（培优卷）2.3三角形的内切圆-2023-2024年浙教版数学九年级下册同步测试

试卷更新日期：2023-09-10 类型：同步测试

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $∠ B A C = 60 °$ 其周长为20，⊙I是 $Δ A B C$ 的内切圆，其半径为 $\sqrt{3}$ ，则 $Δ B I C$ 的外接圆半径为（）

A、7 B、 $7 \sqrt{3}$ C、 $\frac{7 \sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{7 \sqrt{3}}{3}$

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2. 在 $△ A B C$ 中， $B C = 3 ， A C = 4$ ，下列说法错误的是（　　）

A、 $1 < A B < 7$ B、 $S_{△ A B C} \leq 6$ C、 $△ A B C$ 内切圆的半径 $r < 1$ D、当 $A B = \sqrt{7}$ 时， $△ A B C$ 是直角三角形

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3. 如图，在正 $△ A B C$ 中，D，E分别在边 $A C$ ， $B C$ 上，连接 $D E$ ， $∠ A D E$ 的平分线过 $△ A B C$ 的内心O，交 $A B$ 于点F，连接 $E F$ ．若要知道 $△ A B C$ 的周长，则只需要知道下列哪个三角形的周长？该三角形是（）

A、 $△ C D E$ B、 $△ A D F$ C、 $△ B E F$ D、 $△ D E F$

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4. 如图， $⊙ I$ 是 $R t △ A B C$ 的内切圆， $∠ A C B = 90 °$ ，过点I作 $M N ∥ A B$ 分别交 $C A$ ， $C B$ 于N，M，若 $B M = 3$ ， $A N = 4$ ，则 $⊙ I$ 的半径是（）

A、 $\frac{7}{2}$ B、 $\frac{5}{2}$ C、 $\frac{14}{5}$ D、 $\frac{12}{5}$

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5. 如图，不等边 $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ， I是其内心， $B I ⊥ O I$ ， $A C = 14$ ， $B C = 13$ ， $△ A B C$ 内切圆半径为（）

A、4 B、 $\frac{7}{2} \sqrt{2}$ C、 $\frac{5}{2} \sqrt{3}$ D、 $3 \sqrt{3}$

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6. 如图， $P A$ ， $P B$ 分别为 $⊙ O_{1}$ 的切线，切点为A，B，点C为弧 $A B$ 上一动点，过点C作 $⊙ O_{1}$ 的切线，分别交 $P A$ ， $P B$ 于点D，E，作 $△ P D E$ 的内切圆 $⊙ O_{2}$ ，若 $∠ P = 2 α$ ， $⊙ O_{1}$ 的半径为R， $⊙ O_{2}$ 的半径为r，则 $△ P D E$ 的面积是（）

A、 $R r s i n α$ B、 $\frac{R r}{s i n α}$ C、 $R r t a n α$ D、 $\frac{R r}{t a n α}$

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7. 如图，点E为 $Δ A B C$ 的内心，过点 $E$ 作 $M N ∥ B C$ 交 $A B$ 于点 $M$ ，交 $A C$ 于点 $N$ ，若 $A B = 7$ ， $A C = 5$ ， $B C = 6$ ，则MN的长为（）

A、3.5 B、4 C、5 D、5.5

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8. 如图，半径为2cm，圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上有一运动的点P，从点P向半径OA引垂线PH交OA于点H。设△OPH的内心为I，当点P在弧AB上从点A运动到点B时，内心I所经过的路径长为（）

A、 $\sqrt{2} π$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2} π$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{4} π$ D、π

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9. 如图， $Δ A B C$ 中， $A B = 8$ ， $A C = 6$ ， $∠ A = 90 °$ ，点 $D$ 在 $Δ A B C$ 内，且 $D B$ 平分 $∠ A B C$ ， $D C$ 平分 $∠ A C B$ ，过点D作直线 $P Q$ ，分别交 $A B$ 、 $A C$ 于点P、Q，若 $Δ A P Q$ 与 $Δ A B C$ 相似，则线段 $P Q$ 的长为（）

A、5 B、 $\frac{35}{6}$ C、5或 $\frac{35}{6}$ D、6

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10. 课本中有这样一句话：“利用勾股定理，可以作出 $\sqrt{2}$ ， $\sqrt{3}$ ， $\sqrt{5}$ ， …的线段（如图）.”记 $△ O A A_{1}$ ， $△ O A_{1} A_{2}$ ， …， $△ O A_{n - 1} A_{n}$ 的内切圆的半径分别为 $r_{1}$ ， $r_{2}$ ， …， $r_{n}$ ，若 $r_{1} + r_{2} + ⋯ + r_{n} = 10$ ，则n的值是（）

A、24 B、25 C、26 D、27

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二、填空题（每空4分，共24分）

11. 已知 $△ A B C$ 内接于⊙O，I是 $△ A B C$ 的内心，若 $∠ B I C = ∠ B O C$ ，则 $∠ B A C$ 的度数是.

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12. 如图，点I为的 $△ A B C$ 内心，连接 $A I$ 并延长交 $△ A B C$ 的外接圆于点D，点E为弦 $A C$ 的中点，连接 $C D$ ， $E I$ ， $I C$ ，当 $A I = 2 C D ， I C = 6 ， I D = 5$ 时， $c o s ∠ A I E =$ .

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13. 如题图所示，在 $△ A B C$ 中存在一面积为 $π$ 的内切圆，其圆心为点 $O$ ，连接 $A O$ ，若满足 $A B + A C = 2 a$ ， $B C = \frac{3}{2} a$ ， $t a n ∠ O A C = \frac{16}{a^{2}}$ ，则实数 $a$ 的值为．

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14. 如图上， $Δ A B C 中， ∠ C = 9 0^{∘} ， A C = 8 ， B C = 6 ，$ O为内心，过点O的直线分别与AC、AB相交于D、E，若DE=CD+BE，则线段CD的长为.

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15. 如图，已知 $⊙ O$ 的半径为2，弦 $A B = 2 \sqrt{3}$ ，点 $P$ 为优弧 $\hat{A P B}$ 上动点，点 $I$ 为 $△ P A B$ 的内心，当点 $P$ 从点 $A$ 向点 $B$ 运动时，点 $I$ 移动的路径长为.

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16. 如图，扇形AOB，且OB=4，∠AOB=90°，C为弧AB上任意一点，过C点作CD⊥OB于点D，设△ODC的内心为E，连接OE、CE，当点C从点B运动到点A时，内心E所经过的路径长为。

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三、解答题（共8题，共66分）

17. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $y = - \frac{3}{4} x + 6$ 的图象分别交x轴，y轴正半轴于点A，B， $⊙ P$ 内切于 $△ A B O$ ，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象经过点P，交直线 $A B$ 于点C，D（C在点D的左侧）.

(1)、求反比例函数的解析式；

(2)、过点C，D分别作x轴，y轴的平行线交于点E，求 $△ C D E$ 的面积.

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18. 如图，点E是 $△ A B C$ 的内心， $A E$ 的延长线和 $△ A B C$ 的外接圆相交于点D.

(1)、求证： $D E = D B$ ；

(2)、已知 $D E = 6$ ， $t a n ∠ D A C = \frac{3}{4}$ ，求该圆的半径的长度；

(3)、在（2）的条件下，若 $D F = 4$ ，求 $c o s ∠ O D A$ 的值.

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19. 如图，在矩形ABCD中， $A C$ 为矩形 $A B C D$ 对角线， $D G ⊥ A C$ 于点 $G$ ， $D G$ 的延长线交AB于点E，已知 $A D = 6$ ， $C D = 8$ .

(1)、求AE的长；

(2)、 $∠ A C D$ 的角平分线CF交AD于点F，求 $\tan ∠ D C F$ 的值；

(3)、若 $O_{1}$ 、 $O_{2}$ 分别是 $△ A D G$ 、 $△ D C G$ 的内心，求 $O_{1}$ 、 $O_{2}$ 两点间的距离.

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20. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=45°，BC=12cm，半圆O的直径DE=12cm.点E与点C重合，半圆O以2cm/s的速度从左向右移动，在运动过程中，点D、E始终在BC所在的直线上.设运动时间为x(s），半圆O与△ABC的重叠部分的面积为S(cm²).

(1)、当x=0时，设点M是半圆O上一点，点N是线段AB上一点，则MN的最大值为：MN的最小值为.

(2)、在平移过程中，当点O与BC的中点重合时，求半圆O与△ABC重叠部分的面积S；

(3)、当x为何值时，半圆O与△ABC的边所在的直线相切?

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21. 如图：

(1)、如图1， $⊙ A$ 的半径为2， $A B = 5$ ，点 $P$ 为 $⊙ A$ 上任意一点，则 $B P$ 的最小值为 .

(2)、如图2，已知矩形 $A B C D$ ，点 $E$ 为 $A B$ 上方一点，连接 $A E$ ， $B E$ ，作 $E F ⊥ A B$ 于点 $F$ ，点 $P$ 是 $△ B E F$ 的内心，求 $∠ B P E$ 的度数.

(3)、如图3，在（2）的条件下，连接 $A P$ ， $C P$ ，若矩形的边长 $A B = 6$ ， $B C = 4$ ， $B E = B A$ ，求此时 $C P$ 的最小值.

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22. 已知：△ABC内接于⊙O，∠BAC的角平分线AD交⊙O于点D.

(1)、如图①，以点D为圆心，DB长为半径作弧，交AD于点I.求证：点I是△ABC的内心；

(2)、如图②，在（1）的条件下，若AD与BC交于点E.求证： $\frac{D I}{D E} = \frac{C A}{C E}$ ；

(3)、探究：如图③，△ABC内接于⊙O，若BC＝8，∠BAC＝120°，求△ABC内切圆半径的最大值.

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23. 【阅读材料】已知，如图1，在面积为S的△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，内切圆O的半径为r，连接OA，OB，OC，△ABC被划分为三个小三角形．
∵S=S_△_OBC+S_△_OAC+S_△_OAB= $\frac{1}{2}$ BC•r+ $\frac{1}{2}$ AC•r+ $\frac{1}{2}$ AB•r= $\frac{1}{2}$ ar+ $\frac{1}{2}$ br+ $\frac{1}{2}$ cr= $\frac{1}{2}$ （a+b+c）r．
∴r= $\frac{2 S}{a + b + c}$ ．
（1）【类比推理】如图2，若面积为S的四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆），各边长分别为AB=a，BC=b，CD=c，AD=d，求四边形的内切圆半径r的值；
（2）【理解应用】如图3，在Rt△ABC中，内切圆O的半径为r，⊙O与△ABC各边分别相切于D、E和F，已知AD=3，BD=2，求r的值．

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24. 我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出了“三斜求积术”，三斜即指三角形的三条边长，可以用该方法求三角形面积．若改用现代数学语言表示，其形式为：设， $b$ ，为三角形三边， $S$ 为面积，则 $S = \sqrt{\frac{1}{4} [a^{2} b^{2} - {(\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2})}^{2}]}$ ①
这是中国古代数学的瑰宝之一．

而在文明古国古希腊，也有一个数学家海伦给出了求三角形面积的另一个公式，若设 $p = \frac{a + b + c}{2}$ （周长的一半），则 $S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ ②

(1)、尝试验证．这两个公式在表面上形式很不一致，请你用以5，7，8为三边构成的三角形，分别验证它们的面积值；

(2)、问题探究．经过验证，你发现公式①和②等价吗？若等价，请给出一个一般性推导过程（可以从① $\Rightarrow$ ②或者② $\Rightarrow$ ① $)$ ；

(3)、问题引申．三角形的面积是数学中非常重要的一个几何度量值，很多数学家给出了不同形式的计算公式．请你证明如下这个公式：如图， $Δ A B C$ 的内切圆半径为，三角形三边长为， $b$ ，仍记 $p = \frac{a + b + c}{2}$ ， $S$ 为三角形面积，则 $S = p r$ ．

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