（A卷）第一章解直角三角形-2023-2024年浙教版数学九年级下册单元测试

试卷更新日期：2023-09-10 类型：单元试卷

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 9 0^{∘}$ ， $∠ B = 3 5^{∘}$ ， $A B = 7$ ，则 $B C$ 的长为（）

A、 $7 s i n 3 5^{∘}$ B、 $7 c o s 3 5^{∘}$ C、 $7 t a n 3 5^{∘}$ D、 $\frac{7}{c o s 3 5^{∘}}$

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2. 计算 $s i n 30 °$ 的值是（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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3. 在RtΔABC中，若∠C=90°，cosA= $\frac{3}{5}$ ，则sinA的值为（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{5}{4}$

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4. 已知 $α$ 是锐角， $s i n α = c o s 30 °$ ，则 $α$ 的值为（）

A、30° B、60° C、45° D、无法确定

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5. 已知 $tan A = 1.5$ ，则 $∠ A$ 的度数所属范围是（）

A、 B、 $45^{\circ} < ∠ A < 60^{\circ}$ C、 $60^{\circ} < ∠ A < 75^{\circ}$ D、 $75^{\circ} < ∠ A < 90^{\circ}$

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6. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=26°，BC=5．若用科学计算器求边AC的长，则下列按键顺序正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 如图，一把梯子 $A B$ 靠在垂直水平地面的墙上，梯子底端A到墙面的距离 $A C$ 为6米，若梯子与地面的夹角为α，则梯子 $A B$ 的长为（）

A、 $6 s i n α$ 米 B、 $6 c o s α$ 米 C、 $\frac{6}{s i n α}$ 米 D、 $\frac{6}{c o s α}$ 米

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8. 如图，圆规两脚 $O A ， O B$ 张开的角度 $∠ A O B$ 为α， $O A = O B = 10$ ，则两脚张开的距离 $A B$ 为（　　）

A、 $10 s i n α$ B、 $10 c o s α$ C、 $20 s i n \frac{a}{2}$ D、 $20 c o s \frac{a}{2}$

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9. 如图，某超市电梯的截面图中， $A B$ 的长为15米， $A B$ 与 $A C$ 的夹角为 $α$ ，则高 $B C$ 是（）

A、 $15 s i n α$ 米 B、 $15 c o s α$ 米 C、 $\frac{15}{s i n α}$ 米 D、 $\frac{15}{c o s α}$ 米

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10. 如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形 $A B C D$ ， $D C ∥ A B$ ． $B C$ 长6米，坡度为 $1 ： 1$ ， $A D$ 的坡度为 $1 ： \sqrt{3}$ ，则 $A D$ 长为（）米

A、 $6 \sqrt{2}$ B、 $8 \sqrt{2}$ C、 $6 \sqrt{3}$ D、 $8 \sqrt{3}$

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二、填空题（每空3分，共18分）

11. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，点D为 $A B$ 边的中点，连接 $C D$ ，若 $B C = 3 ， C D = 2$ ，则 $c o s B$ 的值是.

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12. 已知 $α$ 为锐角， $\cot α = 2 \sin 60 °$ ，那么 $α =$ 度．

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13. α是锐角，若sinα＝cos15°，则α＝°.

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14. 若 $α$ 为锐角，且 $\sin^{2} α + \cos^{2} 26 ° = 1$ ，则 $α =$ °.

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15. 比较大小：sin35°cos45°.

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16. 某校九年级的一位同学，想利用刚刚学过的三角函数知识测量新教学楼的高度，如图，她在A处测得新教学楼房顶B点的仰角为45°，走6米到C处再测得B点的仰角为55°，已知O、A、C在同一条直线上，则新教学楼的高度OB是米.（结果根据“四舍五入”法保留小数点后两位）（参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43）

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三、解答题（共9题，共72分）

17. 计算： $t a n 60 ° + s i n 30 ° - t a n 45 ° \cdot c o s 30 °$ .

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18. 先化简，再求值： $\frac{x}{x^{2} - 1} \div (1 - \frac{1}{x + 1})$ ，其中 $x = \sqrt{2} s i n 45 ° + 2 t a n 60 °$ .

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19. 如图，已知 $△ A B C$ 中， $A B = 12$ ， $∠ B = 30 °$ ， $\tan C = \frac{24}{7}$ ，边 $A B$ 的垂直平分线分别交 $A B$ 、 $B C$ 于点D、E．求线段 $C E$ 的长．

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20. 如图所示，在△ABC中， $∠ C = 90 °$ ， D为 $B C$ 上一点，若 $∠ A D C = 45 °$ ， $B D = 2 C D$ ，求 $t a n B$ 和 $s i n ∠ B A D$ 的值.

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21. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 9 0^{∘}$ ， $A D$ 平分 $∠ B A C$ 交 $B C$ 边于点D， $D E ⊥ A B$ 于点E，若 $B D = 5$ ， $c o s B = \frac{4}{5}$ ，求 $A C$ 的长．

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22.
已知如图，A，B，C，D四点的坐标分别是（3，0），（0，4），（12，0），（0，9），探索∠OBA和∠OCD的大小关系，并说明理由．

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23. 学习过三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化.类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（ $s a d$ ）.如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，顶角A的正对记作 $s a d A$ ，这时 $s a d A = \frac{底边}{腰} = \frac{B C}{A B}$ .容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的.根据上述对角的正对定义，解下列问题：

(1)、 $s a d 60 °$ 的值为（）.

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、2

(2)、对于 $0 ° < A < 180 °$ ， $∠ A$ 的正对值 $s a d A$ 的取值范围是.

(3)、已知 $\sin α = \frac{3}{5}$ ，其中α为锐角，试求 $s a d α$ 的值.

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24. 脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活.如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高 $A B$ 所在的直线.为了测量房屋的高度，在地面上 $C$ 点测得屋顶 $A$ 的仰角为 $35 °$ ，此时地面上 $C$ 点、屋檐上 $E$ 点、屋顶上 $A$ 点三点恰好共线，继续向房屋方向走 $8 m$ 到达点 $D$ 时，又测得屋檐 $E$ 点的仰角为 $60 °$ ，房屋的顶层横梁 $E F = 12 m$ ， $E F / / C B$ ， $A B$ 交 $E F$ 于点 $G$ （点 $C$ ， $D$ ， $B$ 在同一水平线上）.（参考数据： $s i n 35 ° \approx 0.6$ ， $c o s 35 ° \approx 0.8$ ， $t a n 35 ° \approx 0.7$ ， $\sqrt{3} \approx 1.7$ ）

(1)、求屋顶到横梁的距离 $A G$ ；

(2)、求房屋的高 $A B$ （结果精确到1m）.

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25. 如图，笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，A在B的正东方向.有一艘渔船在点P处，从A处测得渔船在北偏西 $60 °$ 的方向，从B处测得渔船在其东北方向，且测得B、P两点之间的距离为20海里.

(1)、求观测站A、B之间的距离（结果保留根号）；

(2)、渔船从点P处沿射线 $A P$ 的方向航行一段时间后，到点C处等待补给，此时，从B测得渔船在北偏西 $15 °$ 的方向.在渔船到达C处的同时，一艘补给船从点B出发，以每小时20海里的速度前往C处，请问补给船能否在83分钟之内到达C处？（参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）

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（A卷）第一章 解直角三角形-2023-2024年浙教版数学九年级下册单元测试

一、选择题（每题3分，共30分）

二、填空题（每空3分，共18分）

三、解答题（共9题，共72分）

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