2023-2024学年高中数学人教A版必修一5.6 函数y=Asin（ωx+φ）同步练习

试卷更新日期：2023-09-10 类型：同步测试

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一、选择题

1. 将函数 $f (x) = s i n (ω x + 1)$ （ $ω > 0$ ）的图象向右平移1个单位长度后，得到的图象关于原点对称，则 $ω$ 的最小值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、2 D、4

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2. 将函数 $y = f (x)$ 的图象上各点的横坐标伸长到原来的 $2$ 倍（纵坐标不变），得到函数 $y = s i n (x - \frac{π}{6})$ 的图象，则（）

A、 $f (x) = s i n (2 x - \frac{π}{3})$ B、 $f (x) = s i n (2 x - \frac{π}{6})$ C、 $f (x) = s i n (\frac{x}{2} - \frac{π}{6})$ D、 $f (x) = s i n (\frac{x}{2} - \frac{π}{12})$

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3. 函数 $f (x) = s i n (2 x + φ)$ 的图像向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位得到函数 $g (x)$ 的图像，若函数 $g (x)$ 是偶函数，则 $t a n φ =$ （）

A、 $- \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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4. 某正弦型函数的图象如图，则该函数的解析式可以为（）

A、 $y = 2 s i n (\frac{x}{2} - \frac{π}{6})$ B、 $y = 2 s i n (\frac{x}{2} + \frac{5 π}{12})$ C、 $y = - 2 s i n (\frac{3 x}{2} - \frac{3 π}{4})$ D、 $y = - 2 s i n (\frac{3 x}{2} + \frac{π}{4})$

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5. 为了得到函数 $y = s i n 2 x$ 的图像，只需将函数 $f (x) = s i n (2 x + \frac{π}{6})$ 的图像（）

A、向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位 B、向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位 C、向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位 D、向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位

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6. 为了得到函数 $y = s i n (2 x + \frac{π}{3})$ 的图象，只需要把函数 $y = s i n x$ 的图象上（）

A、各点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ ，再向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度 B、各点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ ，再向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度 C、各点的横坐标伸长到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，再向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度 D、各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度

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7. 已知函数 $f (x) = c o s (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示， $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是 $f (x)$ 的两个零点，若 $x_{2} = 4 x_{1}$ ，则下列为定值的量是（）

A、 $φ$ B、 $ω$ C、 $\frac{φ}{ω}$ D、 $ω + φ$

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8. 函数 $f (x) = s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）

A、 $f (\frac{π}{12}) = 0$ B、 $ω = 4$ C、 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{6} ， 0)$ 对称 D、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = - \frac{π}{4}$ 对称

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9. 已知函数 $f (x) = 3 s i n (ω x + φ) (x \in R ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x) = 3 s i n (\frac{1}{3} x - \frac{π}{12})$ B、 $f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、不等式 $f (x) \geq \frac{3}{2}$ 的解集为 $[6 k π + \frac{π}{4} ， 6 k π + \frac{9 π}{4}]$ ， $k \in Z$ D、将 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度后所得的函数图象在 $[6 π ， 8 π]$ 上单调递增

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10. 如图，函数 $f (x) = s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的图象交坐标轴于点B，C，D，直线BC与曲线 $y = f (x)$ 的另一交点为A．若 $C (\frac{1}{2} ， 0)$ ， $△ A B D$ 的重心为 $G (1 ， 0)$ ，则（）

A、函数 $f (x)$ 在 $[3 ， 4]$ 上单调递减 B、直线 $x = 4$ 是函数 $f (x)$ 图象的一条对称轴 C、 $c o s ∠ B A D = \frac{\sqrt{7}}{14}$ D、将 $y = c o s \frac{2 π x}{3}$ 的图象向左平移 $\frac{1}{4}$ 个单位长度，得到 $f (x)$ 的图象

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二、多项选择题

11. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} s i n x c o s x - c o s^{2} x + \frac{1}{2}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x) = s i n (2 x - \frac{π}{6})$ B、函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ C、函数 $f (x)$ 的图象的对称轴方程为 $x = k π + \frac{π}{12} (k \in Z)$ D、函数 $f (x)$ 的图象可由 $y = c o s 2 x$ 的图象向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度得到

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12. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ ，则（）

A、若 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ ，则 $ω = 2$ B、若 $ω = 4$ ，则 $f (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{8}]$ 上的最大值为 $\frac{1}{2}$ C、若 $f (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上单调递增，则 $0 < ω \leq \frac{1}{3}$ D、若 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位，得到的函数为偶函数，则 $ω$ 的最小值为 $\frac{3}{2}$

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13. 若函数 $f (x) = M s i n (M x + φ) - M (M > 0 ， 0 < φ < \frac{π}{2})$ 同时满足以下条件：① $x_{1} ， x_{2}$ 是函数 $f (x)$ 的零点，且 ${| x_{1} - x_{2} |}_{m i n} = \frac{2 π}{3}$ ；② $\forall x \in R$ ，有 $f (x + \frac{π}{9}) = f (- x)$ ，则（）

A、 $f (x) = 3 s i n (3 x + \frac{π}{3}) - 3$ B、将 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度得到的图象解析式为 $y = 3 c o s (3 x + \frac{π}{3}) - 3$ C、 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{16} ， \frac{π}{3}]$ 上单调递减 D、直线 $x = \frac{5 π}{18}$ 是曲线 $y = f (x)$ 的一条对称轴

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14. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + φ) + c o s (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的最小正周期为 $π$ ，且 $f (x)$ 的图象过点 $(0 ， \sqrt{2})$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最大值为 $\sqrt{2}$ B、 $f (x)$ 的图象一条对称轴为 $\frac{π}{4}$ C、 $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{2})$ 上单调递减 D、把 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到函数 $g (x) = \sqrt{2} c o s (2 x + \frac{π}{6})$ 的图象

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15. 将函数 $f (x) = s i n ω x + a c o s ω x (a > 0 ， ω > 0)$ 图象上点的横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，然后将所得图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位，得到函数 $g (x) = 2 c o s (2 x + φ)$ 的图象.则下列说法中正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ B、函数 $g (x)$ 的图象有一条对称轴为 $x = - \frac{π}{12}$ C、函数 $f (x)$ 的单调递增区间为 $[2 k π + \frac{π}{6} ， 2 k π + \frac{7 π}{6}] (k \in Z)$ D、函数 $g (x)$ 在区间 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上的值域为 $[- \sqrt{3} ， 2]$

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16. 已知函数 $f (x) = s i n (x + \frac{π}{4})$ ，则下列说法正确的有（）

A、若 $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | = 2$ ，则 $| x_{1} - x_{2} | _{m i n} = π$ B、将 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度后得到的图象关于 $y$ 轴对称 C、若 $f (ω x)$ 在 $[0 ， π]$ 上有且仅有4个零点，则 $ω$ 的取值范围为 $[\frac{15}{4} ， \frac{19}{4})$ D、 $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数，令 $g (x) = f (x) \cdot f^{'} (x)$ .则 $g (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{4})$ 上的值域为 $(0 ， 1)$

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17. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， 0 < φ < 2 π)$ 的部分图象如图所示，则（）

A、 $φ = \frac{4 π}{3}$ B、 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{5 π}{6} ， - \frac{π}{2}]$ 上单调递增 C、将函数 $y = c o s x$ 图象上各点横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ （纵坐标不变），再将所得图象向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度，可得函数 $f (x)$ 的图象 D、函数 $y = 4 f (x) + \sqrt{2 x + \frac{π}{3}}$ 的零点个数为7

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18. 如图所示，函数 $f (x) = \sqrt{3} t a n (2 x + φ)$ ， $(| φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象与坐标轴分别交于点 $D$ ， $E$ ， $F$ ，且 $△ D E F$ 的面积为 $\frac{π}{4}$ ，以下结论正确的是（）

A、点 $D$ 的纵坐标为 $\sqrt{3}$ B、 $(- \frac{π}{3} ， \frac{π}{6})$ 是 $f (x)$ 的一个单调递增区间 C、对任意 $k \in Z$ ，点 $(- \frac{π}{12} + \frac{k π}{4} ， 0)$ 都是 $f (x)$ 图象的对称中心 D、 $f (x)$ 的图象可由 $y = \sqrt{3} t a n x$ 图象上各点的横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位得到

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三、填空题

19. 函数 $f (x) = 2 s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图， $A ， B ， C$ 是曲线 $y = f (x)$ 与坐标轴的交点，过点 $C$ 的直线 $y = 1$ 与曲线 $y = f (x)$ 的另一交点为 $D$ ．若 $| C D | = \frac{2 π}{3}$ ，则 $| A B | =$ .

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20. 如图，函数 $f (x) = 2 s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， 0 < φ < π)$ 的图象与坐标轴交于点 $A$ ， $B$ ， $C$ ，直线 $B C$ 交 $f (x)$ 的图象于点 $D$ ， $O ($ 坐标原点 $)$ 为 $△ A B D$ 的重心 $($ 三条边中线的交点 $)$ ，其中 $A (- π ， 0)$ ，则 $t a n B =$ ．

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21. 已知 $f (x) = 2 s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示， $A (\frac{π}{2} ， 1)$ ， $B (\frac{11 π}{8} ， \sqrt{2})$ 为 $y = f (x)$ 的图象上两点，则 $f (2 π) =$ ．

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22. 已知函数 $f (x) = 4 s i n x c o s x - 2 s i n^{2} x + 2 c o s^{2} x + 1$ ，则下列说法中正确的是．
① $f (x)$ 一条对称轴为 $x = \frac{π}{8}$ ；
②将 $f (x)$ 图象向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位，再向下平移1个单位得到的新函数为奇函数；
③若 $f (\frac{x}{2}) = \sqrt{5} + 1$ ，则 $t a n x = 4 \pm \sqrt{15}$ ；
④若函数 $y = f (\frac{ω x}{2}) (ω > 0)$ 在区间 $[\frac{π}{3} ， π]$ 上恰有2个极大值点，则实数 $ω$ 的取值范围是 $[\frac{17}{4} ， \frac{25}{4})$ ．

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四、解答题

23. 已知函数 $f (x) = - s i n^{2} x + \sqrt{3} s i n x c o s x$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的最大值和最小正周期；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上的单调区间．

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24. 已知 $f (x) = \sqrt{3} s i n w x + 3 c o s w x (w > 0)$

(1)、设 $y = f (x + θ) (0 < θ < \frac{π}{2})$ 是周期为 $π$ 的偶函数，求 $w ， θ$ ；

(2)、若 $g (x) = f (3 x)$ 在 $(- \frac{π}{2} ， \frac{π}{3})$ 上是增函数，求 $w$ 的最大值；并求此时 $g (x)$ 在 $[0 ， π]$ 的取值范围.

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25. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x - \frac{π}{4})$ 在区间 $[0 ， \frac{3 π}{2}]$ 上恰有3个零点，其中 $ω$ 为正整数.

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、将函数 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位得到函数 $g (x)$ 的图象，求函数 $F (x) = \frac{g (x)}{f (x)}$ 的单调区间.

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26. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + ϕ) (A > 0 ， ω > 0)$ 的图象是由 $y = 2 s i n (ω x + \frac{π}{6})$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度得到的.

(1)、若 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ ，求 $f (x)$ 的图象与y轴距离最近的对称轴方程；

(2)、若 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{2} ， \frac{3 π}{2}]$ 上有且仅有一个零点，求 $ω$ 的取值范围.

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27. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， 0 < φ < π)$ 的部分图象如图所示．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若函数 $g (x) = f (x) s i n x$ ，求 $g (x)$ 在区间 $[0 ， \frac{π}{4}]$ 上的最大值和最小值．

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28. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， - \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，且 $D (0 ， - 1) ， △ A B C$ 的面积等于 $\frac{π}{2}$ .

(1)、求函数 $y = f (x)$ 的单调递减区间；

(2)、若 $f (α + \frac{π}{6}) = - \frac{4}{3}$ ，且 $α \in [- \frac{π}{4} ， \frac{π}{4}]$ ，求 $f (α - \frac{π}{4})$ 的值.

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二、多项选择题

三、填空题

四、解答题

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