2023-2024学年高中数学人教A版必修一5.4 三角函数的图像与性质同步练习

试卷更新日期：2023-09-10 类型：同步测试

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一、选择题

1. “ $θ = 2 k π + \frac{π}{4}$ ， $k \in Z$ ”是“ $t a n θ = 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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2. 已知集合 $M = {x | s i n x > 0}$ ， $N = {x | c o s x > 0}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 ${x | 2 k π \leq x \leq 2 k π + \frac{π}{2} ， k \in Z}$ B、 ${x | 2 k π < x < 2 k π + \frac{π}{2} ， k \in Z}$ C、 ${x | k π < x < k π + \frac{π}{2} ， k \in Z}$ D、 ${x | 2 k π < x < 2 k π + π ， k \in Z}$

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3. 函数 $f (x) = s i n x \cdot l n \frac{x - 1}{x + 1}$ 的大致图象为 $($ $)$

A、 B、 C、 D、

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4. 已知 $t a n α = - 1 ， α = (0 ， π)$ ，则 $α =$ （）

A、 $\frac{5 π}{6}$ B、 $\frac{3 π}{4}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{π}{4}$

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5. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + φ)$ 在区间 $(\frac{π}{6} ， \frac{2 π}{3})$ 单调递增，直线 $x = \frac{π}{6}$ 和 $x = \frac{2 π}{3}$ 为函数 $y = f (x)$ 的图像的两条对称轴，则 $f (- \frac{5 π}{12}) =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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6. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + φ) (ω$ 为正整数， $0 < φ < π)$ 在区间 $(\frac{π}{4} ， π)$ 上单调，且 $f (π) = f (\frac{3 π}{2})$ ，则 $φ =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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7. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 对任意 $x \in (0 ， \frac{3 π}{8})$ 都有 $f (x) > \frac{1}{2}$ ，则当 $ω$ 取到最大值时， $f (x)$ 图象的一条对称轴为（）

A、 $x = \frac{π}{8}$ B、 $x = \frac{3 π}{16}$ C、 $x = \frac{π}{2}$ D、 $x = \frac{3 π}{4}$

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8. 设 $f (x) = s i n x$ .若对任意 $x_{1} \in [0 ， \frac{π}{2}]$ ，都存在 $x_{2} \in [0 ， \frac{π}{2}]$ ，使得 $f (x_{1}) - 2 f (x_{2} + θ) = - 1$ ，则 $θ$ 可以是（）

A、 $\frac{π}{5}$ B、 $\frac{2 π}{5}$ C、 $\frac{3 π}{5}$ D、 $\frac{4 π}{5}$

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二、多项选择题

9. 若函数 $f (x) = s i n (2 x + φ) (| φ | < \frac{π}{2})$ 的图象经过点 $P (0 ， \frac{1}{2})$ ，则（）

A、函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、点 $(\frac{π}{3} ， 0)$ 为函数 $y = f (x)$ 图象的对称中心 C、直线 $x = \frac{π}{6}$ 为函数 $y = f (x)$ 图象的对称轴 D、函数 $f (x)$ 的单调增区间为 $[2 k π - \frac{π}{3} ， 2 k π + \frac{π}{6}] (k \in Z)$

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10. 已知三角函数 $f (x) = 2 s i n (2 x + \frac{π}{3})$ ，以下对该函数的说法正确的是（）

A、该函数周期为 $π$ B、该函数在 $(- \frac{π}{6} ， \frac{π}{6})$ 上单调递增 C、 $x = - \frac{π}{6}$ 为其一条对称轴 D、将该函数向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位得到一个奇函数

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11. 下列各式中正确的是（）

A、 $t a n \frac{3 π}{5} < t a n \frac{π}{5}$ B、 $t a n 2 > t a n 3$ C、 $c o s (- \frac{17 π}{4}) > c o s (- \frac{23 π}{5})$ D、 $s i n (- \frac{π}{18}) < s i n (- \frac{π}{10})$

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12. 已知函数 $f (x) = c o s (ω x + φ) (ω > 0 ， - \frac{π}{2} < φ < - \frac{π}{6})$ ，其图像上相邻的两个最高点之间的距离为 $π ， f (x)$ 在 $[\frac{π}{12} ， \frac{π}{8}]$ 上是单调函数，则下列说法不正确的是（）

A、 $φ$ 的最大值为 $- \frac{π}{4}$ B、 $f (x)$ 在 $[0 ， π]$ 上的图像与直线 $y = 1$ 没有交点 C、 $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{2})$ 上没有对称轴 D、 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{3} ， - \frac{π}{4}]$ 上有一个零点

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13. 已知 $f (x)$ 是定义在闭区间上的偶函数，且在y轴右侧的图象是函数 $y = s i n (ω x + ϕ)$ $(ω > 0 ， 0 < φ < π)$ 图象的一部分(如图所示)，则（）

A、 $f (x)$ 的定义域为 $[- π ， π]$ B、当 $x = \frac{π}{6}$ 时， $f (x)$ 取得最大值 C、当 $x < 0$ 时， $f (x)$ 的单调递增区间为 $[- \frac{2 π}{3} ， - \frac{π}{6}]$ D、当 $x < 0$ 时， $f (x)$ 有且只有两个零点 $- \frac{5 π}{12}$ 和 $- \frac{11 π}{12}$

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14. 已知函数 $f (x) = | t a n x |$ ，则下列关于函数 $f (x)$ 的图象与性质的叙述中，正确的有（）

A、函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、函数 $f (x)$ 在 $(k π ， k π + \frac{π}{2}) (k \in Z)$ 上单调递增 C、函数 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{2}$ 对称 D、 $f (\frac{π}{5}) < f (\frac{4 π}{5})$

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15. 已知函数 $f (x) = t a n (3 x + φ) + 1 (| φ | < \frac{π}{2})$ 的图象经过点 $(\frac{π}{9} ， 1)$ ，则（）

A、 $φ = \frac{π}{3}$ B、 $f (x)$ 的最小正周期为 $\frac{π}{3}$ C、 $f (x)$ 的定义域为 ${x | x \neq \frac{5 π}{18} + \frac{2 k π}{3} ， k \in Z}$ D、不等式 $f (x) < 2$ 的解集为 $(- \frac{π}{18} + \frac{k π}{3} ， \frac{7 π}{36} + \frac{k π}{3})$ ， $k \in Z$

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16. 函数 $f (x) = s i n (ω x + φ) (ω > 0)$ 的最小正周期为 $π$ ， $f (x) \leq f (\frac{π}{8})$ ，下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的一个零点为 $- \frac{π}{8}$ B、 $f (x + \frac{π}{8})$ 是偶函数 C、 $f (x)$ 在区间 $(\frac{3 π}{8} ， \frac{7 π}{8})$ 上单调递增 D、 $f (x)$ 的一条对称轴为 $x = - \frac{3 π}{8}$

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17. 已知函数 $f (x) = s i n (3 x + \frac{π}{4}) + 2$ ，则下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的一个周期为 $\frac{2}{3} π$ B、直线 $x = \frac{π}{12}$ 是 $y = f (x)$ 的一条对称轴 C、点 $(- \frac{π}{12} ， 0)$ 是 $y = f (x)$ 的一个对称中心 D、 $f (x)$ 在区间 $[\frac{π}{12} ， \frac{3 π}{4}]$ 上单调递减

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18. 已知 $0 < x < \frac{π}{4}$ ，则下列不等式正确的是（）

A、 $s i n (s i n x) < c o s (s i n x)$ B、 $s i n (c o s x) < c o s (s i n x)$ C、 $c o s (c o s x) < s i n (c o s x)$ D、 $s i n (s i n x) < c o s (c o s x)$

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三、填空题

19. 函数 $f (x) = s i n 2 x$ 的最小正周期是.

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20. 函数 $y = t a n (\frac{π}{5} - \frac{x}{3})$ 的最小正周期为．

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21. 已知函数 $f (x) = c o s ω x (ω > 0)$ 的图像关于点 $(\frac{3 π}{4} ， 0)$ 对称，且在区间 $[0 ， \frac{π}{3}]$ 上单调，则 $ω =$ ．

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22. 在平面直角坐标系中，角 $φ$ 的顶点与坐标原点重合，始边与 $x$ 轴的正半轴重合，若其终边过点 $(1 ， \sqrt{3})$ ，则函数 $y = s i n (x + φ)$ ， $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ 的值域为．

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23. 设函数 $f (x) = s i n \frac{π}{3} x$ ，则 $f (1) + f (2) + f (3) + ⋯ + f (2015) =$ .

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24. 已知函数 $f (x) = c o s ω x (ω > 0)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{2} ， 0)$ 对称，且在区间 $[0 ， \frac{π}{8}]$ 单调，则 $ω$ 的一个取值是.

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四、解答题

25. 已知函数 $f (x) = s i n x$ .

(1)、求函数 $y = f (2 x + \frac{π}{3})$ 的最小正周期；

(2)、若 $[f (x)]^{2} + m | f (x) - \frac{1}{2} | \geq \frac{1}{8}$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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26. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} s i n (2 x + \frac{π}{4})$ ， $x ∈ R$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最大值和对应 $x$ 的取值；

(2)、求 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2}]$ 的单调递增区间.

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27. 已知函数 $f (x) = \sqrt{2} c o s (2 x - \frac{π}{4})$ ， $x ∈ R$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期和单调递减区间；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{8} ， \frac{π}{2}]$ 上的最小值和最大值，并求出取得最值时x的值.

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28. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (x + \frac{π}{6}) + a$ 的最大值为1，

(1)、求常数 $a$ 的值；

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调递减区间；

(3)、求使 $f (x) \geq 0$ 成立的x的取值集合．

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29. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (ω x - \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 的最小正周期为 $\frac{2 π}{3}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的单调递减区间；

(2)、求不等式 $f (x) - \sqrt{3} \geq 0$ 在 $[- \frac{2 π}{9} ， \frac{4 π}{9}]$ 上的解集．

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30. 已知函数 $f (x) = x^{2} + 2 x t a n θ - 1 ， x \in [- 1 ， \sqrt{3}]$ ，其中 $θ \in (- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2})$ ．

(1)、当 $θ = - \frac{π}{6}$ 时，求函数的最大值和最小值；

(2)、若函数 $f (x)$ 在区间 $[- 1 ， \sqrt{3}]$ 上是单调函数，求 $θ$ 的取值范围．

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一、选择题

二、多项选择题

三、填空题

四、解答题

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