（培优卷）1.3解直角三角形-2023-2024年浙教版数学九年级下册同步测试

试卷更新日期：2023-09-10 类型：同步测试

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一、选择题（每题2分，共20分）

1. 如图，在纸片 $Δ A B C$ 中， $A B = A C = 12 ， ∠ B = 30^{°}$ ，折叠纸片，使点 $B$ 落在 $A C$ 的中点 $D$ 处，折痕为 $E F$ ，则 $Δ D E F$ 的面积为（）

A、 $\frac{49 \sqrt{3}}{5}$ B、 $10 \sqrt{3}$ C、 $11 \sqrt{3}$ D、 $\frac{56 \sqrt{3}}{5}$

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2. 如图，以O为圆心的圆与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象交于 $A ， B$ 两点，已知点B的坐标为 $(1 ， \sqrt{3})$ ，则 $\overset{⌢}{A B}$ 的长度为（）

A、 $\frac{4}{3} π$ B、 $π$ C、 $\frac{2}{3} π$ D、 $\frac{1}{3} π$

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3. 一个矩形按如图1的方式分割成三个直角三角形，最小三角形的面积为S₁ ，把较大两个三角形纸片按图2方式放置，图2中的阴影部分面积为S₂ ，若S₂＝2S₁ ，则矩形的长宽之比（）

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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4. 如图，四边形ABCD内接于 $⊙ O ， B C / / A D ， A C ⊥ B D$ .若 $∠ A O D = 12 0^{°} ， A D = \sqrt{3}$ ，则 $∠ C A O$ 的度数与BC的长分别为（）

A、 $1 0^{°} ， 1$ B、 $1 0^{°} ， \sqrt{2}$ C、 $1 5^{°} ， 1$ D、 $1 5^{°} ， \sqrt{2}$

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5. 如图，在正六边形ABCDEF中， $B C = 2$ ，点O在对角线AD上， $B O ⊥ O F$ ，以O为圆心，OB为半径画弧，分别交AB，AF于点M，N．则 $\overset{⌢}{M N}$ 的长为（）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{4} π$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{6} π$

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6. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ，以其三边为边向外作正方形，连接 $E H$ ，交 $A C$ 于点P，过点P作 $P R ⊥ F G$ 于点R.若 $t a n ∠ A H E = \frac{1}{2}$ ， $E H = 8 \sqrt{5}$ ，则 $P R$ 的值为（）

A、10 B、11 C、 $4 \sqrt{5}$ D、 $5 \sqrt{5}$

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7. 如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边（OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内）.已知AB=a，AD=b，∠BCO=x，则点A到OC的距离等于（）

A、asinx+bsinx B、acosx+bcosx C、asinx+bcosx. D、acosx+bsinx

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8. 如图，为了测量某建筑物 $B C$ 的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发，沿斜坡 $A D$ 行走100米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米到点E处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为59°，建筑物底端B的俯角为 $45 °$ ，点A、B、C、D、E在同一平面内，斜坡 $A D$ 的坡度 $i = 1 ： \frac{4}{3}$ .根据以上数据，计算出建筑物BC的高度约为（结果精确到1.参考数据： $s i n 59 ° \approx 0.86$ ， $c o s 59 ° \approx 0.52$ ， $t a n 59 ° \approx 1.66$ ）（）

A、158米 B、161米 C、159米 D、160米

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9. 小明使用测角仪在甲楼底端A处测得熊猫C处的仰角为53°，在甲楼B处测得熊猫C处的仰角 $45^{°}$ 已知AB＝4.5米，则熊猫C处距离地面AD的高度为（）（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）

A、13.6 B、18.1 C、17.3 D、16.8

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10. 如图，建筑工地划出了三角形安全区 $△ A B C$ ，一人从 $A$ 点出发，沿北偏东53°方向走50m到达C点，另一人从B点出发沿北偏西53°方向走100m到达C点，则点A与点B相距（） $(t a n 53 ° \approx \frac{4}{3})$

A、 $30 \sqrt{15} m$ B、 $30 \sqrt{17} m$ C、 $40 \sqrt{10} m$ D、130m

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二、填空题（每空3分，共33分）

11. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，点E在 $A B$ 上， $A E = 3 B E$ ，连接 $C E$ ，取 $C E$ 中点F，过F作 $G F ⊥ C F$ 且使得 $G F = C F$ ，连接 $A G$ 并延长，将 $△ C F G$ 绕点C旋转到 $△ C F^{'} G^{'}$ ，当 $A$ ， $G$ ， $G^{'}$ 三点共线且 $A G = 3 \sqrt{7}$ 时， $K G^{'} =$ .

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12. 如图1，是一幅椅子和花架相互转化的实物图．放置在水平地面上的椅子示意图如图2所示，在矩形ABCD中，点E在BC上，点F，G在CD上，G是CF的中点，隔板FH∥GI∥BC，分别交DE于点H，I，现将该椅子的左边部分JCDE绕着点E顺时针旋转180°得到一个花架，如图3所示，此时点J落在地面上的点J'处，点C，H的对应点分别为点C'，H'，已知AB＝46cm，BC＝37cm，BE＝14cm，则点J离地面的距离是 cm；若点J'，C'，H'在同一直线上，tan∠AJ'C'＝6，则隔板GI的长是 cm．

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13. 飞机导航系统的正常工作离不开人造卫星的信号传输（如图1）．五颗同轨道同步卫星，其位置 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ ， $E$ ，如图2所示． $⊙ O$ 是它们的运行轨道，弧 $A C$ 度数为 $120 °$ ，点 $B$ 到点 $C$ 和点 $A$ 的距离相等， $B D ⊥ C E$ 于 $M$ ， $A D$ 交 $B E$ 于 $N$ ，交 $C E$ 于 $H$ ，连结 $C D$ ， $A E$ ，已知一架飞机从 $M$ 飞到 $N$ 的直线距离为4千公里，则轨道 $⊙ O$ 的半径为千公里，当 $B E ： B D = 5 ： 7$ 时，则线段 $A E$ ， $C D$ 的长度之和为千公里.

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14. 衢州儿童公园有摩天轮，水上乐园等娱乐设施，其中的摩天轮半径为20米，水上乐园的最高处到地面的距离为32米；如图，当摩天轮的座舱A旋转至与水上乐园最高处高度相同时，地面某观测点P与座舱A，摩天轮圆心O恰好在同一条直线上，此时测得 $∠ A P C = 30 °$ ，则 $P C$ 的距离为米；此时另一座舱B位于摩天轮最低点，摩天轮旋转一周要12分钟，若摩天轮继续逆时针旋转一周，当从座舱A观测座舱B的俯角为45°时，经过了分钟.

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15. 如图，岸边堤坝和湖中分别伫立着甲、乙两座电线塔，甲塔底 $C D$ 和堤坝 $E F$ 段均与水平面 $M N$ 平行， $B$ 为 $C D$ 中点， $C D = 6 E F = 12$ 米， $D E = 5$ 米．某时刻甲塔顶 $A$ 影子恰好落在斜坡底端 $E$ 处，此时小章测得2米直立杆子的影长为1米．随后小章乘船行驶至湖面点 $P$ 处，发现点 $D$ ， $F$ ， $P$ 三点共线，并在 $P$ 处测得甲塔底 $D$ 和乙塔顶 $T$ 的仰角均为 $α = 26.7 °$ ，则塔高 $A B$ 的长为米；若小章继续向右行驶10米至点 $Q$ ，且在 $Q$ 处测得甲、乙两塔顶 $A$ ， $T$ 的仰角均为 $β = 36.8 °$ ．若点 $M$ ， $P$ ， $Q$ ， $N$ 在同一水平线上， $T N ⊥ M N$ ，则甲、乙两塔顶 $A$ ， $T$ 的距离为米．（参考数据： $\tan 26.7 ° \approx 0.5$ ， $\sin 26.7 ° \approx 0.45$ ， $\tan 36.8 ° \approx 0.75$ ， $\cos 36.8 ° \approx 0.8$ ）

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16. 一款闭门器按如图1所示安装，支点A，C分别固定在门框和门板上，门宽 $O D = 52 c m$ ，摇臂 $A B = 18 c m$ ，连杆 $B C = 24 c m$ ，闭门器工作时，摇臂、连杆和 $O C$ 长度均固定不变.如图2，当门闭合时， $s i n ∠ B = \frac{\sqrt{5}}{3}$ ，则 $A C$ 的长为cm.如图3，门板绕点O旋转，当 $∠ B = 90 °$ 时，点D到门框的距离 $D K = 48 c m$ ，则 $O C$ 的长为cm.

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三、解答题（共8题，共67分）

17. 为测量学校后山高度，数学兴趣小组活动过程如下：

(1)、测量坡角
如图1，后山一侧有三段相对平直的山坡 $A B ， B C ， C D$ ，山的高度即为三段坡面的铅直高度 $B H ， C Q ， D R$ 之和，坡面的长度可以直接测量得到，要求山坡高度还需要知道坡角大小．
如图2，同学们将两根直杆 $M N ， M P$ 的一端放在坡面起始端A处，直杆 $M P$ 沿坡面 $A B$ 方向放置，在直杆 $M N$ 另一端N用细线系小重物G，当直杆 $M N$ 与铅垂线 $N G$ 重合时，测得两杆夹角 $α$ 的度数，由此可得山坡AB坡角 $β$ 的度数．请直接写出 $α ， β$ 之间的数量关系．

(2)、测量山高
同学们测得山坡 $A B ， B C ， C D$ 的坡长依次为40米，50米，40米，坡角依次为 $24 ° ， 30 ° ， 45 °$ ；为求 $B H$ ，小熠同学在作业本上画了一个含 $24 °$ 角的 $R t △ T K S$ （如图3），量得 $K T \approx 5 c m ， T S \approx 2 c m$ ．求山高 $D F$ ．（ $\sqrt{2} \approx 1.41$ ，结果精确到1米）

(3)、测量改进
由于测量工作量较大，同学们围绕如何优化测量进行了深入探究，有了以下新的测量方法．

如图4，5，在学校操场上，将直杆NP置于 $M N$ 的顶端，当 $M N$ 与铅垂线 $N G$ 重合时，转动直杆 $N P$ ，使点N，P，D共线，测得 $∠ M N P$ 的度数，从而得到山顶仰角 $β_{1}$ ，向后山方向前进40米，采用相同方式，测得山顶仰角 $β_{2}$ ；画一个含 $β_{1}$ 的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为 $a_{1}$ 厘米， $b_{1}$ 厘米，再画一个含 $β_{2}$ 的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为 $a_{2}$ 厘米， $b_{2}$ 厘米．已知杆高MN为 $1.6$ 米，求山高 $D F$ ．（结果用不含 $β_{1} ， β_{2}$ 的字母表示）

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18. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 6 ， B C = 8$ .点D是直线 $A B$ 上一动点.过点D作 $D E ⊥ A B$ ，满足点E在 $A B$ 上方， $∠ E A D = ∠ B$ ，以 $A E$ 、 $A D$ 为邻边作 $▱ A D F E$ .

(1)、求 $A B$ 的长以及点C到 $A B$ 的距离；

(2)、设线段 $E F$ 与边 $B C$ 交于点M，线段 $D F$ 与边 $B C$ 交于点N.当 $M N = 5$ 时，求 $B D$ 的长；

(3)、连接 $C D$ ，沿直线 $C D$ 分割 $▱ A D F E$ ，当分割的两部分可以拼成一个不重叠无缝隙的三角形时，求 $A D$ 的长.

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19. 如图，光从空气斜射入水中，入射光线 $A B$ 射到水池的水面 $B$ 点后折射光线 $B D$ 射到池底点 $D$ 处，入射角 $∠ A B M = 30 °$ ，折射角 $∠ D B N = 22 °$ ；入射光线 $A C$ 射到水池的水面 $C$ 点后折射光线 $C E$ 射到池底点 $E$ 处，入射角 $∠ A C M' = 60 °$ ，折射角 $∠ E C N' = 40.5 ° . D E / / B C$ ， $M N$ 、 $M' N'$ 为法线 $.$ 入射光线 $A B$ 、 $A C$ 和折射光线 $B D$ 、 $C E$ 及法线 $M N$ 、 $M' N'$ 都在同一平面内，点 $A$ 到直线 $B C$ 的距离为 $6$ 米．

(1)、求 $B C$ 的长； $($ 结果保留根号 $)$

(2)、如果 $D E = 8.72$ 米，求水池的深 $. ($ 参考数据： $\sqrt{2}$ 取 $1.41$ ， $\sqrt{3}$ 取 $1.73$ ， $s i n 22 °$ 取 $0.37$ ， $c o s 22 °$ 取 $0.93$ ， $t a n 22 °$ 取 $0.4$ ， $s i n 40.5 °$ 取 $0.65$ ， $c o s 40.5 °$ 取 $0.76$ ， $t a n 40.5 °$ 取 $0.85)$

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20. 为了监控危险路段的车辆行驶情况，通常会设置电子眼进行区间测速.如图电子眼位于点P处，离地面的铅垂高度PQ为11米；离坡AB的最短距离是11.2米，坡AB的坡比为3：4；电子眼照射在A 处时，电子眼的俯角为30°，电子眼照射在坡角点B处时，电子眼的俯角为70°.（A、B、P、Q在同一平面内）

(1)、求路段BQ的长；（sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）

(2)、求路段AB的长；（ $\sqrt{3}$ ≈1.7，结果保留整数）

(3)、如图的这辆车看成矩形KLNM，车高2米，当PA过M点时开始测速，PB过M点时结束测速，若在这个测速路段车辆所用的时间是1.5秒.该路段限速5米/秒，计算说明该车是否超速？

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21. 如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到一定高度D点处时，无人机测得操控者A的俯角为 $75 °$ ，测得小区楼房 $B C$ 顶端点C处的俯角为 $45 °$ ．已知操控者A和小区楼房 $B C$ 之间的距离为45米，小区楼房 $B C$ 的高度为 $15 \sqrt{3}$ 米．

(1)、求此时无人机的高度；

(2)、在（1）条件下，若无人机保持现有高度沿平行于 $A B$ 的方向，并以5米/秒的速度继续向前匀速飞行．问：经过多少秒时，无人机刚好离开了操控者的视线？（假定点A，B，C，D都在同一平面内．参考数据： $t a n 75 ° = 2 + \sqrt{3}$ ， $t a n 15 ° = 2 - \sqrt{3}$ ．计算结果保留根号）

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22. 小红将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB与底板OA所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图1），侧面示意图为图2；使用时为了散热，她在底板下面垫入散热架ACO＇后，电脑转到AO＇B＇位置（如图3），侧面示意图为图4.已知OA=OB=24cm，O＇C⊥OA于点C，O＇C=12cm.

(1)、求∠CAO＇的度数.

(2)、显示屏的顶部B＇比原来升高了多少？

(3)、如图4，垫入散热架后，要使显示屏O＇B＇与水平线的夹角仍保持120°，则显示屏O＇B＇应绕点O＇按顺时针方向旋转多少度？

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23. 爱好思考的小实在探究两条直线的位置关系查阅资料时发现，两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”，如图1、图2、图3中，AF、BE是△ABC的中线，AF⊥BE于点P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”，设BC＝a，AC＝b，AB＝c.

(1)、【特例探究】
①如图1，当tan∠PAB＝1， $c = 4 \sqrt{2}$ 时，a＝， b＝.

②如图2，当∠PAB＝30°，c＝4时，a＝， b＝.

(2)、【归纳证明】
请你观察（1）中的计算结果，猜想 $a^{2}$ 、 $b^{2}$ 、 $c^{2}$ 三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论.

(3)、【拓展证明】
如图4，在△ABC中， $A B = 4 \sqrt{3}$ ， $B C = 2 \sqrt{5}$ ，D、E、F分别是边AB、AC、BC的中点，连结DE并延长至点G，使得GE＝DE，连结BG.若BG⊥AC于点M时，求GF的长.

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24. 【问题情境】如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ A C B = α$ ．点D在边 $B C$ 上将线段 $D B$ 绕点D顺时针旋转得到线段 $D E$ （旋转角小于 $180 °$ ），连接 $B E$ ， $C E$ ，以 $C E$ 为底边在其上方作等腰三角形 $F E C$ ，使 $∠ F C E = α$ ，连接 $A F$ ．

(1)、【尝试探究】
如图1，当 $α = 60 °$ 时，易知 $A F = B E$ ；
如图2，当 $α = 45 °$ 时，则 $A F$ 与 $B E$ 的数量关系为；

(2)、如图3，写出 $A F$ 与 $B E$ 的数量关系（用含α的三角函数表示）．并说明理由；

(3)、【拓展应用】
如图4，当 $α = 30 °$ ，且点B ， E ， F三点共线时．若 $B C = 4 \sqrt{7}$ ， $B D = \frac{1}{5} B C$ ，请直接写出 $A F$ 的长．

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