（培优卷）2.1 直线与圆的位置关系-2023-2024年浙教版数学九年级下册同步测试

试卷更新日期：2023-09-10 类型：同步测试

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 已知 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 3$ 、 $B C = 4$ ．以C为圆心作 $⊙ C$ ，如果圆C与斜边 $A B$ 有两个公共点，那么圆C的半径长R的取值范围是（）

A、 $0 < R < \frac{12}{5}$ B、 $R < \frac{12}{5}$ C、 $\frac{12}{5} < R \leq 3$ D、 $\frac{12}{5} < R \leq 4$ ．

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2. 如图，点A的坐标是（−2，0），点C是以OA为直径的⊙B上的一动点，点A关于点C的对称点为点P.当点C在⊙B上运动时，所有这样的点P组成的图形与直线y=kx－3k（k＞0）有且只有一个公共点，则k的值为（）.

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{6 \sqrt{5}}{5}$

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3. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $O$ ， $A B = 5$ ， $B C = 12$ ．分别以点 $O$ 、 $D$ 为圆心画圆，如果 $⊙ O$ 与直线 $A D$ 相交、与直线 $C D$ 相离，且 $⊙ D$ 与 $⊙ O$ 内切，那么 $⊙ D$ 的半径长 $r$ 的取值范围是（）

A、 $\frac{1}{2} < r < 4$ B、 $\frac{5}{2} < r < 6$ C、 $9 < r < \frac{25}{2}$ D、 $9 < r < 13$

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4. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，点 $D$ 在斜边 $A B$ 上，以 $A D$ 为直径的半圆 $O$ 与 $B C$ 相切于点 $E$ ，与 $A C$ 相交于点 $F$ ，连接 $D E$ ．若 $A C = 8$ ， $B C = 6$ ，则 $D E$ 的长是（）

A、 $\frac{4 \sqrt{10}}{9}$ B、 $\frac{8 \sqrt{10}}{9}$ C、 $\frac{80}{27}$ D、 $\frac{8}{3}$

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5. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝18，AC＝24，点O在边AB上，且BO＝2OA ．以点O为圆心，r为半径作圆，如果⊙O与Rt△ABC的边有3个公共点，那么下列各值中，半径r不可以取的是（）

A、6 B、10 C、15 D、16

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6. 在平面直角坐标系中，点A（﹣4，0），点B（2，0），若点C在一次函数y=﹣ $\frac{1}{2} x + 2$ 的图象上，且△ABC为直角三角形，则满足条件的点C有（）

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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7. 以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆，若直线y=﹣x+b与⊙O相交，则b的取值范围是（）

A、0≤b＜2 $\sqrt{2}$ B、﹣2 C、﹣2 2 $\sqrt{3}$ D、﹣2 $\sqrt{2}$ ＜b＜2 $\sqrt{2}$

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8. 如图，在等腰 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 120 °$ ， BC= $6 \sqrt{3}$ ， $⊙ O$ 同时与边 $B A$ 的延长线、射线 $A C$ 相切， $⊙ O$ 的半径为3．将 $△ A B C$ 绕点 $A$ 按顺时针方向旋转 $α (0 ° < α \leq 360 °)$ ， $B$ 、 $C$ 的对应点分别为 $B^{'}$ 、 $C^{'}$ ，在旋转的过程中边 $B^{'} C^{'}$ 所在直线与 $⊙ O$ 相切的次数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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9. 如图，在 $R t Δ A B C$ 中， $∠ C = 9 0^{°}$ ， $A C = 4$ ， $B C = 3$ ，点O是AB的三等分点，半圆O与AC相切，M，N分别是BC与半圆弧上的动点，则MN的最小值和最大值之和是（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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10. 已知在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(3，4)，M是抛物线 $y = a x^{2} + b x + 2$ (a≠0)对称轴上的一个动点，小明经探究发现：当 $\frac{b}{a}$ 的值确定时，抛物线的对称轴上能使△AOM为直角三角形的点M的个数也随之确定．当 $\frac{b}{a}$ 满足（）时，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 2$ (a≠0)的对称轴上存在4个不同的点M，使△AOM为直角三角形.

A、 $0 < \frac{b}{a} < 2$ B、 $- 8 < \frac{b}{a} < 2$ C、 $- 3 \leq \frac{b}{a} < 0$ D、 $- 6 \leq \frac{b}{a} < 0$

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二、填空题（每题3分，共18分）

11. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，以O为圆心，2个单位长度为半径画圆.若一次函数 $y = k x + 5 k$ （k为常数， $k \neq 0$ ）的图象与 $⊙ O$ 有公共点，则k的取值范围是.

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12. 如图，已知射线 $B P ⊥ B A$ ，点 $O$ 从B点出发，以每秒1个单位长度沿射线 $B A$ 向右运动；同时射线 $B P$ 绕点 $B$ 顺时针旋转一周，当射线 $B P$ 停止运动时，点 $O$ 随之停止运动.以 $O$ 为圆心，1个单位长度为半径画圆，若运动两秒后，射线 $B P$ 与 $⊙ O$ 恰好有且只有一个公共点，则射线 $B P$ 旋转的速度为每秒度.

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13. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A D = C D = 2 \sqrt{3}$ ， $C B = A B = 6$ ， $∠ B A D = ∠ B C D = 90 °$ ，点 $E$ 在对角线 $B D$ 上运动， $⊙ O$ 为 $△ D C E$ 的外接圆，当 $⊙ O$ 与四边形 $A B C D$ 的一边相切时，其半径为.

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14. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $B C = 6$ ，点E是 $B C$ 的中点，连接 $A E$ ，点O是线段 $A E$ 上一点， $⊙ O$ 的半径为1，如果 $⊙ O$ 与矩形 $A B C D$ 的各边都没有公共点，那么线段 $A O$ 长的取值范围是．

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15. 图1是一款带毛刷的圆型扫地机器人，它的俯视图如图2所示， $⊙ O$ 的直径为40cm，毛刷的一端为固定点 $P$ ，另一端为点 $C$ ， $C P = 10 \sqrt{2} c m$ ，毛刷绕着点 $P$ 旋转形成的圆弧交 $⊙ O$ 于点A， $B$ ，且A， $P$ ， $B$ 三点在同一直线上.毛刷在旋转过程中，与 $⊙ O$ 交于点 $D$ ，则 $C D$ 的最大长度为cm.扫地机器人在遇到障碍物时会自转，毛刷碰到障碍物时可弯曲.如图3，当扫地机器人在清扫角度为60°的墙角（ $∠ Q = 60 °$ ）时，不能清扫到的面积（图中阴影部分）为 $c m^{2}$ .

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16. 如图1是一款便携式拉杆车，其侧面示意图如图2所示，前轮 $⊙ O$ 的直径为 $12 c m$ ，拖盘 $O E$ 与后轮 $⊙ O^{'}$ 相切于点N，手柄 $O F ⊥ O E$ ．侧面为矩形ABCD的货物置于拖盘上， $A B = 20 c m$ ， $B C = 52 c m$ ．如图3所示，倾斜一定角度拉车时，货物绕点B旋转，点C落在 $O F$ 上，若 $t a n ∠ A B E = \frac{1}{5}$ ，则 $O C$ 的长为 $c m$ ，同一时刻，点C离地面高度 $h = 56 c m$ ，则点A离地面高度为 $c m$ ．

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三、解答题（共8题，共72分）

17. 如图1，在 $⊙ O$ 中， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径，点 $C$ 为 $⊙ O$ 上一点， $A D$ 为 $∠ C A B$ 的平分线交 $⊙ O$ 于点 $D$ ，连接 $O D$ 交 $B C$ 于点 $E$ ．

(1)、求 $∠ B E D$ 的度数；

(2)、如图2，过点 $A$ 作 $⊙ O$ 的切线交 $B C$ 延长线于点 $F$ ，过点 $D$ 作 $D G ∥ A F$ 交 $A B$ 于点 $G$ ．若 $A D = 2 \sqrt{35} ， D E = 4$ ，求 $D G$ 的长．

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18. 如图，以 $A B$ 为直径的 $⊙ O$ 上有两点 $E$ 、 $F$ ， $\overset{⌢}{B E} = \overset{⌢}{E F}$ ，过点 $E$ 作直线 $C D ⊥ A F$ 交 $A F$ 的延长线于点 $D$ ，交 $A B$ 的延长线于点 $C$ ，过 $C$ 作 $C M$ 平分 $∠ A C D$ 交 $A E$ 于点 $M$ ，交 $B E$ 于点 $N$ ．

(1)、求证： $C D$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、求证： $E M = E N$ ；

(3)、如果 $N$ 是 $C M$ 的中点，且 $A B = 9 \sqrt{5}$ ，求 $E N$ 的长．

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19. 如图1，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD.

(1)、判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；

(2)、若tan∠ADC＝ $\frac{1}{2}$ ，AC＝2，求⊙O的半径；

(3)、如图2，在（2）的条件下，∠ADB的平分线DE交⊙O于点E，交AB于点F，连结BE.求sin∠DBE的值.

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20. 在平面直角坐标系xOy中，点P不在坐标轴上，点P关于x轴的对称点为P₁ ，点P关于y轴的对称点为P₂ ，称△P₁PP₂为点P的“关联三角形”．

(1)、已知点A(1，2)，求点A的“关联三角形”的面积；

(2)、如图，已知点B(m，n)，⊙T的圆心为T(2，2)，半径为2．若点B的“关联三角形”与⊙T有公共点，直接写出m的取值范围；

(3)、已知⊙O的半径为r，OP=2r，若点P的“关联三角形”与⊙O有四个公共点，直接写出∠PP₁P₂的取值范围．

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21. 如图，菱形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 、 $B D$ 相交于点 $O$ ， $A C = 12 c m$ ， $B D = 16 c m$ ，动点 $N$ 从点 $D$ 出发，沿线段 $B D$ 以 $2 c m / s$ 的速度向点 $B$ 运动，同时动点 $M$ 从点 $B$ 出发，沿线段 $B A$ 以 $1 c m / s$ 支向点 $A$ 运动，当其中一个动点停止时另一个动点也随之停止，设运动时间为 $t$ （单位： $s$ ）（ $t > 0$ ），以点 $M$ 为圆心， $M B$ 长为半径的⊙M与射线 $B A$ 、线段 $B D$ 分别交于点 $E$ 、 $F$ ，连接 $E N$ ．

(1)、求 $B F$ 的长（用含有 $t$ 的代数式表示），并求出 $t$ 的取值范围；

(2)、当 $t$ 为何值时，线段 $E N$ 与⊙M相切？

(3)、若⊙M与线段 $E N$ 只有一个公共点，求 $t$ 的取值范围．

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22. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ，以 $A B$ 为直径的 $⊙ O$ 与 $A C$ 交于点D，点 $E$ 是 $B C$ 的中点，连接 $B D$ ， $D E$ ．

(1)、求证： $D E$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $D E = 2$ ， $t a n ∠ B A C = \frac{1}{2}$ ，求 $A D$ 的长；

(3)、在（2）的条件下，点P是 $⊙ O$ 上一动点，求 $P A + P B$ 的最大值．

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23. 旋转的图形带来结论的奥秘.已知

△ A B C

，将

△ A B C

绕点

A

逆时针旋转得到

△ A B^{'} C^{'}

初步探索

素材1：

如图①，连接对应点 $B B^{'}$ ， $C C^{'}$ ，则 $\frac{B B^{'}}{C C^{'}} = \frac{A B}{A C}$ .

素材2：

如图②，以 $A$ 为圆心， $B C$ 边上的高 $A D$ 为半径作 $⊙ A$ ，则 $B^{'} C^{'}$ 与 $⊙ A$ 相切.

问题解决

（1）（ⅰ）请证明素材1所发现的结论.

（ⅱ）如图2，过点 $A$ 作 $A D^{'} ⊥ B^{'} C^{'}$ ，垂足为 $D^{'}$ .证明途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格.

深入研究

（2）在 $Rt △ A B C$ 满足 $∠ A = 90 °$ ， $A B = \sqrt{5}$ ， $A C = 2 \sqrt{5}$ $M$ 是 $A C$ 的中点， $△ A B C$ 绕点 $M$ 逆时针旋转得 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ .

（ⅰ）如图③，当边 $B^{'} C^{'}$ 恰好经过点 $C$ 时，连接 $B B^{'}$ ，则 $B B^{'}$ 的长为▲ .

（ⅱ）若一时边 $B^{'} C^{'}$ 所在直线恰好经过点 $B$ ，于图④中利用无刻度的直尺和圆规作出直线.（只保留作图痕迹）

（3）在（2）的条件下，如图⑤，在旋转过程中，直线 $B B^{'}$ ， $C C^{'}$ 交于点 $P$ ，求 $B P$ 的最大值为▲ .

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24. 【问题情景】
含 $30 °$ 角的直角三角板 $A B C$ 中 $∠ A = 30 °$ ．将其绕直角顶点C顺时针旋转α角 $(0 ° < α < 90 °)$ ，得到 $R t △ A^{'} B^{'} C$ ，边 $A^{'} C$ 与边AB交于点D．

(1)、如图1，若 $A^{'} B^{'}$ 边经过点B，则α的度数为°；

(2)、【探究发现】
如图2是旋转过程的一个位置，过点D作 $D E ∥ A^{'} B^{'}$ 交 $C B^{'}$ 边于点E，连接 $B E$ ，小明发现在三角板旋转的过程中， $∠ C B E$ 度数是定值，求 $∠ C B E$ 的度数；

(3)、【拓展延伸】
在（2）的条件下，设 $B C = 1$ ， $△ B D E$ 的面积为S，当 $S = \frac{1}{3} S_{△ A B C}$ 时，

①求 $A D$ 的长；

②以点E为圆心， $B E$ 为半径作 $⊙ E$ ，并判断此时直线 $A^{'} C$ 与 $⊙ E$ 的位置关系．

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