \cdot 2_{}^{n - 1}}$ ， $n \in N_{}^{*}$ ，证明： $b_{1}^{} + b_{2}^{} + b_{3}^{} + ⋯ + b_{n}^{} < 2$ .

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22. 已知函数 $f (x) = x l n x - x$ ， $g (x) = a l n x - x_{}^{2} + 1$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小值；

(2)、若 $g (x) \leq 0$ 在 $（ 0 ， + \infty ）$ 上恒成立，求实数 $a$ 的值；

(3)、证明： $e_{}^{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ⋯ \frac{1}{2022}} > 2023$ （其中 $e$ 是自然对数的底数）.

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