2023-2024学年高中数学人教A版选修二 4.4 数学归纳法同步练习

试卷更新日期：2023-09-10 类型：同步测试

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一、选择题

1. 用数学归纳法证明： $2 + 4 + 6 + 8 + ⋯ + 2^{n} = 2^{n - 1} + 2^{2 n - 2} (n \in N^{*})$ 的过程中，由 $n = k$ 递推到 $n = k + 1$ 时等式左边增加的项数为（）

A、1 B、 $2^{k - 1}$ C、 $2^{k}$ D、 $2^{k} + 1$

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2. 用数学归纳法证明 $\frac{2^{n} - 1}{2^{n} + 1} > \frac{n}{n + 1}$ 对任意 $n > k$ $(n ， k \in N)$ 的自然数都成立，则 $k$ 的最小值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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3. 用数学归纳法证明等式 $(n + 1) (n + 2) ⋯ ⋯ (n + n) = 2^{n} \cdot 1 \cdot 3 ⋯ ⋯ (2 n - 1) (n \in N^{*})$ ，从 $k$ 到 $k + 1$ 左端需要增乘的代数式为（）

A、 $\frac{2 k + 3}{k + 1}$ B、 $\frac{2 k + 1}{k + 1}$ C、 $2 k + 1$ D、 $2 (2 k + 1)$

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4. 用数学归纳法证明不等式 $\frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + \frac{1}{n + 3} + ⋯ \frac{1}{2 n} > \frac{23}{24} (n \geq 2)$ 的过程中，由 $n = k$ 递推到 $n = k + 1$ 时，不等式左边（）

A、增加了一项 $\frac{1}{2 (k + 1)}$ B、增加了一项 $\frac{1}{2 k + 1} + \frac{1}{2 (k + 1)}$ C、增加了 $\frac{1}{2 (k + 1)}$ ，又减少了 $\frac{1}{k + 1}$ D、增加了 $\frac{1}{2 k + 1} + \frac{1}{2 (k + 1)}$ ，又减少了 $\frac{1}{k + 1}$

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5. 用数学归纳法证明 $1 + 2 + 3 + \cdot \cdot \cdot + n^{2} = \frac{(1 + n^{2}) n^{2}}{2}$ 时，由 $n = k$ 到 $n = k + 1$ ，左边需要添加的项数为（）

A、1 B、k C、 $k^{2}$ D、 $2 k + 1$

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6. 用数学归纳法证明下列等式： $- 1 + 3 - 5 + 7 + \dots + {(- 1)}^{n} (2 n - 1) + {(- 1)}^{n + 1} (2 n + 1) + {(- 1)}^{n + 2} (2 n + 3) = {(- 1)}^{n + 2} (n + 2)$ ．要验证当 $n = 1$ 时等式成立，其左边的式子应为（）

A、-1 B、 $- 1 + 3$ C、 $- 1 + 3 - 5$ D、 $- 1 + 3 - 5 + 7$

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7. 用数学归纳法证明不等式1＋ $\frac{1}{2}$ ＋ $\frac{1}{4}$ ＋…＋ $\frac{1}{2^{n - 1}}$ > $\frac{127}{64}$ (n∈N^*)成立，其初始值至少应取（）

A、7 B、8 C、9 D、10

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8. 用数学归纳法证明“不等式 $\frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + \frac{1}{n + 3} + ⋯ + \frac{1}{3 n + 1} > \frac{25}{24}$ 对一切正整数 $n$ 恒成立”的第二步中，已经假设 $n = k$ 时不等式成立，推理 $n = k + 1$ 成立的步骤中用到了放缩法，这个放缩过程主要是证明（）

A、 $\frac{1}{3 k + 2} + \frac{1}{3 k + 3} - \frac{1}{3 k + 4} > 0$ B、 $\frac{1}{3 k + 2} + \frac{1}{3 k + 4} - \frac{2}{3 k + 3} > 0$ C、 $\frac{1}{3 k + 1} + \frac{1}{3 k + 3} - \frac{2}{3 k + 2} > 0$ D、 $\frac{1}{3 k + 2} + \frac{1}{3 k + 4} - \frac{1}{3 k + 3} > 0$

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二、多项选择题

9. 已知各项均为正数的数列 ${a_{n}}$ 的前n项之积为 $T_{n}$ ，且 $a_{n + 1} = {\begin{array}{l} 2 a_{n} & 0 < a_{n} \leq 1 \\ \frac{1}{a_{n}} & a_{n} > 1 \end{array} (n \in N^{*})$ ，则（）

A、当 $n \geq 2$ 时， $0 < a_{n} \leq 2$ B、当 $\frac{1}{2} < a_{1} < 1$ 时， $T_{4 n} = 1$ C、无论 $a_{1}$ 取何值，均存在 $λ \in N^{*}$ 使得 $a_{n + λ} = a_{n}$ 对任意 $n \in N^{*}$ 成立 D、无论 $a_{1}$ 取何值，数列 ${a_{n}}$ 中均存在与 $a_{1}$ 的数值相同的另一项

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10. 已知数列 ${a_{n}}, {b_{n}}$ 均为递增数列， ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}, {b_{n}}$ 的前n项和为 $T_{n},$ 且满足 $a_{n} + a_{n + 1} = 2 n, b_{n} \cdot b_{n + 1} = 2^{n} (n \in N^{*})$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $0 < a_{1} < 1$ B、 $1 < b_{1} < \sqrt{2}$ C、 $S_{2 n} < T_{2 n}$ D、 $S_{2 n} \geq T_{2 n}$

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三、填空题

11. 用数学归纳法证明“ $1 + a + a^{2} + \dots + a^{n + 1} = \frac{1 - a^{n + 2}}{1 - a} (a \neq 1)$ ”，在验证 $n = 1$ 成立时，等号左边的式子是.

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12. 用数学归纳法证明“ $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ⋯ + \frac{1}{2^{n} - 1}$ ＜n（n∈N*，n＞1）”时，由n＝k（k＞1）不等式成立，推证n＝k+1时，则不等式左边增加的项数共项．

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13. 毕达哥拉斯学派是古希腊哲学家毕达哥拉斯及其信徒组成的学派，他们把美学视为自然科学的一个组成部分．美表现在数量比例上的对称与和谐，和谐起于差异的对立，美的本质在于和谐．他们常把数描绘成沙滩上的沙粒或小石子，并由它们排列而成的形状对自然数进行研究．如图所示，图形的点数分别为 $1 ， 5 ， 12 ， 22 ， ⋯$ ，总结规律并以此类推下去，第 $8$ 个图形对应的点数为，若这些数构成一个数列，记为数列 ${a_{n}}$ ，则 $a_{1} + \frac{a_{2}}{2} + \frac{a_{3}}{3} + ⋯ + \frac{a_{21}}{21} =$ ．

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14. 已知向量 $\vec{a_{1}} = (1 ， 1)$ ， $\vec{b_{n}} = (\frac{1}{n} ， 0)$ ， $\vec{a_{n}} - \vec{a_{n + 1}} = (\vec{a_{n}} \cdot \vec{b_{n + 1}}) \vec{b_{n + 1}} (n \in N^{*})$ ，则 $\vec{a_{3}} \cdot \vec{b_{4}} =$ ， $\frac{\vec{a_{1}} \cdot \vec{b_{3}}}{2} + \frac{\vec{a_{2}} \cdot {\vec{b}}_{4}}{3} + ⋯ + \frac{\vec{a_{n}} \cdot \vec{b_{n + 2}}}{n + 1} =$ .

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四、解答题

15. 用数学归纳法证明： $(n + 1) (n + 2) \cdot … \cdot (n + n) = 2^{n} \cdot 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot … \cdot (2 n - 1) (n \in N^{*})$ ．

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16. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，其中 $a_{n} = \frac{S_{n}}{n (2 n - 1)}$ 且 $a_{1} = \frac{1}{3} (n \in N^{*})$ .

(1)、试求： $a_{2}$ ， $a_{3}$ 的值，并猜想数列 ${a_{n}}$ 的通项公式 $a_{n}$ ；

(2)、用数学归纳法加以证明.

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17. 已知数列 $a_{n} = {(- 1)}^{n} (2 n - 1)$ ， $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前n项和 $(n \in N^{*})$ .

(1)、求 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ ， $S_{4}$ ；

(2)、根据（1）的计算结果，猜想 $S_{n}$ 的表达式，并用数学归纳法进行证明.

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18. 在数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 中， $a_{1} = b_{1} = \frac{1}{2}$ ，且当 $n \geq 2$ （ $n$ 为正整数）时， $a_{n} = a_{n - 1} b_{n}$ ， $b_{n} = \frac{b_{n - 1}}{1 - a_{n - 1}^{2}}$ ．

(1)、计算 $a_{2}$ ， $b_{2}$ ， $a_{3}$ ， $b_{3}$ ， $a_{4}$ ， $b_{4}$ 的值，并猜测数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、用数学归纳法证明（1）中的猜测．

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19. 数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} = \sqrt{a_{n}}$ ， $a_{1} = \frac{1}{2} ， n \in N^{*}$ .

(1)、证明： $0 < a_{n + 1}^{2} - a_{n}^{2} \leq \frac{1}{4}$ ；

(2)、若数列 ${b_{n}}$ 满足 $\sqrt{b_{n}} = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} - \frac{a_{n}}{a_{n + 1}}$ ，设数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，证明： $S_{n} < \frac{3}{4}$ .

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20. 设数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = 2 a_{n} - 3 n + 5$ .

(1)、求 $a_{2}$ ， $a_{3}$ ， $a_{4}$ ，并猜想数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、用数学归纳法证明（1）中的猜想.

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21. 在数列 ${a_{n}}$ 、 ${b_{n}}$ 中， $a_{1} = 2$ ， $b_{1} = 4$ ，且 $a_{n}$ ， $b_{n}$ ， $a_{n + 1}$ 成等差数列， $b_{n}$ ， $a_{n + 1}$ ， $b_{n + 1}$ 成等比数列（ $n \in N^{*}$ ）．求 $a_{2}$ ， $a_{3}$ ， $a_{4}$ 及 $b_{2}$ ， $b_{3}$ ， $b_{4}$ ，由此猜测 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式，并证明你的结论．

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22. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} \in N^{*} ， a_{1} \leq 24$ ，且 $a_{n + 1} = {\begin{array}{l} 2 a_{n} ， a_{n} \leq 12 ， \\ 2 a_{n} - 24 ， a_{n} > 12 \end{array} (n = 1 ， 2 ， ⋯)$ .记集合 $M = {a_{n} ∣ n \in N^{*}}$ .

(1)、若 $a_{1} = 2$ ，写出集合 $M$ 的所有元素；

(2)、若集合 $M$ 存在一个元素是3的倍数，证明： $M$ 的所有元素都是3的倍数；

(3)、求集合 $M$ 的元素个数的最大值.

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