2023-2024学年高中数学人教A版选修二 5.3 导数在研究函数中的应用同步练习

试卷更新日期：2023-09-10 类型：同步测试

进入出卷网下载

一、选择题

1. 已知 $a > 0$ ，若点 $P$ 为曲线 $C_{1}$ ： $y = \frac{x^{2}}{2} + a x$ 与曲线 $C_{2}$ ： $y = 2 a^{2} l n x + m$ 的交点，且两条曲线在点 $P$ 处的切线重合，则实数 $m$ 的最大值为（）

A、 $e^{- \frac{1}{2}}$ B、 $e^{\frac{1}{2}}$ C、 $\frac{e}{2}$ D、 $2 e$

查看试题解析
2. 已知可导函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，若对任意的 $x \in R$ ，都有 $f (x) > f^{'} (x) + 1$ ，且 $f (x) - 2024$ 为奇函数，则不等式 $f (x) - 2023 e^{x} < 1$ 的解集为（）

A、 $(- \infty ， 0)$ B、 $(- \infty ， e)$ C、 $(e ， + \infty)$ D、 $(0 ， + \infty)$

查看试题解析
3. 已知定义在 $R$ 上的偶函数 $f (x)$ ，其导函数为 $f^{'} (x)$ ，若 $x f^{'} (x) - 2 f (x) > 0$ ， $f (- 2) = 1$ ，则不等式 $\frac{f (x)}{x^{2}} < \frac{1}{4}$ 的解集是（）

A、 $(- 2 ， 2)$ B、 $(- \infty ， - 2) ∪ (2 ， + \infty)$ C、 $(- 2 ， 0) \cup (0 ， 2)$ D、 $(- \infty ， 0) ∪ (0 ， 2)$

查看试题解析
4. 若函数 $f (x) = l n x + \frac{1}{2} x^{2} + a x$ 有两个极值点 $x_{1} ， x_{2}$ ，且 $f (x_{1}) + f (x_{2}) \leq - 5$ ，则（）

A、 $a \geq 4 \sqrt{2}$ B、 $a \geq 2 \sqrt{2}$ C、 $a \leq - 2 \sqrt{2}$ D、 $a \leq - 4 \sqrt{2}$

查看试题解析
5. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 4 l n x + 1 ， x \geq 1 \\ 2 x - 1 ， x < 1 \end{array}$ ，若 $p \neq q$ ，且 $f (p) + f (q) = 2$ ，则 $p + q$ 的最小值是（）

A、 $2 - 2 l n 2$ B、 $3 - 2 l n 2$ C、 $4 - 2 l n 3$ D、2

查看试题解析
6. 已知正数 $a ， b ， c$ 满足 $e^{a} = b = l n c ， e$ 为自然对数的底数，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $a + c < 2 b$ B、 $a + c > 2 b$ C、 $a c < b^{2}$ D、 $a c > b^{2}$

查看试题解析
7. 关于函数 $f (x) = \frac{x^{2} + 2 x - 2}{e^{x}}$ ，有如下列结论：①函数 $f (x)$ 有极小值也有最小值；②函数 $f (x)$ 有且只有两个不同的零点；③当 $- 2 e^{2} < k < \frac{6}{e^{2}}$ 时， $f (x) = k$ 恰有三个实根；④若 $x \in [0 ， t]$ 时， $f {(x)}_{m a x} = \frac{6}{e^{2}}$ ，则 $t$ 的最小值为 $2$ ．其中正确结论的个数是（）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

查看试题解析
8. 已知 $a = \sqrt{e} + 1 ， b = 1.01 e ， c = e^{1.01}$ 则（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $c < b < a$ D、 $c < a < b$

查看试题解析

二、多项选择题

9. 已知拋物线 $C ： y^{2} = x$ ，点 $A ， B$ 均在抛物线 $C$ 上，点 $P (0 ， 3)$ ，则（）

A、直线 $P A$ 的斜率可能为 $\frac{1}{10}$ B、线段 $P A$ 长度的最小值为 $\sqrt{5}$ C、若 $P ， A ， B$ 三点共线，则存在唯一的点 $B$ ，使得点 $A$ 为线段 $P B$ 的中点 D、若 $P ， A ， B$ 三点共线，则存在两个不同的点 $B$ ，使得点 $A$ 为线段 $P B$ 的中点

查看试题解析
10. 声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数 $y = A s i n ω t$ ，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音.我们听到的声音函数是 $y = s i n x + \frac{1}{2} s i n 2 x + \frac{1}{3} s i n 3 x + ⋯$ ，记 $f_{n} (x) = s i n x + \frac{1}{2} s i n 2 x + ⋯ + \frac{1}{n} s i n n x$ ， $n \in N^{*}$ 则下列结论中正确的为（）

A、 $f_{2} (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上是增函数 B、 $f_{2} (x)$ 的最大值为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ C、 $f_{n} (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ D、 $| f_{n} (x) | \leq | n x |$

查看试题解析
11. 函数 $f (x) = x^{3} - a x^{2} - x + 1$ ，则下列结论正确的是（）

A、若函数 $f (x)$ 在 $(- \frac{1}{2} ， \frac{1}{3})$ 上为减函数，则 $- 1 \leq a \leq \frac{1}{4}$ B、若函数 $f (x)$ 的对称中心为 $(1 ， - 2)$ ，则 $a = \frac{3}{2}$ C、当 $a = 1$ 时，若 $f (x) = m$ 有三个根 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，则 $x_{1} < \frac{9 m - 16}{16}$ D、当 $a = 1$ 时，若过点 $(- 1 ， n)$ 可作曲线 $y = f (x)$ 的三条切线，则 $0 < n < \frac{64}{27}$

查看试题解析
12. 若函数 $g (x)$ 为函数 $f^{'} (x)$ 的导函数，且对于任意实数 $x_{0}$ ，均有 $2 f^{'} (x_{0}) = f (x_{0}) + g (x_{0})$ ，且 $g (x_{0}) > f (x_{0})$ ，则（）

A、函数 $y = g (x)$ 不可能为奇函数 B、存在实数M，使得 $f (x) \leq M$ C、存在实数N，使得 $f (x) \geq N$ D、函数 $y = f (x)$ 不存在零点

查看试题解析

三、填空题

13. 已知函数 $f (x) = m (l n x - 2) + (n + 1) x$ 在区间 $[e^{2} ， e^{4}]$ 上存在零点，则 $m^{2} + n^{2}$ 的最小值为.

查看试题解析
14. 若存在直线 $l$ 既是曲线 $y = x^{2}$ 的切线，也是曲线 $y = a l n x$ 的切线，则实数 $a$ 的最大值为.

查看试题解析
15. 已知函数 $f (x) = l n x + a x^{2} + b$ ，若 $f (x)$ 在区间 $[2 ， 3]$ 上有零点，则 $a b$ 的最大值为.

查看试题解析
16. 已知 $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{x}{e^{x}} ， x \geq 0 \\ 3 x - x^{3} ， x < 0 \end{array}$ ，若关于x的方程 $f (x) = a$ 有3个不同实根，则实数 $a$ 取值范围为．

查看试题解析

四、解答题

17. 已知函数 $f (x) = e^{x - 1} + e^{- x + 1}$ ， $g (x) = a (x^{2} - 2 x) (a < 0)$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、讨论函数 $h (x) = f (x) - g (x)$ 的零点个数．

查看试题解析
18. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a x - 1$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间与极值；

(2)、若 $f (x) \leq x^{2}$ 在 $x \in [0 ， + \infty)$ 上有解，求实数a的取值范围.

查看试题解析
19. 已知函数 $f (x) = x^{3} + x - 16$ ．

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(2 ， - 6)$ 处的切线方程；

(2)、直线 $l$ 为曲线 $y = f (x)$ 的切线，且经过原点，求直线 $l$ 的方程及切点坐标．

查看试题解析
20. 已知：函数 $f (x) = (a x + 1) l n (x) - a x$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 在 $x \in (0 ， + \infty)$ 上单调递增，求实数 $a$ 的取值范围.

查看试题解析
21. 设函数 $f (x) = x - x^{3} e^{a x + b}$ ，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程为 $y = - x + 1$ ．

(1)、求 $a ， b$ 的值；

(2)、设函数 $g (x) = f^{'} (x)$ ，求 $g (x)$ 的单调区间；

(3)、求 $f (x)$ 的极值点个数．

查看试题解析
22. 已知 $f (x) = a x - \frac{s i n x}{c o s^{3} x} ， x \in (0 ， \frac{π}{2})$

(1)、若 $a = 8$ ，讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x) < s i n 2 x$ 恒成立，求a的取值范围．

查看试题解析
23. 已知函数 $f (x) = l n x + a x^{2} + (a + 2) x$ ， $a \in R$ ．

(1)、当 $a = - 2$ 时，讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $a < 0$ 时，若关于x的不等式 $f (x) \leq - \frac{2}{a} + b - 1$ 恒成立，求实数b的取值范围；

(3)、设 $n \in N^{*}$ 时，证明： $l n (n + 1) \geq 2 (\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ⋯ + \frac{1}{n + 1}) - n l n 2$ ．

查看试题解析

2023-2024学年高中数学人教A版选修二 5.3 导数在研究函数中的应用 同步练习

一、选择题

二、多项选择题

三、填空题

四、解答题

2023-2024学年高中数学人教A版选修二 5.3 导数在研究函数中的应用同步练习