2023-2024学年高中数学人教A版选修二 5.2 导数的运算同步练习

试卷更新日期：2023-09-10 类型：同步测试

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一、选择题

1. 下列求导数计算错误的是（）

A、 ${(\frac{1}{x})}^{^{'}} = - \frac{1}{x^{2}}$ B、 ${(\frac{x^{2}}{e^{2 x}})}^{^{'}} = \frac{2 x - x^{2}}{e^{2 x}}$ C、 ${(x l n x)}^{^{'}} = l n x + 1$ D、 ${(t a n x)}^{^{'}} = \frac{1}{c o s^{2} x}$

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2. 函数 $f (x) = l o g_{2} \frac{1}{x}$ 的导函数为（）

A、 $f^{'} (x) = \frac{l n 2}{x}$ B、 $f^{'} (x) = \frac{1}{x l n 2}$ C、 $f^{'} (x) = - \frac{l n 2}{x}$ D、 $f^{'} (x) = - \frac{1}{x l n 2}$

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3. $f^{'} (x)$ 是函数 $f (x) = \frac{x^{2}}{c o s x}$ 的导函数，则（）

A、 $f^{'} (π) = - 2 π$ B、 $f^{'} (π) = π^{2}$ C、 $f^{'} (0) = - 1$ D、 $f^{'} (0) = 1$

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4. 曲线 $y = \frac{e^{x}}{x + 1}$ 在点 $(1 ， \frac{e}{2})$ 处的切线方程为（）

A、 $y = \frac{e}{4} x$ B、 $y = \frac{e}{2} x$ C、 $y = \frac{e}{4} x + \frac{e}{4}$ D、 $y = \frac{e}{2} x + \frac{3 e}{4}$

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5. 已知函数 $f (x) = - l n x + x^{2} + x$ ， $f^{'} (x_{0}) = 2$ ，则 $x_{0}$ 的值为（）

A、1 B、2 C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{2}$

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6. 设函数 $f (x)$ 的导函数为 $f' (x)$ ，若 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - f' (1) \cdot x^{2} + x$ ，则 $f' (1) =$ （）

A、 $- 1$ B、 $0$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{2}$

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7. 已知函数 $f (x) = l n x + f^{'} (1) x^{2} + f (1) x + 2$ ，则f（e）＝（）

A、 $\frac{1}{e} - 2 e + 1$ B、 $2 e^{2} + 5 e + 1$ C、 $\frac{1}{e} - 4 e + 1$ D、 $- 2 e^{2} + e + 3$

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8. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} = 1 ， a_{9} = 9$ ，函数 $f (x) = x (x - a_{1}) (x - a_{2}) ⋯ (x - a_{10})$ ，则 $f^{'} (0) =$ （）

A、0 B、1 C、 $- 3^{10}$ D、 $3^{10}$

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9. 若函数 $y = f (x)$ 满足 $f (2 - x) + f (x) = 2$ ， $f (4 - x) + f (x) = 4$ ，设 $f (x)$ 的导函数为 $f^{^{'}} (x)$ ，当 $x \in [0 ， 1]$ 时， $f (x) = x^{2}$ ，则 $\sum_{k = 1}^{10} [f (k) + f^{^{'}} (k + \frac{1}{2})] =$ （）

A、65 B、70 C、75 D、80

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10. 已知函数 $f (x)$ 及其导函数 $f^{'} (x)$ 的定义域均为R，且 $f (x - 1)$ 为奇函数， $f^{'} (2 - x) + f^{'} (x) = 2$ ， $f^{'} (- 1) = 2$ ，则 $\sum_{i = 1}^{25} f^{'} (2 i - 1) =$ （）

A、13 B、16 C、25 D、51

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11. 如图，某公园需要修建一段围绕绿地的弯曲绿道（图中虚线）与两条直道（图中实线）平滑连续（相切），已知环绕绿地的弯曲绿道为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为（）

A、 $y = \frac{1}{4} x^{3} - x$ B、 $y = \frac{1}{4} x^{3} - x^{2} - x$ C、 $y = - \frac{1}{4} x^{3} + x$ D、 $y = - \frac{1}{4} x^{3} + x^{2} + x$

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12. 两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则，即在一定条件下通过对分子､分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法，如 $\underset{x \to 0}{l i m} \frac{e^{x} - 1}{x} = \underset{x \to 0}{l i m} \frac{{(e^{x} - 1)}^{^{'}}}{x^{^{'}}} = \underset{x \to 0}{l i m} \frac{e^{x}}{1} = 1$ ，则 $\underset{x \to 1}{l i m} \frac{l n x + x - 1}{x^{2} + x - 2} =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、1 D、2

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13. 以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心，其内容如下：如果函数 $y = f (x)$ 在闭区间 $[a ， b]$ 上连续，在开区间 $(a ， b)$ 内可导，则 $(a ， b)$ 内至少存在一个点 $x_{0} \in (a ， b)$ ，使得 $f (b) - f (a) = f^{'} (x_{0}) (b - a)$ ，其中 $x = x_{0}$ 称为函数 $y = f (x)$ 在闭区间 $[a ， b]$ 上的“中值点”．请问函数 $f (x) = 5 x^{3} - 3 x$ 在区间 $[- 1 ， 1]$ 上的“中值点”的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、多项选择题

14. 若 $f (x) = c o s x + 2 x f^{'} (\frac{π}{6})$ ，则（　　）

A、 $f^{'} (\frac{π}{6}) = - \frac{1}{2}$ B、 $f^{'} (\frac{π}{6}) = \frac{1}{2}$ C、 $f^{'} (\frac{π}{3}) = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $f^{'} (\frac{π}{3}) = 1 + \frac{\sqrt{3}}{2}$

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15. 下列求导正确的是（）

A、若 $y = x^{2} - \frac{1}{x}$ ，则 $y' = 2 x + \frac{1}{x^{2}}$ B、若 $y = x s i n x$ ，则 $y' = s i n x - x c o s x$ C、若 $y = \frac{2 x}{e^{x}}$ ，则 $y' = \frac{2 - 2 x}{e^{x}}$ D、若 $y = (2 x + 1)^{4}$ ，则 $y' = 4 (2 x + 1)^{3}$

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16. 下列函数的求导运算正确的是（）

A、 ${(s i n 2 x + 1)}^{^{'}} = 2 c o s 2 x$ B、 ${(\frac{α^{x}}{a})}^{^{'}} = \frac{a^{x} l n a - a^{x}}{a^{2}}$ （ $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ） C、 ${(x l o g_{a} x)}^{^{'}} = l o g_{a} x + \frac{1}{l n a}$ （ $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ） D、 ${(c o s^{2} x)}^{^{'}} = - s i n 2 x$

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17. 下列求函数的导数正确的是（）

A、 ${[l n (2 x + 1)]}^{^{'}} = \frac{2}{2 x + 1}$ B、 ${(e^{2})}^{^{'}} = 2 e$ C、 ${[(\sqrt{2 x - 1})]}^{^{'}} = \frac{1}{\sqrt{2 x - 1}}$ D、 ${[c o s (2 x + \frac{π}{3})]}^{^{'}} = - 2 s i n (2 x + \frac{π}{3})$

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18. 设定义在R上的函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的导函数分别为 $f^{'} (x)$ 和 $g^{'} (x)$ ，若 $f (x + 2) - g (1 - x) = 2$ ， $f^{'} (x) = g^{'} (x + 1)$ ，且 $g (x + 1)$ 为奇函数，则下列说法中一定正确的是（）

A、 $g (1) = 0$ B、函数 $g^{'} (x)$ 的图象关于 $x = 2$ 对称 C、 $\sum_{k = 1}^{2021} f (k) g (k) = 0$ D、 $\sum_{k = 1}^{2022} g (k) = 0$

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三、填空题

19. 若 $f (x) = t a n x$ ，则 $f^{'} (x) =$ ．

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20. 函数 $f (x) = \frac{l n (x + 1)}{x}$ ，则 $f^{'} (2)$ =

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21. 函数y＝x﹣sin $\frac{x}{2}$ •cos $\frac{x}{2}$ 的导数 $y^{'} =$

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22. 曲线 $f (x) = (3 x + 2) l n x + 1$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程为．

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23. 已知函数 $f (x) = \frac{s i n (x + \frac{π}{6}) + x + 1}{2 + c o s x}$ ， $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数，则 $f (- 2023) + f^{'} (- 2023) + f (2023) - f^{'} (2023) =$ ．

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24. 已知 ${(x^{2} - 3 x + 2)}^{5} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{10} x^{10}$ ，则 $a_{1} + 2 a_{2} + 3 a_{3} + \dots + 10 a_{10} =$ .

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四、解答题

25. 求下列函数的导数：

(1)、 $y = x + \frac{1}{x^{2}}$ ；

(2)、 $y = e^{x} s i n x$ ；

(3)、 $y = x l n (x^{2} + 3 x)$ ．

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26.

(1)、求函数 $f (x) = \frac{e^{x} c o s x}{x}$ 的导函数；

(2)、求曲线 $f (x) = 2 + x l n x$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程．

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27. 已知函数 $f (x) = x^{3} + f^{'} (1) x^{2} - 2 x$ ，其中 $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数.

(1)、求 $f^{'} (1)$ ；

(2)、求曲线 $y = f (x)$ 过原点的切线方程.

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28. 已知函数 $f (x) = \frac{l n x}{x}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的导数；

(2)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， 0)$ 处的切线方程.

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