2023-2024学年高中数学人教A版必修一5.5 三角恒等变换同步练习

试卷更新日期：2023-09-10 类型：同步测试

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一、选择题

1. 已知 $s i n (α + \frac{π}{4}) = \frac{4}{5}$ ， $α \in (\frac{π}{4} ， \frac{π}{2})$ ，则 $c o s α =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{10}$ B、 $\frac{3 \sqrt{2}}{10}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{7 \sqrt{2}}{10}$

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2. 已知 $α \in (0 ， π)$ ，且 $3 c o s 2 α + 11 = 16 c o s α$ ，则 $s i n 2 α =$ （）

A、 $- \frac{4 \sqrt{5}}{9}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{9}$ C、 $- \frac{2 \sqrt{5}}{9}$ D、 $\frac{4 \sqrt{5}}{9}$

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3. 已知 $θ \in (\frac{π}{4} ， \frac{π}{2})$ ，且 $s i n 2 θ = \frac{\sqrt{5}}{3}$ ，则 $t a n θ =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\sqrt{10}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ 或 $\sqrt{5}$

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4. 已知 $t a n (α - π) = 2$ ，则 $\frac{c o s 2 α}{1 + s i n 2 α} =$ （）

A、 $- 3$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、3 D、 $\frac{1}{3}$

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5. 若 $t a n α = \frac{c o s α}{3 - s i n α}$ ，则 $s i n (2 α + \frac{π}{2}) =$ （）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{8}{9}$ D、 $\frac{7}{9}$

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6. 若 $\frac{s i n θ \cdot c o s 2 θ}{s i n θ + c o s θ} = - \frac{3}{5}$ ，则 $t a n (\frac{k π}{2} + θ) (k \in Z)$ 的值可能是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、2 D、3

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7. 已知锐角 $α$ 满足 $t a n 2 α = \frac{4}{3}$ ，则 $s i n^{2} α - 3 c o s (α + \frac{π}{2}) c o s α =$ （）

A、 $- 1$ B、 $- \frac{2}{5}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{7}{5}$

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8. 已知 $α ， β \in (0 ， \frac{π}{2})$ ， $c o s α = \frac{4}{5}$ ， $c o s (α + β) = \frac{3}{5}$ ，则 $s i n (3 α + β) =$ （）

A、 $\frac{7}{25}$ B、 $\frac{24}{25}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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9. 已知 $t a n (α + β)$ ， $t a n (α - β)$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} + m x - 4 = 0$ 的两根，且 $t a n α = \frac{2}{3}$ ，则 $m =$ （）

A、 $\frac{9}{5}$ B、4 C、-12 D、 $- \frac{10}{3}$

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10. 已知 $α$ 为锐角， $s i n α = \frac{3}{5}$ ，角 $β$ 的终边上有一点 $P (2 ， 1)$ ，则 $t a n (α + β) =$ （）

A、2 B、 $\frac{10}{11}$ C、 $\frac{11}{10}$ D、 $- \frac{11}{12}$

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11. 已知角α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点 $P (c o s \frac{π}{8} - s i n \frac{π}{8} ， c o s \frac{π}{8} + s i n \frac{π}{8})$ ，则 $t a n α =$ （）

A、 $\sqrt{2} - 1$ B、 $\sqrt{2} + 1$ C、 $\sqrt{2}$ D、2

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12. 数学里有一种证明方法叫做Proofwithoutwords，也被称为无字证明，是指仅用图象而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证时被认为比严格的数学证明更为优雅与有条理.如下图，点 $C$ 为半圆 $O$ 上一点， $C H ⊥ A B$ ，垂足为 $H$ ，记 $∠ C O B = θ$ ，则由 $t a n ∠ B C H = \frac{B H}{C H}$ 可以直接证明的三角函数公式是（）

A、 $t a n \frac{θ}{2} = \frac{s i n θ}{1 - c o s θ}$ B、 $t a n \frac{θ}{2} = \frac{s i n θ}{1 + c o s θ}$ C、 $t a n \frac{θ}{2} = \frac{1 - c o s θ}{s i n θ}$ D、 $t a n \frac{θ}{2} = \frac{1 + c o s θ}{s i n θ}$

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二、多项选择题

13. 下列各式的值为 $\frac{1}{2}$ 的是（）.

A、sin $\frac{17 π}{6}$ B、sin $\frac{π}{12}$ cos $\frac{π}{12}$ C、 $c o s^{2} \frac{π}{12} - s i n^{2} \frac{π}{12}$ D、 $\frac{t a n \frac{π}{8}}{1 - t a n^{2} \frac{π}{8}}$

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14. 若 $α ， β$ 满足 $s i n α = - \frac{1}{2}$ ， $c o s (α - β) = \frac{1}{2}$ ，则 $β$ 可以是（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $\frac{5 π}{6}$ D、π

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15. 下列等式能够成立的为（）

A、 $s i n 15 ° c o s 15 ° = \frac{1}{2}$ B、 $s i n 75 ° c o s 15 ° + c o s 75 ° s i n 15 ° = 1$ C、 $c o s 105 ° c o s 75 ° - s i n 105 ° c o s 15 ° = - 1$ D、 $\sqrt{3} s i n 15 ° + c o s 15 ° = 1$

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16. 已知 $α$ ､ $β \in (0, \frac{π}{2})$ ， $\sin (α + β) = \sin α \sin β$ ，则（）

A、 $\tan α \tan β \geq 4$ B、 $\tan α + \tan β \geq 4$ C、 $\frac{\cos (α + β)}{\sin α \sin β} + \frac{\sin (α + β)}{\cos α \cos β} = 1$ D、 $- \frac{4}{3} \leq \tan (α + β) \leq - 1$

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17. 已知函数 $f (x) = | s i n x | s i n x$ ，则（）

A、 $f (x)$ 为周期函数 B、 $y = f (x)$ 的图象关于 $y$ 轴对称 C、 $f (x)$ 的值域为 $[- 1 ， 1]$ D、 $f (x)$ 在 $(- 2 π ， - \frac{3 π}{2})$ 上单调递增

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18. 如图所示，设单位圆与 $x$ 轴的正半轴相交于点 $A (1 ， 0)$ ，以 $x$ 轴非负半轴为始边作锐角 $α$ ， $β$ ， $α - β$ ，它们的终边分别与单位圆相交于点 $P_{1}$ ， $A_{1}$ ， $P$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\overset{⌢}{A P}$ 的长度为 $α - β$ B、扇形 $O A_{1} P_{1}$ 的面积为 $α - β$ C、当 $A_{1}$ 与 $P$ 重合时， $| A P_{1} | = 2 s i n β$ D、当 $α = \frac{π}{3}$ 时，四边形 $O A A_{1} P_{1}$ 面积的最大值为 $\frac{1}{2}$

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三、填空题

19. 若 $t a n θ = 2$ ，则 $\frac{s i n θ c o s 2 θ}{c o s θ - s i n θ} =$ .

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20. 若 $π < θ < \frac{3 π}{2}$ 且 $s i n θ = - \frac{3}{5}$ ，则 $t a n (θ - \frac{π}{4}) =$ ．

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21. 已知 $α \in (0 ， π)$ ，且 $3 c o s 2 α - 8 c o s α = 5$ ，则 $c o s α =$ ．

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22. 已知 $x$ 是第二象限的角，且 $c o s (\frac{π}{2} - x) = \frac{3}{5}$ ，则 $t a n (x + \frac{π}{4}) =$ .

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23. 已知 $s i n θ + c o s θ = 2 s i n α$ ， $s i n θ c o s θ = s i n^{2} β$ ，则 $4 c o s^{2} 2 α - c o s^{2} 2 β =$ ．

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四、解答题

24. 已知函数 $f (x) = s i n^{2} x - c o s^{2} x$ ，

(1)、若 $f (α) = \frac{1}{4}$ ，且 $α \in (0 ， \frac{π}{2})$ ，求 $f (α + \frac{π}{4})$ 的值；

(2)、求函数 $g (x) = \frac{f (x)}{2} - f (\frac{x}{2})$ 的最大值.

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25. 已知 $c o s α - 2 s i n (π - α) = 0$ ．

(1)、若 $α$ 为第一象限角，求 $s i n α ， c o s 2 α$ ；

(2)、求 $\frac{1 - s i n α c o s α}{6 s i n^{2} α - c o s^{2} α}$ 的值．

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26. 已知 $\frac{t a n (α + \frac{π}{4}) - 1}{t a n (α + \frac{π}{4}) + 1} = 7$ .

(1)、求 $c o s 2 α$ 的值；

(2)、求 $\frac{2 s i n^{2} α - s i n 2 α}{1 + t a n α}$ 的值.

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27. 已知 $t a n \frac{α}{2} = 2$ ．

(1)、求 $t a n α$ 的值﹔

(2)、求 $\frac{s i n (\frac{π}{2} - α) c o s α + c o s^{2} (π + α)}{4 s i n (2 π + α) c o s (π - α) + 2 c o s (- α) c o s α}$ 的值．

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28. 已知 $α$ 是钝角， $β$ 是锐角， $c o s (α - \frac{π}{4}) = \frac{1}{3}$ ， $s i n (α + β) = \frac{4}{5}$ .

(1)、求 $s i n 2 α$ 的值；

(2)、求 $s i n (β + \frac{π}{4})$ 的值.

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29. 在平面直角坐标系中，已知角 $α$ 的顶点与原点 $O$ 重合，始边与 $x$ 轴的非负半轴重合，它的终边过点 $P (\frac{3}{5} ， - \frac{4}{5}) .$

(1)、求 $s i n α$ 的值．

(2)、若角 $β$ 满足 $s i n (α + β) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求 $c o s β$ 的值．

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30. 在平面直角坐标系中，角 $α$ 与 $β$ 的顶点均为坐标原点 $O$ ，始边均为 $x$ 轴的非负半轴．若点 $P (\frac{3}{5} ， \frac{4}{5})$ 在角 $α$ 的终边上，将 $O P$ 绕原点 $O$ 按逆时针方向旋转 $\frac{π}{4}$ 后与角 $β$ 的终边 $O Q$ 重合．

(1)、直接写出 $β$ 与 $α$ 的关系式；

(2)、求 $c o s (α + β)$ 的值．

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二、多项选择题

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四、解答题

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