（提升卷）1.3解直角三角形-2023-2024年浙教版数学九年级下册同步测试

试卷更新日期：2023-09-10 类型：同步测试

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 如图，若△ABC底边BC上的高为h₁ ， △DEF底边EF上的高为h₂ ，则h₁与h₂的大小关系是（）

A、h₁=h₂ B、h₁<h₂ C、h₁>h₂ D、以上都有可能

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2. 图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC .若 AB=BC=1，∠AOB=α，则 OC²的值为（）

A、 $\sin^{2} α + 1$ B、 $\frac{1}{\sin^{2} α} + 1$ C、 $\cos^{2} α + 1$ D、 $\frac{1}{\cos^{2} α} + 1$

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3. 如图是一段索道的示意图. 若 $A B = 1000$ 米， $∠ B A C = a$ ，则洗车从 $A$ 点到 $B$ 点上升的高度 $B C$ 的长为（）

A、 $1000 sin a$ 米 B、 $\frac{1000}{sin α}$ 米 C、 $1000 cos α$ 米 D、 $\frac{1000}{cos α}$ 米

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4. 如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，以点A为圆心，OA的长为半径作 $\overset{⌢}{O C}$ 交 $\overset{⌢}{A B}$ 于点C，若OA＝2，则阴影部分的面积为（）

A、 $\frac{2}{3} π - \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{3} - \frac{1}{3} π$ C、 $\frac{1}{3} π$ D、 $\sqrt{3} + \frac{1}{3} π$

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5. 如图，在Rt $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 9 0^{°} ， A C = 4 ， t a n A = \frac{3}{4}$ .以点 $C$ 为圆心，CB长为半径的圆交AB于点 $D$ ，则AD的长是（）

A、1 B、 $\frac{7}{5}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、2

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6. 我国伟大的数学家刘徽于公元263年攥《九章算术注》中指出，“周三径一”不是圆周率值，实际上是圆内接正六边形周长和直径的比值（图1）.刘徽发现，圆内接正多边形边数无限增加时，多边形的周长就无限逼近圆周长，从而创立“割圆术”，为计算圆周率建立起相当严密的理论和完善的算法.如图2，六边形ABCDEF是圆内接正六边形，把每段弧二等分，作出一个圆内接正十二边形，连结AG，CF，AG交CF于点P，AP=2 $\sqrt{6}$ ，则 $\frac{A P}{C P}$ =（）

A、2 B、 $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3} - 1}$ C、 $\frac{2 \sqrt{6}}{\sqrt{2} + 1}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3 - \sqrt{3}}$

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7. 图1是一种落地晾衣架，晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示， $A B$ 和 $C D$ 分别是两根不同长度的支撑杆，其中两支脚 $O D = O B = 50 c m$ ，展开角 $∠ B O D = 7 0^{°}$ ，晾衣臂 $A O = 80 c m$ ，则支樟杆的端点 $A$ 离地面的高度 $A E$ 为（）

A、 $130 t a n 5 5^{°} c m$ B、 $130 s i n 5 5^{°} c m$ C、 $\frac{130}{t a n 5 5^{°}} c m$ D、 $\frac{130}{s i n 5 5^{°}} c m$

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8. 如图，某校教学楼 $A B$ 与 $C D$ 的水平间距 $B D = a m$ ，在教学楼 $C D$ 的顶部 $C$ 点测得教学楼 $A B$ 的顶部 $A$ 点的仰角为 $α$ ，测得教学楼 $A B$ 的底部 $B$ 点的俯角为 $β$ ，则教学楼 $A B$ 的高度是（）

A、 $(a t a n α + a t a n β) m$ B、 $(\frac{a}{t a n α} + \frac{a}{t a n β}) m$ C、 $(a s i n α + a s i n β) m$ D、 $(a c o s α + a c o s β) m$

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9.
如图，点O为小亮家的位置，他家门前有一条东西走向的公路，水塔A位于他家北偏东60°的500米处，那么水塔所在的位置到公路的距离是（　　）

A、250米 B、250 $\sqrt{3}$ C、150 $\sqrt{3}$ D、250 $\sqrt{2}$

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10. 图1是一块矩形材料 $A B C D$ ，被分割成三块， $∠ A E B = 30 °$ ， $G F ⊥ A D$ ，将三块材料无缝隙不重叠地拼成图2的形状，此时图2恰好是轴对称图形，则 $\frac{A B}{B C} = ($ $)$

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{3 - \sqrt{3}}{2}$ D、 $2 \sqrt{3} - 3$

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二、填空题（每空4分，共24分）

11. 小明沿着坡比为1：2的山坡向上走了10m，则他升高了cm。

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12. 如图，小明家附近有一观光塔CD，他发现当光线角度变化时，观光塔的影子在地面上的长度也发生变化.经测量发现，当小明站在点A处时，塔顶D的仰角为37°，他往前再走5米到达点B（点A，B，C在同一直线上），塔顶D的仰角为53°，则观光塔CD的高度约为 .（精确到0.1米，参考数值：tan37°≈ $\frac{3}{4}$ ，tan53°≈ $\frac{4}{3}$ ）

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13. 如图，A位于学校主教学楼P南偏东45°方向，且距离教学楼60米，小明同学从这里出发沿着正北方向走了一段时间后，到达位于主教学楼北偏东30°方向的综合楼B处，此时小明同学一共走的距离为米．

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14. 如图，以C为公共顶点的 $R t △ A B C$ 和 $R t △ C E D$ 中， $∠ A C B = ∠ C D E = 90 °$ ， $∠ A = ∠ D C E = 30 °$ ，且点D在线段 $A B$ 上，则 $∠ A B E =$ ，若 $A C = 10 ， C D = 9$ ，则 $B E =$ .

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15. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC<BC，CD平分∠ACB交AB于点D，以DB为直径作⊙O，分别交CD，BC于点E，F，连结BE，EF．则∠EBF=度；若DE=DC， BC=8，则EF的长为

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16. 图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线 $B - A - O$ 表示固定支架， $A O$ 垂直水平桌面 $O E$ 于点 $O$ ，点 $B$ 为旋转点， $B C$ 可转动，当 $B C$ 绕点 $B$ 顺时针旋转时，投影探头 $C D$ 始终垂直于水平桌面 $O E$ ，经测量： $A O = 6.8 c m$ ， $C D = 8 c m$ ， $A B = 30 c m$ ， $B C = 35 c m$ .如图 $2$ ， $∠ A B C = 70 °$ ， $B C ∥ O E$ .则投影探头的端点 $D$ 到桌面 $O E$ 的距离为 $c m$ .如图3，将图2中的 $B C$ 向下旋转，当投影探头的端点 $D$ 到桌面 $O E$ 的距离为 $6 c m$ 时，则 $∠ A B C$ 的大小为度.（参考数据： $s i n 70 ° \approx 0.94$ ， $c o s 20 ° \approx 0.94$ ， $s i n 36.8 ° \approx 0.60$ ， $c o s 53.2 ° \approx 0.60$ ）

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三、解答题（共8题，共66分）

17. 如图，在△ABC中，CD是边AB上的中线，∠B是锐角，sinB＝ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ， tanA＝ $\frac{1}{2}$ ， AC＝ $\sqrt{5}$ ．

(1)、求∠B的度数和AB的长．

(2)、求tan∠CDB的值．

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18. 共享单车为大众出行提供了方便，图1为单车实物图，图2为单车示意图，AB与地面平行，点A、B、D共线，点D、F、G共线，坐垫C可沿射线BE方向调节.已知∠ABE＝70°，∠EAB＝45°，车轮半径为30cm，BE＝40cm.小明体验后觉得当坐垫C离地面高度为90cm时骑着比较舒适，求此时CE的长.（结果精确到1cm）（参考数据： $\sin 70 ° \approx 0.94$ ， $\cos 70 ° \approx 0.34$ ， $\tan 70 ° \approx 2.75$ ， $\sqrt{2} \approx 1.41$ ）

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19. 长嘴壶茶艺表演是一项深受群众喜爱的民俗文化，是我国茶文化的一部分，所用到的长嘴壶更是历史悠久，源远流长.图①是现今使用的某款长嘴壶放置在水平桌面上的照片，图②是其抽象示意图，l是水平桌面，测得壶身AD=BC=3AE=24cm，AB=30cm，CD=22cm，且CD∥AB.壶嘴EF=80cm，∠FED=70°

(1)、求FE与水平桌面l的夹角

(2)、如图③，若长嘴壶中装有若干茶水，绕点A转动壶身，当恰好倒出茶水时，EF∥l，求此时点F下落的高度.（结果保留一位小数）.
参考数据：sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，tan80°≈5.67，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75.

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20. 小华将一张纸对折后做成的纸飞机如图1，纸飞机机尾的横截面是一个轴对称图形，其示意图如图2.已知 $A D = B E = 10 c m$ ， $C D = C E = 5 c m$ ， $A D ⊥ C D$ ， $B E ⊥ C E$ ， $∠ D C E = 40 °$ .（结果精确到0.1 $c m$ ，参考数据： $s i n 20 ° \approx 0.34$ ， $c o s 20 ° \approx 0.94$ ， $t a n 20 ° \approx 0.36$ ， $s i n 40 ° \approx 0.64$ ， $c o s 40 ° \approx 0.77$ ， $t a n 40 ° \approx 0.84$ ）

(1)、连结 $D E$ ，求线段 $D E$ 的长.

(2)、求点A，B之间的距离.

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21. 如图，有一段斜坡 $B C$ 长为10米，坡角 $∠ C B D = 12 °$ ，为方便残疾人的轮椅车通行，现准备把坡角降为 $5 °$ .

(1)、求坡高 $C D$ ；

(2)、求斜坡新起点 $A$ 与原起点 $B$ 的距离 $($ 精确到0.1米 $)$ .
$($ 参考数据： $s i n 12 ° \approx 0.21$ ， $c o s 12 ° \approx 0.98$ ， $t a n 5 ° \approx 0.09)$

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22. 如图，在河流两边有甲、乙两座山，现在从甲山 $A$ 处的位置向乙山 $B$ 处拉电线.已知甲山上 $A$ 点到河边 $C$ 的距离 $A C = 130$ 米，点 $A$ 到 $C D$ 的垂直高度为120米；乙山 $B D$ 的坡比为 $4 ： 3$ ，乙山上 $B$ 点到河边 $D$ 的距离 $B D = 450$ 米，从 $B$ 处看 $A$ 处的俯角为25°（参考值： $s i n 25 ° \approx 0.423$ ， $c o s 25 ° \approx 0.906$ ， $t a n 25 ° \approx 0.466$ ）

(1)、求乙山 $B$ 处到河边 $C D$ 的垂直距离；

(2)、求河 $C D$ 的宽度.（结果保留整数）

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23. 如图，在一片海域中有三个岛屿，标记为 $A$ ， $B$ ， $C$ .经过测量岛屿 $B$ 在岛屿 $A$ 的北偏东 $65 °$ ，岛屿 $C$ 在岛屿 $A$ 的南偏东 $85 °$ ，岛屿 $C$ 在岛屿 $B$ 的南偏东 $70 °$ .

(1)、直接写出 $△ A B C$ 的三个内角度数；

(2)、小明测得较近两个岛屿 $A B = 10 km$ ，求 $B C$ 、 $A C$ 的长度（最终结果保留根号，不用三角函数表示）.

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24. 定义：若两个三角形中，有两组边对应相等且其中一组等边所对的角对应相等，但不是全等三角形，我们就称这两个三角形为偏等三角形．

(1)、如图1，点C是 $\overset{⌢}{B D}$ 的中点，∠DAB是 $\overset{⌢}{B D}$ 所对的圆周角，AD＞AB，连结AC、DC、CB，试说明△ACB与△ACD是偏等三角形．

(2)、如图2，△ABC与△DEF是偏等三角形，其中∠A＝∠D，AC＝DF，BC＝EF，则∠B+∠E＝.请填写结论，并说明理由．

(3)、如图3，△ABC内接于⊙O，AC＝4，∠A＝30°，∠B＝105°，若点D在⊙O上，且△ADC与△ABC是偏等三角形，AD＞CD，求AD的值．

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