（B卷）第二章直线与圆的位置关系-2023-2024年浙教版数学九年级下册单元测试

试卷更新日期：2023-09-10 类型：单元试卷

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如图，AC，BD分别与⊙O切于点C，D，延长AC，BD交于点P．若 $∠ P = 120 °$ ， ⊙O的半径为6cm，则图中 $\overset{⌢}{C D}$ 的长为（）

A、π cm B、2π cm C、3π cm D、4π cm

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2. 如图，已知AB是半圆O的直径，点C，D将 $A B$ 分成相等的三段弧，点M在 $A B$ 的延长线上，连接 $M D$ ．对于下列两个结论，判断正确的是（）
结论I：若 $∠ O M D = 30 °$ ，则 $M D$ 为半圆O的切线；
结论II：连接 $A C ， C D$ ，则 $∠ A C D = 130 °$

A、I和II都对 B、I对II错 C、I错II对 D、I和II都错

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3. 如图，矩形ABCD中，G是BC的中点，过A、D、G三点的⊙O与边AB、CD分别交于点E、点F，给出下列判断：（1）AC与BD的交点是⊙O的圆心；（2）AF与DE的交点是⊙O的圆心；（3）AE=DF；（4）BC与⊙O相切，其中正确判断的个数是（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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4. 如图， $A B 、 C D 、 B C$ 分别与⊙O相切于E、F、G三点，且 $A B ∥ C D$ ， $O B = 3$ cm， $O C = 4$ cm，则 $B E + C G$ 的长等于（）

A、7cm B、6cm C、5cm D、11cm

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5. 《数书九章》是我国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a，b，c求面积的公式 $S = \sqrt{\frac{1}{4} [c^{2} a^{2} - {(\frac{c^{2} + a^{2} - b^{2}}{2})}^{2}]}$ .若三角形的三边a，b，c分别为7，6，3，则这个三角形内切圆的半径是（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{4}$

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6. 如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，以点A为圆心，以任意长为半径画弧交射线AB，AC于两点，分别以这两点为圆心，以适当的定长为半径画弧，两弧交于点E，作射线AE，交BD于点I，连接CI，以下说法错误的是（）

A、I到AB，AC边的距离相等 B、CI平分∠ACB C、I是△ABC的内心 D、I到A，B，C三点的距离相等

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7. 如图，直线 $y = \frac{\sqrt{3}}{3} x + 2 \sqrt{3}$ 与x轴、y 轴分别相交于点A、B两点，圆心P的坐标为（2，0）.⊙P与y轴相切于点O，若将⊙P沿x轴向左移动，当⊙P与该直线相交时，横坐标为整数的点P的个数是（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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8. 如图所示，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，点P在经过点A（﹣3，0），B（0，4）的直线上，PQ切⊙O于点Q，则切线长PQ的最小值为（）

A、 $\sqrt{7}$ B、2.4 C、 $\frac{\sqrt{119}}{5}$ D、3

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9. 如图所示，在Rt $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 8$ ， $A B = 10$ ，点 $O$ 为 $B C$ 上的点， $⊙ O$ 的半径 $O C = 1$ ，点 $D$ 是 $A B$ 边上的动点，过点 $D$ 作⊙ $O$ 的一条切线 $D E$ （点 $E$ 为切点），则线段 $D E$ 的最小值为（）

A、 B、 $\sqrt{15}$ C、 $\sqrt{15} - 1$ D、4

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10. 如图，在直角边分别为3和4的直角三角形中，每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆，以此类推，依此类推，图10中有10个直角三角形的内切圆，它们的面积分别记为S₁ ， S₂ ， S₃ ， …，S₁₀ ，则S₁+S₂+S₃+…+S₁₀=（）

A、4π B、3π C、2π D、π

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二、填空题（每空3分，共18分）

11. 如图，将正方形 $A B C D$ 绕点 $A$ 按逆时针方向旋转30°得到正方形 $A E F G$ ，已知 $E F$ 交 $C D$ 于点 $N$ ， $A B = \sqrt{2}$ ，则四边形 $A E N D$ 的内切圆半径为．

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12. 如图，在△ABC中，AC：BC：AB=5：12：13，⊙O在△ABC内自由移动，若⊙O的半径为1，且圆心O在△ABC内所能到达的区域的面积为 $\frac{10}{3}$ ，则△ABC的周长为.

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13. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $A B = 2.$ 直线 $l$ 与 $⊙ O$ 相切于点 $C$ ，且 $l / / A B .$ 在直线 $l$ 上取一点 $D$ ，连结 $A D$ 交 $⊙ O$ 于点 $E .$ 若 $A E = D E$ ，则 $C D$ 的长是.

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14. 如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，AC＝5，BC＝12，点P是线段CD上一动点，当半径为4的⊙P与△ABC的一边相切时，CP的长为.

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15. 如图，在△ABC中，I是△ABC的内心，O是AB边上一点，⊙O经过点B且与AI相切于点I，若tan∠BAC＝ $\frac{24}{7}$ ，则sin∠ACB的值为 .

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16. 如图，点I为△ABC的内心，连AI交△ABC的外接圆于点D，若 $A I ＝ 2 C D$ ，点E为弦AC的中点，连接EI，IC，若 $I C ＝ 6$ ， $I D ＝ 5$ ，则IE的长为．

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三、解答题（共9题，共72分）

17. 如图， $B C$ 是 $⊙ O$ 的直径， $A$ 是 $⊙ O$ 上异于 $B 、 C$ 的点． $⊙ O$ 外的点 $E$ 在射线 $C B$ 上，直线 $E A$ 与 $C D$ 垂直，垂足为 $D$ ，且 $D A \cdot A C = D C \cdot A B$ ．设 $△ A B E$ 的面积为 $S_{1} ， △ A C D$ 的面积为 $S_{2}$ ．

(1)、判断直线 $E A$ 与 $⊙ O$ 的位置关系，并证明你的结论；

(2)、若 $B C = B E ， S_{2} = m S_{1}$ ，求常数 $m$ 的值．

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18. 如图，在菱形 $A B C D$ 中，对角线 $A C ， B D$ 相交于点 $E ， ⊙ O$ 经过 $A ， D$ 两点，交对角线 $A C$ 于点 $F$ ，连接 $O F$ 交 $A D$ 于点 $G$ ，且 $A G = G D$ ．

(1)、求证： $A B$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、已知 $⊙ O$ 的半径与菱形的边长之比为 $5 ： 8$ ，求 $t a n ∠ A D B$ 的值．

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19. 已知开口向上的抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 与直线：y=ax+c，y=cx+a中的每一条都至多有一个公共点.

(1)、求 $\frac{c}{a}$ 的最大值；

(2)、当 $\frac{c}{a}$ 取最大值时，设直线 $y = \frac{31}{4} a$ 交抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 于A，B两点，C为抛物线的顶点，若△ABC内切圆的半径为1，求a的值.

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20. 如图，已知点D在⊙O的直径 $A B$ 延长线上，点C为⊙O上，过D作 $E D ⊥ A D$ ，与 $A C$ 的延长线相交于E， $C D$ 为⊙O的切线， $A B ＝ 2 ， A E ＝ 3$ .

(1)、求证： $C D ＝ D E$ ；

(2)、求 $B D$ 的长；

(3)、若 $∠ A C B$ 的平分线与⊙O交于点F，P为 $△ A B C$ 的内心，求 $P F$ 的长.

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21. 如图， $P A$ 、 $P B$ 是 $⊙ O$ 的切线， $A$ 、 $B$ 是切点， $A C$ 是 $⊙ O$ 的直径，连接 $O P$ ，交 $⊙ O$ 于点 $D$ ，交 $A B$ 于点 $E$ ．

(1)、求证： $B C ∥ O P$ ；

(2)、若 $E$ 恰好是 $O D$ 的中点，且四边形 $O A P B$ 的面积是 $16 \sqrt{3}$ ，求阴影部分的面积；

(3)、若 $s i n ∠ B A C = \frac{1}{3}$ ，且 $A D = 2 \sqrt{3}$ ，求切线 $P A$ 的长．

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22. CA、CB为⊙O的切线，切点分别为点A、B，延长AO交⊙O于点D，连接AB、CO，AB与CO交于点M，

(1)、如图1，求证：∠ACB=2∠BAO；

(2)、如图2，连接BD，求证：BD=2OM；

(3)、如图3，在（2）的条件下，F为OD上一点，连接FM并延长交AC于点H，连接BH，若DF=2OF，HM=3，tan∠ACB= $\frac{4}{3}$ ，求线段BH的长。

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23. 如图，点A，B，C在 $⊙ O$ 上运动，满足 $A B^{2} = B C^{2} + A C^{2}$ ，延长 $A C$ 至点D，使得 $∠ D B C = ∠ C A B$ ，点E是弦 $A C$ 上一动点（不与点A，C重合），过点E作弦 $A B$ 的垂线，交 $A B$ 于点F，交 $B C$ 的延长线于点N，交 $⊙ O$ 于点M（点M在劣弧 $\overset{⌢}{A C}$ 上）．

(1)、 $B D$ 是 $⊙ O$ 的切线吗？请作出你的判断并给出证明；

(2)、记 $△ B D C ， △ A B C ， △ A D B$ 的面积分别为 $S_{1} ， S_{2} ， S$ ，若 $S_{1} \cdot S = {(S_{2})}^{2}$ ，求 ${(t a n D)}^{2}$ 的值；

(3)、若 $⊙ O$ 的半径为1，设 $F M = x$ ， $F E \cdot F N \cdot \sqrt{\frac{1}{B C \cdot B N} + \frac{1}{A E \cdot A C}} = y$ ，试求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．

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24. 请阅读以下材料，并完成相应的任务
【阅读材料】在《阿基米德全集》中的《引理集》中记述了伟大的古希腊数学家、哲学家、物理学家阿基米德提出的六个有关圆的引理，其中第二个引理是：
如图1，点P是弧 $A B$ 的任意一点， $P C ⊥ A B$ 于点C，点D在弦 $A B$ 上且 $A C = C D$ ，在弧 $A B$ 上取一点Q，使弧 $P Q$ =弧 $P A$ ，连接 $B Q$ ，则有 $B Q = B D$ .

(1)、如图2，小明同学尝试说明“ $B Q = B D$ ”，于是他连接了 $P A$ ， $P B$ ， $P D$ ， $P Q$ ，请根据小明的思路完成后续证明过程；

(2)、如图3，以 $A B$ 为直径的半圆上有一点P， $A P = 6 ， A B = 10$ ，直线l与 $⊙ O$ 相切于点P，过点 $B E ⊥ l$ 于点E，交 $⊙ O$ 于点Q，求出 $B Q$ 的长.

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25. 阅读材料：
在平面直角坐标系xOy中，点P（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离公式为： $d = \frac{| A x_{0} + B y_{0} + C |}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}}$ .

例如：求点P0（0，0）到直线4x+3y﹣3=0的距离.

解：由直线4x+3y﹣3=0知，A=4，B=3，C=﹣3，∴点P0（0，0）到直线4x+3y﹣3=0的距离为 $d = \frac{| 4 \times 0 + 3 \times 0 - 3 |}{\sqrt{4^{2} + 3^{2}}}$ = $\frac{3}{5}$ .

根据以上材料，解决下列问题：

(1)、问题1：点P1（3，4）到直线 $y = - \frac{3}{4} x + \frac{5}{4}$ 的距离为；

(2)、问题2：已知：⊙C是以点C（2，1）为圆心，1为半径的圆，⊙C与直线 $y = - \frac{3}{4} x + b$ 相切，求实数b的值；

(3)、问题3：如图，设点P为问题2中⊙C上的任意一点，点A，B为直线3x+4y+5=0上的两点，且AB=2，请求出S△ABP的最大值和最小值.

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（B卷）第二章 直线与圆的位置关系-2023-2024年浙教版数学九年级下册单元测试

一、选择题（每题3分，共30分）

二、填空题（每空3分，共18分）

三、解答题（共9题，共72分）

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