（B卷）第一章解直角三角形-2023-2024年浙教版数学九年级下册单元测试

试卷更新日期：2023-09-10 类型：单元试卷

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，下列等式不一定成立的（）

A、a＝csinA B、a＝btanA C、 $c = \frac{b}{\cos B}$ D、sin²A+sin²B＝1

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2. 如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C均在网格交点上，⊙O是△ABC的外接圆，则sin∠BAC的值为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$

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3. 如图，⊙O是以坐标原点O为圆心， $4 \sqrt{2}$ 为半径的圆，点P的坐标为（2，2），弦AB经过点P，则图中阴影部分面积的最小值为（）

A、8π B、 $\frac{32}{3} π$ C、8π﹣16 D、 $\frac{32}{3} π - 8 \sqrt{3}$

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4. 用计算器求sin24°37′18″的值，以下按键顺序正确的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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5. 如图，AC，BC是两个半圆的直径，∠ACP=30°，若AB=2a，则 PQ的值为（）

A、a B、1.5a C、 $\sqrt{3} a$ D、 $2 \sqrt{3} a$

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6. 某路灯示意图如图所示，它是轴对称图形.若 $∠ A C B = 130 °$ ， $A C = B C = 1.2 m$ ， $C D$ 与地面垂直且 $C D = 3 m$ ，则灯顶A到地面的高度为（）m

A、 $3 + 1.2 c o s 25 °$ B、 $3 + 1.2 s i n 25 °$ C、 $3 + \frac{1.2}{c o s 25 °}$ D、 $3 + \frac{1.2}{s i n 25 °}$

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7. 消防云梯如图所示，AB⊥BC于B，当C点刚好在A点的正上方时，DF的长是.（）

A、 $a c o s θ + b s i n θ$ B、 $a c o s θ + b t a n θ$ C、 $\frac{a}{c o s θ} + b s i n θ$ D、 $\frac{a}{c o s θ} + \frac{b}{s i n θ}$

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8. 图1是某公园的一个滑梯，图2是其示意图.滑梯的高BC为2m，坡角∠A为60°，由于滑梯坡角过大存在安全隐忠，公园管理局决定对滑梯进行整改，要在高度不变的前提下，通过加长滑梯的水平距离AB，使得坡角∠A满足30°≤∠A≤45°，则AB加长的距离可以是（）
（参考数据： $\sqrt{2}$ ≈1.414， $\sqrt{3}$ ≈1.732）

A、0.8m B、1.6m C、2.4m D、3.2m

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9. 如图1，以 $R t △ A B C$ 的各边为边向外作等边三角形，编号分别为①，②，③．如图2，将①，②叠放在③中，若四边形 $E G H F$ 与 $G D C H$ 的面积之比是 $\frac{161}{64}$ ，则 $s i n ∠ A B C$ 的值是（）

A、 $\frac{8}{17}$ B、 $\frac{8}{15}$ C、 $\frac{5}{13}$ D、 $\frac{3}{5}$

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10. 如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC=12cm，BD=16cm，动点N从点D出发，沿线段DB以2cm/s的速度向点B运动，同时动点M从点B出发，沿线段BA以1cm/s的速度向点A运动，当其中一个动点停止运动时另一个动点也随之停止，设运动时间为t（s）（t＞0），以点M为圆心，MB长为半径的⊙M与射线BA，线段BD分别交于点E，F，连接EN．若⊙M与线段EN只有一个公共点，则t的取值范围为（）

A、0＜t≤ $\frac{22}{7}$ 或 $\frac{32}{9}$ ＜t＜6 B、0＜t≤ $\frac{32}{9}$ 或 $\frac{40}{9}$ ＜t＜8 C、0＜t≤ $\frac{29}{7}$ 或 $\frac{32}{9}$ ＜t＜6 D、0＜t≤ $\frac{29}{7}$ 或 $\frac{40}{9}$ ＜t＜8

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二、填空题（每题3分，共18分）

11. 如图1是一款手机支架，水平放置时，它的侧面示意图如图2所示，其中线段 $A B$ ， $B C$ ， $C D$ ， $D E$ 是支撑杆且 $∠ C D E = 90 °$ ， $∠ B$ ， $∠ C$ 可以自由调节大小 $.$ 已知 $A B + B C = 18 c m$ ， $C D = 6 c m$ ，当 $∠ B = ∠ C = 60 °$ 时，点 $D$ 恰好在点 $A$ 的正上方，则线段 $A B =$ $c m$ ；如图3，保持 $∠ B$ 不变，旋转 $C D$ 至 $C D'$ ，使点 $A$ ， $D'$ ， $E'$ 恰好在一条直线上，则此时点 $D$ 到点 $D'$ 上升的竖直高度为 $c m$ .

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12. 如图，半径为6cm的⊙O中，C，D为直径AB的三等分点，点E，F分别在AB两侧的半圆上，∠BCE=∠BDF=60°，连结AE，BF，则图中两个阴影部分的面积为cm²

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13. 如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的负半轴上，tan∠ABO=3，以AB为边向上作正方形ABCD．若图象经过点C的反比例函数的解析式是y= $\frac{1}{x}$ ，则图象经过点D的反比例函数的解析式是．

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14. 如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地而上的点M在旋转中心O的正下方。某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片 OA、OB ，此时各叶片影子在点M右侧成线段 CD ，测得MC=8.5m，CD=13m，垂直于地面的木棒 EF 与影子 FG 的比为2∶3，则点O，M之间的距离等于米．转动时，叶片外端离地面的最大高度等于米．

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15. 如图，为了配合疫情工作，浦江某学校门口安装了体温监测仪器，体温检测有效识别区域AB长为6米，当身高为1.5米的学生进入识别区域时，在点B处测得摄像头M的仰角为 $30 °$ ，当学生刚好离开识别区域时，在点A处测得摄像头M的仰角为 $60 °$ ，则学校大门ME的高是米.

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16. 如图，某轮船以每小时30海里的速度向正东方向航行，上午8：00，测得小岛C在轮船A的北偏东45°方向上；上午10：00，测得小岛C在轮船B的北偏西30°方向上，则轮船在航行中离小岛最近的距离约为米(精确到1米，参考数据 $\sqrt{2}$ ≈1.414， $\sqrt{3}$ ≈1.732)。

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三、解答题（共9题，共72分）

17. 设a、b、c是直角三角形的三边，c为斜边，n为正整数，试判断aⁿ+bⁿ与cⁿ的关系，并证明你的结论．

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18. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A E ⊥ B D$ 于点 $E$ ，交 $B C$ 边于点 $F$ ． $A G$ 平分 $∠ D A F$ 交 $B D$ 于点 $G$ ，并经过 $C D$ 边的中点 $H$ ．

(1)、求证： $B G = A B$ ．

(2)、求 $t a n ∠ H F C$ 的值．

(3)、若 $C F = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，试在 $B D$ 上找一点 $M$ （不与 $B$ ， $D$ 重合），使直线 $M C$ 经过四边形 $D E F H$ 一边的中点，求所有满足条件的 $B M$ 的值．

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19. 图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头A的仰角、俯角均为15°，摄像头高度 $O A = 160 c m$ ，识别的最远水平距离 $O B = 150 c m$ 。

(1)、身高 $208 c m$ 的小杜，头部高度为 $26 c m$ ，他站在离摄像头水平距离 $130 c m$ 的点C处，请问小杜最少需要下蹲多少厘米才能被识别。

(2)、身高 $120 c m$ 的小若，头部高度为 $15 c m$ ，踮起脚尖可以增高 $3 c m$ ，但仍无法被识别．社区及时将摄像头的仰角、俯角都调整为 $20 °$ （如图3），此时小若能被识别吗？请计算说明。
（精确到 $0 ． 1 c m$ ，参考数据 $s i n 15 ° \approx 0 ， 26 ， c o s 15 ° \approx 0.97 ， t a n 15 ° \approx 0.27 ， s i n 20 ° \approx 0.34 ， c o s 20 ° \approx 0.94 ， t a n 20 ° \approx 0.36$ ）

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20. 如图

(1)、【问题发现】如图1，P是半径为2的⊙O上一点，直线m是⊙O外一直线，圆心O到直线m的距离为3，PQ⊥m于点Q，则PQ的最大值为；

(2)、【问题探究】如图2，将两个含有30°角的直角三角板的60°角的顶点重合（其中∠A= $∠ A^{^{'}}$ =30°，∠C=∠C'=90°），绕点B旋转 $△ C^{'} A^{'} B$ ，当旋转至CC′=4时，求 $A A^{'}$ 的长；

(3)、【问题解决】如图3，点O为等腰Rt $△$ ABC的斜边AB的中点，AC=BC=5 $\sqrt{2}$ ， OE=2，连接BE，作Rt $△$ BEF，其中∠BEF=90°，tan∠EBF= $\frac{3}{4}$ ，连接AF，求四边形ACBF的面积的最大值．

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21. 足球射门时，在不考虑其他因素的条件下，射点到球门AB的张角越大，射门越好.当张角达到最大值时，我们称该射点为最佳射门点.通过研究发现，如图1所示，运动员带球在直线CD上行进时，当存在一点Q，使得 $∠ C Q A = ∠ A B Q$ （此时也有 $∠ D Q B = ∠ Q A B$ ）时，恰好能使球门AB的张角 $∠ A Q B$ 达到最大值，故可以称点Q为直线CD上的最佳射门点.

(1)、如图2所示，AB为球门，当运动员带球沿CD行进时， $Q_{1}$ ， $Q_{2}$ ， $Q_{3}$ 为其中的三个射门点，则在这三个射门点中，最佳射门点为点；

(2)、如图3所示，是一个矩形形状的足球场，AB为球门， $C D ⊥ A B$ 于点D， $A B = 3 a$ ， $B D = a$ .某球员沿CD向球门AB进攻，设最佳射门点为点Q.
①用含a的代数式表示DQ的长度并求出 $t a n ∠ A Q B$ 的值；

②已知对方守门员伸开双臂后，可成功防守的范围为 $\frac{\sqrt{5}}{4} a$ ，若此时守门员站在张角 $∠ A Q B$ 内，双臂张开MN垂直于AQ进行防守，求MN中点与AB的距离至少为多少时才能确保防守成功.（结果用含a的代数式表示）

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22. 如图

(1)、【基础巩固】如图1， $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 都是等边三形，点B、D、E在同条直线上， $A C$ 与 $B E$ 交于点F.求证： $△ A D F ∽ △ C E F$ .

(2)、【尝试应用】
如图2，在（1）的条件下，若 $E F = 2 D F = 4$ ，求 $C F$ 的长度.

(3)、【拓展提高】
如图3，在平行四边形ABCD中， $∠ B A G = ∠ E A D = ∠ E D A = 60 °$ ， $B E = 3$ ， $F D = 2$ ，求 $t a n ∠ B A E$ 的值.

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23. 【证明体验】

(1)、如图1，正方形 $A B C D$ 中， $E$ ， $F$ 分别是边 $A B$ 和对角线 $A C$ 上的点， $∠ E D F = 45 °$ ， $B E = \sqrt{2} C F$ ．求证： $△ D B E ∽ △ D C F$ ．

(2)、【思考探究】
如图2，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 6$ ， $B C = 8$ ， $E$ ， $F$ 分别是边 $A B$ 和对角线 $A C$ 上的点， $t a n ∠ E D F = \frac{4}{3}$ ， $B E = 5$ ，求 $C F$ 的长．

(3)、【拓展延伸】
如图3，菱形 $A B C D$ 中， $B C = 5$ ，对角线 $A C = 6$ ， $B H ⊥ A D$ 交 $D A$ 的延长线于点 $H$ ， $E$ ， $F$ 分别是线段 $H B$ 和 $A C$ 上的点， $t a n ∠ E D F = \frac{3}{4}$ ， $C F = 1$ ，求BE的长．

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24. 如图

(1)、【问题背景】如图1，等腰△ABC，AB=AC，∠BAC=120°则 $\frac{B C}{A B}$ = .

(2)、【迁移应用】如图2，△ABC和△ABE都是等腰三角形，∠BAC=∠DAE=120°，D，E，C三点在同-条直线上，连结BD．求线段AD，BD，CD之间的数量关系式；

(3)、【拓展延伸】如图3，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，在∠ABC内作射线BM，作点C关于BM的对称点E，连结AE并延长交BM于点F，连结CE， CF．若AE=4，CE=1．求BF的长.

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25. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ A = ∠ B = 9 0^{°}$ ，点 $E ， F$ 分别在边 $A B$ 和边 $B C$ 上， $A E = B F = 3 ， D E = E F = C F$ .点 $H$ 在 $A D$ 上从点 $A$ 匀速运动到点 $D$ 时，点 $I$ 恰好从 $D E$ 上某一点匀速运动到点 $E$ ，记 $E I = x ， A H = y$ ，已知 $y = 4 - x$ .

(1)、求证： $D E ⊥ E F$ .

(2)、求 $B C$ 的长与 $t a n ∠ D E C$ 的值.

(3)、连结 $H I$ .
①当直线 $H I$ 与 $△ B C E$ 一边垂直时，求所有满足条件的 $A H$ 的值.
②线段 $H I$ 绕点 $I$ 顺时针旋转 $9 0^{°}$ 得到线段 $J I$ ，当点 $J$ 恰好落在 $E C$ 上时，求 $△ H I D$ 和 $△ I E J$ 的面积比.

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（B卷）第一章 解直角三角形-2023-2024年浙教版数学九年级下册单元测试

一、选择题（每题3分，共30分）

二、填空题（每题3分，共18分）

三、解答题（共9题，共72分）

（B卷）第一章解直角三角形-2023-2024年浙教版数学九年级下册单元测试