（培优卷）1.2锐角三角函数的计算-2023-2024年浙教版数学九年级下册同步测试

试卷更新日期：2023-09-10 类型：同步测试

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一、选择题（每题4分，共40分）

1. 如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角为 $28 °$ ，高为7米．用计算器求 $A B$ 的长，下列按键顺序正确的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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2. 2022年2月4日在北京举办了第24届冬季奥运会，很多学校都开展冰雪项目学习，如图，一位同学乘滑雪板沿斜坡笔直滑下100米，若斜坡的坡比为 $t a n 38 ° ： 1$ ，用计算器求下滑的水平距离，则下列按键顺序正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 如图所示，若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序如下：
按键的结果为m，
按键的结果为n，则下列判断正确的是（）

A、 $m < n$ B、 $m > n$ C、 $m = n$ D、无法确定

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4. 如图，一座厂房屋顶人字架的跨度 $A C = 12$ m，上弦 $A B = B C$ ， $∠ B A C = 25 °$ ．若用科学计算器求上弦AB的长，则下列按键顺序正确的是（）

A、 $12 \div c o s 25 =$ B、 $6 \div c o s 25 =$ C、 $6 \div t a n 25 =$ D、 $6 \div s i n 25 =$

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5. 如图，有一个山坡，如果沿山坡在水平AC方向上每前进100m铅直高度就升高60m，那么用科学计算器求坡角∠A的度数，并以“度、分、秒”为单位表示出这个度数，下列按键顺序正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 利用计算器求值时，小明将按键顺序为的显示结果为a，的显示结果为b，则a与b的乘积为（）

A、﹣16 B、16 C、﹣9 D、9

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7. 已知“ $α$ 为锐角时， $s i n α$ 随着 $α$ 的增大而增大”，则 $s i n 37 °$ 的值更靠近（）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{5}{6}$

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8. 如图，点E在正方形ABCD的边AD上（包括点A和点D）的一个动点，连结BE和CE设y=tan∠BEC，则（）

A、y=1 B、y≥1 C、1≤y≤ $\frac{3}{2}$ D、1≤y≤ $\frac{4}{3}$

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9. 如图，有一个弓形的暗礁区，弓形所含的圆周角 $∠ C = 50 °$ ，船在航行时，为保证不进入暗礁区，则船到两个灯塔A，B的张角 $∠ A S B$ 应满足的条件是（）

A、 $s i n ∠ A S B > s i n 25 °$ B、 $s i n ∠ A S B > s i n 50 °$ C、 $s i n ∠ A S B > s i n 55 °$ D、 $c o s ∠ A S B > c o s 50 °$

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10. 若角 $α ， β$ 都是锐角，以下结论：①若 $α < β$ ，则 $\sin α < \sin β$ ；②若 $α < β$ ，则 $\cos α < \cos β$ ；③若 $α < β$ ，则 $\tan α < \tan β$ ；④若 $α + β = 90^{\circ}$ ，则 $\sin α = \cos β$ .其中正确的是(　　)

A、①② B、①②③ C、①③④ D、①②③④

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二、填空题（每题4分，共24分）

11. 若三个锐角 $α, β, γ$ 满足 $\sin 48^{\circ} = α, \cos 48^{\circ} = β, \tan 48^{\circ} = γ$ ，则 $α, β, γ$ 由小到大的顺序为.

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12. 一个梯子斜靠在墙上，已知梯子长 $10$ 米，梯子位于地面上的一端距离墙壁2.5米，则梯子与地面所成锐角的度数为.（用科学计算器计算，结果精确到 $1$ 分）

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13. 如图，在正方形ABCD中，F是AD的中点，E是CD上一点，∠FBE＝45°，则tan∠FEB的值是．

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14. 如图，点P在正方形ABCD的BC边上，连接AP，作AP的垂直平分线，交AD延长线于点E，连接PE，交CD于点F.若点F是CD的中点，则tan∠BAP=.

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15. 要加工形状如图的零件，根据图示尺寸（单位：mm）计算斜角α的度数为.（用计算器计算，精确到1″）.

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16. 请从以下两个小题中任选一个作答.
A：如图，AD是正五边形ABCDE的一条对角线，则∠BAD＝.

B：用科学计算器计算： $\sqrt{31}$ +3tan56°≈.（结果精确到0.01）

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三、解答题（共5题，共56分）

17. 在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= $\frac{3}{5}$ .

(1)、若AB=10，则BC= ， AC= ， cosA=；

(2)、若BC=3x，则AB= ， AC= ， tanA= ， tanB= ， sinB=.

(3)、用计算器可以求得∠A≈ ， ∠B≈（精确到1″）.

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18.

(1)、验证下列两组数值的关系：
2sin30°•cos30°与sin60°；

2sin22.5°•cos22.5°与sin45°.

(2)、用一句话概括上面的关系.

(3)、试一试：你自己任选一个锐角，用计算器验证上述结论是否成立.

(4)、如果结论成立，试用α表示一个锐角，写出这个关系式.

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19. 如图

(1)、用计算器计算并验证 $\sin 25 ° + \sin 46 °$ 与 $\sin 71 °$ 之间的大小关系；

(2)、若 $α$ ， $β$ ， $α + β$ 都是锐角，猜想 $\sin α + \sin β$ 与 $\sin (α + β)$ 之间的大小关系；

(3)、请借助如下图形证明上述猜想.

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20. 如图所示，一种适用于笔记本电脑的铝合金支架，边 $O A$ ， $O B$ 可绕点 $O$ 开合，在 $O B$ 边上有一固定点 $P$ ，支柱 $P Q$ 可绕点 $P$ 转动，边 $O A$ 上有六个卡孔，其中离点 $O$ 最近的卡孔为 $M$ ，离点 $O$ 最远的卡孔为 $N$ .当支柱端点 $Q$ 放入不同卡孔内，支架的倾斜角发生变化.将电脑放在支架上，电脑台面的角度可达到六档调节，这样更有利于工作和身体健康.现测得 $O P$ 的长为 $12 cm$ ， $O M$ 为 $10 cm$ ，支柱 $P Q$ 为 $8 cm$ .

(1)、当支柱的端点 $Q$ 放在卡孔 $M$ 处时，求 $∠ A O B$ 的度数；

(2)、当支柱的端点 $Q$ 放在卡孔 $N$ 处时， $∠ A O B = 20.5 °$ ，若相邻两个卡孔的距离相同，求此间距.(结果精确到十分位)

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21. 今年疫情期间，针对各种入口处人工测量体温存在的感染风险高、效率低等问题，清华大学牵头研制一款“测温机器人”，如图1，机器人工作时，行人抬手在测温头处测量手腕温度，体温合格则机器人抬起臂杆行人可通行，不合格时机器人不抬臂杆并报警，从而有效阻隔病原体．

(1)、为了设计“测温机器人”的高度，科研团队采集了大量数据．下表是抽样采集某一地区居民的身高数据：

测量对象	男性（18～60岁）			女性（18～55岁）
抽样人数（人）	2000	5000	20000	2000	5000	20000
平均身高（厘米）	173	175	176	164	165	164

根据你所学的知识，若要更准确的表示这一地区男、女的平均身高，男性应采用厘米，女性应采用厘米；

(2)、如图2，一般的，人抬手的高度与身高之比为黄金比时给人的感觉最舒适，由此利用（1）中的数据得出测温头点P距地面105厘米．指示牌挂在两臂杆AB，AC的连接点A处，A点距地面110厘米．臂杆落下时两端点B，C在同一水平线上，BC＝100厘米，点C在点P的正下方5厘米处．若两臂杆长度相等，求两臂杆的夹角．

（参考数据表）

计算器按键顺序	计算结果（近似值）	计算器按键顺序	计算结果（近似值）
	0.1		78.7
	0.2		84.3
	1.7		5.7
	3.5		11.3

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