2023-2024学年高中数学人教A版选修二 4.2 等差数列同步练习

试卷更新日期：2023-09-10 类型：同步测试

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一、选择题

1. 我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题： “今有善走男，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，问日增几何?"，该问题中， “善走男” 第5日所走的路程里数为（）

A、110 B、120 C、130 D、140

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2. $5 G$ 基站建设是众多“新基建”的工程之一，截至 $2022$ 年 $7$ 月底， $A$ 地区已经累计开通 $5 G$ 基站 $300$ 个，未来将进一步完善基础网络体系，加快推进 $5 G$ 网络建设．已知 $2022$ 年 $8$ 月该地区计划新建 $50$ 个 $5 G$ 基站，以后每个月比上一个月多建 $40$ 个，则 $A$ 地区到 $2023$ 年 $12$ 月底累计开通 $5 G$ 基站的个数为（）

A、5650 B、5950 C、6290 D、6590

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3. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{3} + a_{4} = 4$ ，则 $S_{6} =$ （）

A、6 B、12 C、18 D、24

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4. 南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中，研究了二阶等差数列．若 ${a_{n + 1} - a_{n}}$ 是公差不为零的等差数列，则称数列 ${a_{n}}$ 为二阶等差数列．现有一个“三角垛”，共有40层，各层小球个数构成一个二阶等差数列，第一层放1个小球，第二层放3个小球，第三层放6个小球，第四层放10个小球， $⋯$ ，则第40层放小球的个数为（）

A、1640 B、1560 C、820 D、780

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5. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n} ， a_{1} = \frac{1}{3} ， a_{2} + a_{5} = 4$ ，则 $S_{9}$ 等于（）

A、27 B、24 C、21 D、18

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6. 已知数列 ${a_{n}}$ 的各项均为正数，记数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ，且满足 $2 S_{n} = \frac{a_{n}^{2} + 1}{a_{n}} (n \in N^{*})$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $a_{1} = 2$ B、 $a_{2021} \cdot a_{2022} < 1$ C、 $S_{n} = n$ D、 $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + ⋯ + \frac{1}{a_{n}} = \sqrt{n}$

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7. 已知数列 ${\frac{1}{2 n - 11}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，则使得 $S_{n}$ 最小时的n是（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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8. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 1$ ， $2 S_{n} = a_{n + 1} a_{n}$ ，则 $S_{20} =$ （）

A、210 B、110 C、50 D、55

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二、多项选择题

9. 已知 ${a_{n}}$ 为等差数列，其前 $n$ 项和 $S_{n}$ ，若 $a_{1} > 0$ ， $S_{10} = S_{20}$ ，则（）

A、公差 $d < 0$ B、 $a_{16} < 0$ C、 $S_{n} \leq S_{15}$ D、当且仅当 $S_{n} < 0$ 时 $n \geq 32$

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10. 设 $S_{n}$ 是公差为 $d$ （ $d \neq 0$ ）的无穷等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，则下列命题正确的是（）

A、若 $d < 0$ ，则 $S_{1}$ 是数列 ${S_{n}}$ 的最大项 B、若数列 ${S_{n}}$ 有最小项，则 $d > 0$ C、若数列 ${S_{n}}$ 是递减数列，则对任意的： $n \in N^{*}$ ，均有 $S_{n} < 0$ D、若对任意的 $n \in N^{*}$ ，均有 $S_{n} > 0$ ，则数列 ${S_{n}}$ 是递增数列

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11. 已知递增的正整数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ．以下条件能得出 ${a_{n}}$ 为等差数列的有（）

A、 $S_{n} = n^{2} + n (n \in N^{*})$ B、 $S_{n} = n^{2} + 1 (n \in N^{*})$ C、 $a_{n + 2} = a_{n} + 2 (n \in N^{*})$ D、 $a_{2 n} = 2 a_{n} (n \in N^{*})$

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12. 下列说法错误的有（）

A、若a ， b ， c成等差数列，则 $a^{2} ， b^{2} ， c^{2}$ 成等差数列 B、若a ， b ， c成等差数列，则 $\log_{2} a ， \log_{2} b ， \log_{2} c$ 成等差数列 C、若a ， b ， c成等差数列，则 $a + 2 ， b + 2 ， c + 2$ 成等差数列 D、若a ， b ， c成等差数列，则 $2^{a} ， 2^{b} ， 2^{c}$ 成等差数列

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三、填空题

13. 已知正项数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，满足 $4 S_{n} = a_{n}^{2} + 2 a_{n} - 8$ ，则 $a_{8} =$ ．

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14. 记 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前n项和.已知 $\frac{3 S_{n}}{n} + n = 3 a_{n} + 1$ ， $a_{1} = - \frac{1}{3}$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的通项公式，是.

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15. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 2$ ， $a_{n + 2} - a_{n} = (- 1)^{n} + 2$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的前30项和为 .

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16. 将数列 ${a_{n}}$ 中的项排成下表：
$a_{1}$

$a_{2}$ ， $a_{3}$

$a_{4}$ ， $a_{5}$ ， $a_{6}$ ， $a_{7}$

$a_{8}$ ， $a_{9}$ ， $a_{10}$ ， $a_{11}$ ， $a_{12}$ ， $a_{13}$ ， $a_{14}$ ， $a_{15}$

…

已知各行的第一个数 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{4}$ ， $a_{8}$ ， …构成数列 ${b_{n}}$ ， $b_{2} = 3$ 且 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $S_{n + 1} + S_{n - 1} = 2 S_{n} + 2$ （ $n \in N *$ 且 $n \geq 2$ ），从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等差数列，且公差为同一个常数.若 $a_{130} = 19$ ，则第6行的所有项的和为.

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四、解答题

17. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{3} = 5$ ， $a_{7} = 13$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{1}{(2 n + 1) a_{n}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ ．

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18. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{2} + a_{5} = 2 (a_{3} + 1)$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，求数列 ${\frac{1}{n + S_{n}}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1 ， a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{a_{n} + 1} (n \in N^{*})$ .

(1)、证明：数列 ${\frac{1}{a_{n}}}$ 是等差数列，并求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = a_{n} a_{n + 1}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 的奇数项是公差为 $d_{1}$ 的等差数列偶数项是公差为 $d_{2}$ 的等差数列， $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前n项和， $a_{1} = 1 ， a_{2} = 2$ ．

(1)、若 $S_{4} = 11 ， a_{10} = 2 a_{7}$ ，求 $a_{12}$ ；

(2)、已知 $S_{15} = 15 a_{8}$ ，且对任意 $n \in N^{*} ， a_{n} < a_{n + 1}$ 恒成立，求数列 ${a_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ ．

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21. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{4} = 4 ， S_{n}$ 为 ${a_{n}}$ 的前n项和， $S_{10} = 55$ ，数列 ${b_{n}}$ 满足 $l o g_{2} b_{1} + l o g_{2} b_{2} + ⋯ + l o g_{2} b_{n} = \frac{n (n + 1)}{2}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${(- 1)^{n} a_{n} b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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22. 在① $S_{3} = a_{10} - 2$ ， ② $S_{n} = n^{2} + b n$ （b为常数），③ $\frac{S_{n + 1}}{n + 1} - \frac{S_{n}}{n} = 1$ 这三个条件中选择一个，补充在下面横线中，并给出解答．
已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $S_{4} = 27 + S_{1}$ ，且____．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${\frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．
注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

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