2023-2024学年高中数学人教A版必修一5.3 诱导公式同步练习

试卷更新日期：2023-09-10 类型：同步测试

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一、选择题

1. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，若角 $α$ 以 $x$ 轴的非负半轴为始边，且终边过点 $(4 ， - 3)$ ，则 $c o s (α - \frac{π}{2})$ 的值为（）

A、 $- \frac{3}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $- \frac{4}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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2. 若 $s i n (π + α) = \frac{1}{2} ， α \in (- \frac{π}{2} ， 0)$ ，则 $t a n (π - α) =$ （）．

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $- \sqrt{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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3. 已知 $t a n θ = - 2$ ，则 $\frac{s i n (\frac{π}{2} + θ) + 2 s i n (π + θ)}{c o s (π - θ) + s i n (2 π - θ)}$ 的值为（）

A、-5 B、5 C、 $- \frac{5}{3}$ D、 $\frac{5}{3}$

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4. $c o s 300 0^{∘}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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5. $s i n \frac{14 π}{3} =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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6. 若 $α \in (- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2})$ ，且 $s i n (π + α) = \frac{4}{5}$ ，则 $s i n (\frac{7 π}{2} - α)$ 等于（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $- \frac{3}{5}$ C、 $\frac{1}{5}$ D、 $- \frac{1}{5}$

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7. 已知 $s i n (\frac{π}{3} + α) = \frac{2}{3}$ ，则 $c o s (\frac{7 π}{6} - α)$ 的值等于（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $- \frac{2}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ D、 $\pm \frac{\sqrt{5}}{3}$

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二、多项选择题

8. 在单位圆中，已知角 $α$ 的终边与单位圆的交点为 $P (\frac{\sqrt{3}}{3} ， - \frac{\sqrt{6}}{3})$ ，则（）

A、 $t a n α = - \sqrt{2}$ B、 $s i n (- α) = \frac{\sqrt{6}}{3}$ C、 $c o s (π - α) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $c o s (α - \frac{π}{2}) = \frac{\sqrt{6}}{3}$

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9. 已知 $s i n x = \frac{3}{5} ， x \in (0 ， \frac{π}{2})$ ，则（）

A、 $s i n (π - x) = \frac{3}{5}$ B、 $c o s (x - π) = \frac{4}{5}$ C、 $s i n (\frac{π}{2} - x) = \frac{4}{5}$ D、 $c o s (x - \frac{3 π}{2}) = \frac{4}{5}$

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10. 下列结论正确的是（）

A、 $- \frac{7 π}{6}$ 是第三象限角 B、若圆心角为 $\frac{π}{3}$ 的扇形的弧长为 $π$ ，则该扇形面积为 $\frac{3 π}{2}$ C、 $c o s (\frac{3 π}{2} - A) = s i n (π - A)$ D、若角 $α$ 的终边过点 $P (- 3 ， 4)$ ，则 $c o s α = - \frac{3}{5}$

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11. $c o s (\frac{π}{4} + α) =$ （）

A、 $s i n (\frac{5 π}{4} + α)$ B、 $s i n (\frac{π}{4} - α)$ C、 $c o s (- \frac{3 π}{4} + α)$ D、 $c o s (\frac{7 π}{4} - α)$

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12. 已知 $θ \in (0 ， π)$ ， $s i n θ + c o s θ = \frac{1}{5}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $θ \in (\frac{π}{2} ， π)$ B、 $c o s θ = - \frac{3}{5}$ C、 $t a n θ = - \frac{3}{4}$ D、 $s i n θ - c o s θ = \frac{7}{5}$

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13. 下列各式中，值为1的是（）

A、 $\frac{2^{- \frac{1}{2}}}{s i n 45 °}$ B、 $s i n^{4} α + s i n^{2} α c o s^{2} α + c o s^{2} α$ C、 $t a n \frac{9}{4} π$ D、 $l g 2 \times l g 5$

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14. 下列各式中，值为 $\frac{1}{2}$ 的是（）

A、 $s i n \frac{5 π}{6}$ B、 $s i n^{2} 4 5^{∘}$ C、 $2^{- \frac{1}{2}}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2} t a n 21 0^{∘}$

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三、填空题

15. 若 $t a n α = \frac{1}{4}$ ，则 $\frac{s i n (\frac{π}{2} + α) + 2 c o s (π + α)}{s i n (π - α)} =$ ．

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16. 已知 $s i n α = - \frac{\sqrt{5}}{5} ， α \in (- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2})$ ，则 $s i n (α - \frac{π}{2}) =$ .

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17. 已知 $\sin (α - \frac{π}{12}) = \frac{1}{3}$ ，则 $\cos (α + \frac{17 π}{12}) =$ ．

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18. 已知 $t a n (π + α) = - 2$ ，则 $\frac{s i n α - 4 c o s α}{s i n α + c o s α} =$ .

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19. $t a n (- 405 °)$ 的值为．

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20. $t a n \frac{7 π}{4} - s i n \frac{π}{6} =$ .

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21. $c o s (- \frac{17 π}{3}) =$ ．

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22. 化简 $\frac{s i n (2 π - x) t a n (π + x) c o t (- π - x)}{c o s (π - x) t a n (3 π - x)} =$ .

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23. 已知 $O$ 为坐标原点，点 $P$ 的初始位置坐标为 $(\frac{1}{2} ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，线段 $O P$ 绕点 $O$ 顺时针转动 $9 0^{∘}$ 后，点 $P$ 所在位置的坐标为.

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四、解答题

24. 已知 $f (a) = \frac{c o s (\frac{π}{2} + α) \cdot c o s (2 π - α) \cdot s i n (- α + \frac{3 π}{2})}{s i n (- π - α) \cdot s i n (\frac{3 π}{2} + α)}$ ．

(1)、化简 $f (a)$ ；

(2)、若 $α$ 是第三象限角，且 $c o s (α - \frac{3 π}{2}) = \frac{1}{5}$ ，求 $f (a)$ 的值．

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25. 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，锐角 $α$ 的顶点是坐标原点，始边与 $x$ 轴正半轴重合，终边交单位圆于点 $A (\frac{1}{3} ， y_{0}) .$ 将角 $α$ 的终边按逆时针方向旋转 $\frac{π}{2}$ 得到角 $β$ ．

(1)、求 $tanβ$ ；

(2)、求 $\frac{sin (α - \frac{π}{2}) cos (π - β)}{sin (π + β) cos (β + \frac{3 π}{2}) + sin (3 π - α) cos (\frac{π}{2} - α)}$ 的值．

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26. 如图，以 $x$ 轴非负半轴为始边作角 $α$ 与 $β (0 < β < α < π)$ ，它们的终边分别与单位圆相交于点 $P ， Q$ ，已知点 $P$ 的坐标为 $(- \frac{\sqrt{5}}{5} ， \frac{2 \sqrt{5}}{5})$ ．

(1)、求 $\frac{3 sinα - 2 cosα}{2 sinα + 3 cosα}$ 的值；

(2)、若 $OP ⊥ OQ$ ，求 $sinβcosβ$ 的值．

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27. 已知角 $α$ 满足 $s i n α - c o s α = - \frac{\sqrt{5}}{5}$ .

(1)、求 $t a n α$ 的值；

(2)、若角 $α$ 是第三象限角， $f (α) = \frac{s i n (α - π) t a n (5 π + α) c o s (π + α)}{t a n (2 π - α) c o s (- \frac{3 π}{2} - α)}$ ，求 $f (α)$ 的值.

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二、多项选择题

三、填空题

四、解答题

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