2023-2024学年高中数学人教A版选修二 4.3 等比数列同步练习

试卷更新日期：2023-09-10 类型：同步测试

进入出卷网下载

一、选择题

1. 河南洛阳龙门石窟是中国石刻艺术宝库，现为世界非物质文化遗产之一.某洞窟的浮雕共7层，它们构成一幅优美的图案.若从下往上计算，从第二层开始，每层浮雕像的个数依次是下层个数的2倍，且第三层与第二层浮雕像个数的差是16，则该洞窟的浮雕像的总个数为（）

A、1016 B、512 C、128 D、1024

查看试题解析
2. 在递增等比数列 ${a_{n}}$ 中，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $6 a_{7}$ 是 $a_{8}$ 和 $a_{9}$ 的等差中项，则 $\frac{S_{6}}{S_{3}} =$ （）

A、28 B、20 C、18 D、12

查看试题解析
3. 设 $T_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前n项积，若 $a_{n} + 2 a_{n + 1} = 0$ ， $n \in N^{*}$ 且 $a_{2} - a_{3} = 192$ ，当 $T_{n}$ 取得最小值时，则 $n =$ （）

A、8 B、9 C、10 D、11

查看试题解析
4. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项积为 $T_{n}$ ，若 $T_{7} > T_{9} > T_{8}$ ，则（）

A、 $q < 0$ B、 $a_{1} < 0$ C、 $T_{15} < 1 < T_{16}$ D、 $T_{16} < 1 < T_{17}$

查看试题解析
5. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{3} = 9$ ，公比 $q = \frac{1}{3}$ ，则 $a_{3}$ 与 $a_{5}$ 的等比中项是（）

A、1 B、3 C、 $\pm 1$ D、 $\pm 3$

查看试题解析
6. 在数列 ${a_{n}}$ 中，若 $a_{n} = 2^{n} + 2^{n - 1} \times 3 + 2^{n - 2} \times 3^{2} + 2^{n - 3} \times 3^{3} + ⋯ + 2^{2} \times 3^{n - 2} + 2 \times 3^{n - 1} + 3^{n}$ ，则 $a_{2023} =$ （）

A、 $3^{2023} - 2^{2023}$ B、 $3 \times 2^{2023} - 3^{2024}$ C、 $3^{2024} - 2^{2024}$ D、 $2 \times 3^{2023} - 2^{2024}$

查看试题解析
7. “巴赫十二平均律”是世界上通用的音乐律制，它与五度相生律、纯律并称三大律制 $.$ “十二平均律”将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 $\sqrt[12]{2} .$ 而早在 $16$ 世纪，明代朱载最早用精湛的数学方法近似计算出这个比例，为这个理论的发展做出了重要贡献 $.$ 若第一个单音的频率为 $f$ ，则第四个单音的频率为（）

A、 $5 f$ B、 $2^{\frac{1}{4}} f$ C、 $4 f$ D、 $2^{\frac{1}{3}} f$

查看试题解析
8. 若数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = - 1$ ，则“ $\forall m$ ， $n \in N^{*}$ ， $a_{m + n} = a_{m} a_{n}$ ”是“ ${a_{n}}$ 为等比数列”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

查看试题解析
9. 已知正项等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1 ， S_{n}$ 为 ${a_{n}}$ 前n项和， $S_{5} = 5 S_{3} - 4$ ，则 $S_{4} =$ （）

A、7 B、9 C、15 D、30

查看试题解析
10. 已知 ${a_{n}}$ 为等比数列， $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $a_{n + 1} = 2 S_{n} + 2$ ，则 $a_{4}$ 的值为（）

A、3 B、18 C、54 D、152

查看试题解析
11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一；享有“数学王子“的称号.用他名字定义的函数称为高斯函数 $f (x) = [x]$ ，其中 $[x]$ 表示不超过x的最大整数，已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 2$ ， $a_{2} = 6$ ， $a_{n + 2} + 5 a_{n} = 6 a_{n + 1}$ ，若 $b_{n} = [\log_{5} a_{n + 1}]$ ， $S_{n}$ 为数列 ${\frac{1000}{b_{n} \cdot b_{n + 1}}}$ 的前n项和，则 $[S_{2023}] =$ （）

A、999 B、749 C、499 D、249

查看试题解析
12. 已知非常数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 2} = \frac{α a_{n + 1} + β a_{n}}{α + β} (n \in N^{*})$ ，若 $α + β \neq 0$ ，则（）

A、存在 $α$ ， $β$ ，对任意 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ，都有 ${a_{n}}$ 为等比数列 B、存在 $α$ ， $β$ ，对任意 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ，都有 ${a_{n}}$ 为等差数列 C、存在 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ，对任意 $α$ ， $β$ ，都有 ${a_{n}}$ 为等差数列 D、存在 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ，对任意 $α$ ， $β$ ，都有 ${a_{n}}$ 为等比数列

查看试题解析

二、多项选择题

13. 设数列 ${a_{n}}$ 、 ${b_{n}}$ 都是等比数列，则下列数列一定是等比数列的是（）

A、 ${a_{n} + b_{n}}$ B、 ${a_{n} b_{n}}$ C、 ${m a_{n}} (m \in R)$ D、 ${\frac{a_{n}}{b_{n}}}$

查看试题解析
14. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{2 + 3 a_{n}} (n \in N^{*})$ ，则（）

A、 ${\frac{1}{a_{n}} + 3}$ 为等比数列 B、 ${a_{n}}$ 的通项公式为 $a_{n} = \frac{1}{2^{n - 1} - 3}$ C、 ${a_{n}}$ 为递增数列 D、 ${\frac{1}{a_{n}}}$ 的前n项和 $T_{n} = 2^{n + 2} - 3 n - 4$

查看试题解析
15. 已知递增数列 ${a_{n}}$ 的各项均为正整数，且其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则（）

A、存在公差为1的等差数列 ${a_{n}}$ ，使得 $S_{14} = 2023$ B、存在公比为2的等比数列 ${a_{n}}$ ，使得 $S_{3} = 2023$ C、若 $S_{10} = 2023$ ，则 $a_{4} ⩽ 285$ D、若 $S_{10} = 2023$ ，则 $a_{10} ⩾ 208$

查看试题解析
16. 记正项等比数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，则下列数列为等比数列的有（）

A、 ${a_{n + 1} + a_{n}}$ B、 ${a_{n + 1} a_{n}}$ C、 ${\frac{S_{n}}{a_{n}}}$ D、 ${S_{n} S_{n + 1}}$

查看试题解析
17. 已知正项等比数列 ${a_{n}} ， \forall k \in N^{*} ， a_{k + 1} < a_{k}$ ，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $3 a_{4} ， \frac{7}{2} a_{5} ， 2 a_{6}$ 成等差数列， $S_{5} = 62$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $a_{n} = {(\frac{1}{2})}^{n - 6}$ B、 $a_{n} = {(\frac{1}{3})}^{n - 5}$ C、 $S_{n} = 64 - \frac{1}{2^{n - 6}}$ D、 $S_{n} = {(\frac{1}{3})}^{n - 5} - 243$

查看试题解析
18. 已知数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 满足， $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{a_{n} + 1}$ ， $b_{n} = \frac{1}{(n + 1) a_{n}}$ ，若 $T_{100} = b_{1} + \frac{b_{2}}{2^{2}} + \frac{b_{3}}{3^{2}} + ⋯ + \frac{b_{100}}{10 0^{2}}$ ，则（）

A、 $a_{n} = n$ B、 $b_{n} = \frac{n}{n + 1}$ C、 $T_{100} = \frac{100}{101}$ D、 $T_{100} = \frac{99}{100}$

查看试题解析

三、填空题

19. 记 $S_{n}$ 为等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{3} - a_{1} = 3$ ， $a_{4} - a_{2} = 6$ ，则 $S_{5} =$ .

查看试题解析
20. 设等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $\frac{S_{8}}{S_{4}} = 6$ ，则 $\frac{S_{16}}{S_{4}} =$ .

查看试题解析
21. 设等比数列 ${a_{n}}$ 的公比为2，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{4} = 2 S_{2} + 1$ ，则 $a_{3} =$ ．

查看试题解析
22. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} + a_{4} = 1$ ， $a_{3} + a_{5} = 3$ ，则 $a_{5} + a_{7}$ 等于．

查看试题解析
23. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前三项和为 $84$ ，且 $a_{2} - a_{5} = 21$ ，则 ${a_{n}}$ 的公比为．

查看试题解析
24. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} + a_{2} = 20$ ， $a_{2} + a_{3} = 80$ .数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = l o g_{2} a_{n} (n \in N^{*})$ ，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $\frac{b_{n}}{S_{n} + 8} \leq λ$ 恒成立，则 $λ$ 的最小值为.

查看试题解析

四、解答题

25. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{n + 1} = 2 S_{n} + 1$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = n a_{n} (n \in N^{*})$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

查看试题解析
26. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 3$ ， $2 S_{n} = 3 a_{n} - 3$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设数列 ${b_{n}}$ 满足： $b_{n} = a_{n} + l o g_{3} (3 a_{n})$ ，记 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求 $T_{n}$ .

查看试题解析
27. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $S_{n}$ 是其前 $n$ 项的和， $5 S_{2} = 11 S_{1}$ ， $\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = 2 - a_{n + 1}$ .

(1)、求 $a_{1}$ ， $a_{2}$ 的值，并证明 ${\frac{1}{a_{n}} - 1}$ 是等比数列；

(2)、证明： $n - 1 + \frac{1}{2^{n}} < S_{n} < n - \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{n + 1}}$ .

查看试题解析
28. 已知 $S_{n}$ 为等比数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，若 $4 a_{2}$ ， $2 a_{3}$ ， $a_{4}$ 成等差数列，且 $S_{4} = 8 a_{2} - 2$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{a_{n}}{(a_{n} + 2) (a_{n + 1} + 2)}$ ，且数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，证明： $\frac{1}{12} \leq T_{n} < \frac{1}{4}$ .

查看试题解析
29. 已知数列 ${a_{n}}$ 各项都不为0，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $3 a_{n} - 2 = S_{n}$ ，数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{1} = - 1 ， b_{n + 1} = b_{n} + n$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、令 $c_{n} = \frac{2 a_{n} b_{n}}{n + 1}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ .

查看试题解析
30. 已知数列 ${a_{n}}$ 的各项均为正数， $a_{1} = 1$ ，给出以下三个条件：
① $a_{n + 2} = 4 a_{n}$ ；② ${a_{n}}$ 为等比数列；③ $a_{n} a_{n + 2} = 4^{n}$ ．

注：若选择不同的组合分别解答，按第一个解答计分．

(1)、从这三个条件①②③中选择两个条件，证明另一个条件成立；

(2)、求数列 ${a_{n} \cdot l o g_{2} a_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ ．

查看试题解析

2023-2024学年高中数学人教A版选修二 4.3 等比数列 同步练习

一、选择题

二、多项选择题

三、填空题

四、解答题

2023-2024学年高中数学人教A版选修二 4.3 等比数列同步练习