广东省广州市2023年中考数学试卷

试卷更新日期：2023-09-09 类型：中考真卷

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一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. $- (- 2023) =$ （）

A、 $- 2023$ B、 $2023$ C、 $- \frac{1}{2023}$ D、 $\frac{1}{2023}$

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2. 一个几何体的三视图如图所示，则它表示的几何体可能是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 学校举行“书香校园”读书活动，某小组的五位同学在这次活动中读书的本数分别为10，11，9，10，12.下列关于这组数据描述正确的是（）

A、众数为10 B、平均数为10 C、方差为2 D、中位数为9

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4. 下列运算正确的是（）

A、 $(a^{2})^{3} = a^{5}$ B、 $a^{8} \div a^{2} = a^{4} (a \neq 0)$ C、 $a^{3} \cdot a^{5} = a^{8}$ D、 $(2 a)^{- 1} = \frac{2}{a} (a \neq 0)$

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5. 不等式组 ${\begin{array}{l} 2 x \geq x - 1 \\ \frac{x + 1}{2} > \frac{2 x}{3} \end{array}$ 的解集在数轴上表示为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 已知正比例函数 $y_{1} = a x$ 的图象经过点 $(1 ， - 1)$ ，反比例函数 $y_{2} = \frac{b}{x}$ 的图象位于第一、第三象限，则一次函数 $y = a x + b$ 的图象一定不经过（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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7. 如图，海中有一小岛 $A$ ，在 $B$ 点测得小岛 $A$ 在北偏东 $30 °$ 方向上，渔船从 $B$ 点出发由西向东航行 $10 n m i l e$ 到达 $C$ 点，在 $C$ 点测得小岛 $A$ 恰好在正北方向上，此时渔船与小岛 $A$ 的距离为 $n m i l e$ ．（）

A、 $\frac{10 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{20 \sqrt{3}}{3}$ C、 $20$ D、 $10 \sqrt{3}$

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8. 随着城际交通的快速发展，某次动车平均提速 $60 k m / h$ ，动车提速后行驶 $480 k m$ 与提速前行驶 $360 k m$ 所用的时间相同 $.$ 设动车提速后的平均速度为 $x k m / h$ ，则下列方程正确的是（）

A、 $\frac{360}{x} = \frac{480}{x + 60}$ B、 $\frac{360}{x - 60} = \frac{480}{x}$ C、 $\frac{360}{x} = \frac{480}{x - 60}$ D、 $\frac{360}{x + 60} = \frac{480}{x}$

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9. 如图， $△ A B C$ 的内切圆 $⊙ I$ 与 $B C$ ， $C A$ ， $A B$ 分别相切于点 $D$ ， $E$ ， $F$ ，若 $⊙ I$ 的半径为 $r$ ， $∠ A = α$ ，则 $(B F + C E - B C)$ 的值和 $∠ F D E$ 的大小分别为（）

A、 $2 r$ ， $90 ° - α$ B、 $0$ ， $90 ° - α$ C、 $2 r$ ， $90 ° - \frac{α}{2}$ D、 $0$ ， $90 ° - \frac{α}{2}$

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10. 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} - (2 k - 2) x + k^{2} - 1 = 0$ 有两个实数根，则 $\sqrt{(k - 1)^{2}} - (\sqrt{2 - k})^{2}$ 的化简结果是（）

A、 $- 1$ B、 $1$ C、 $- 1 - 2 k$ D、 $2 k - 3$

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二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11. 近年来，城市电动自行车安全充电需求不断攀升 $.$ 截至2023年5月底，某市已建成安全充电端口逾 $280000$ 个，将 $280000$ 用科学记数法表示为．

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12. 已知点 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ 在抛物线 $y = x^{2} - 3$ 上，且 $0 < x_{1} < x_{2}$ ，则 $y_{1}$ $y_{2}$ .（填“＜”或“＞”或“=”）.

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13. 2023年5月30日是第7个全国科技工作者日，某中学举行了科普知识手抄报评比活动，共有100件作品获得一、二、三等奖和优胜奖，根据获奖结果绘制如图所示的条形图，则a的值为 $.$ 若将获奖作品按四个等级所占比例绘制成扇形统计图，则“一等奖”对应扇形的圆心角度数为 $° .$

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14. 如图，正方形 $A B C D$ 的边长为 $4$ ，点 $E$ 在边 $B C$ 上，且 $B E = 1$ ， $F$ 为对角线 $B D$ 上一动点，连接 $C F$ ， $E F$ ，则 $C F + E F$ 的最小值为．

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15. 如图，已知 $A D$ 是 $△ A B C$ 的角平分线， $D E$ ， $D F$ 分别是 $△ A B D$ 和 $△ A C D$ 的高， $A E = 12$ ， $D F = 5$ ，则点 $E$ 到直线 $A D$ 的距离为．

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16. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A B = 10$ ， $A C = 6$ ，点 $M$ 是边 $A C$ 上一动点，点 $D$ ， $E$ 分别是 $A B$ ， $M B$ 的中点，当 $A M = 2.4$ 时， $D E$ 的长是 $.$ 若点 $N$ 在边 $B C$ 上，且 $C N = A M$ ，点 $F$ ， $G$ 分别是 $M N$ ， $A N$ 的中点，当 $A M > 2.4$ 时，四边形 $D E F G$ 面积 $S$ 的取值范围是．

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三、计算题（本大题共1小题，共4.0分）

17. 解方程： $x^{2} - 6 x + 5 = 0$

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四、解答题（本大题共8小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18. 如图， $B$ 是 $A D$ 的中点， $B C / / D E$ ， $B C = D E .$ 求证： $∠ C = ∠ E$ ．

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19. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $A (- 2 ， 0)$ ， $B (0 ， 2)$ ， $\overset{⏜}{A B}$ 所在圆的圆心为 $O .$ 将 $\overset{⏜}{A B}$ 向右平移5个单位，得到 $\overset{⏜}{C D}$ (点A平移后的对应点为C）．

(1)、点 $D$ 的坐标是， $\overset{⏜}{C D}$ 所在圆的圆心坐标是；

(2)、在图中画出 $\overset{⏜}{C D}$ ，并连接 $A C$ ， $B D$ ；

(3)、求由 $\overset{⏜}{A B}$ ， $B D$ ， $\overset{⏜}{D C}$ ， $C A$ 首尾依次相接所围成的封闭图形的周长.（结果保留π）

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20. 已知 $a > 3$ ，代数式： $A = 2 a^{2} - 8$ ， $B = 3 a^{2} + 6 a$ ， $C = a^{3} - 4 a^{2} + 4 a$ ．

(1)、因式分解 $A$ ；

(2)、在 $A$ ， $B$ ， $C$ 中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式．

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21. 甲、乙两位同学相约打乒乓球．

(1)、有款式完全相同的4个乒乓球拍 $($ 分别记为 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D)$ ，若甲先从中随机选取1个，乙再从余下的球拍中随机选取1个，求乙选中球拍C的概率；

(2)、双方约定：两人各投掷一枚质地均匀的硬币，如果两枚硬币全部正面向上或全部反面向上，那么甲先发球，否则乙先发球 $.$ 这个约定是否公平？为什么？

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22. 因活动需要购买某种水果，数学活动小组的同学通过市场调查得知：在甲商店购买该水果的费用 $y_{1} ($ 元 $)$ 与该水果的质量 $x ($ 千克 $)$ 之间的关系如图所示；在乙商店购买该水果的费用 $y_{2} ($ 元 $)$ 与该水果的质量 $x ($ 千克 $)$ 之间的函数解析式为 $y_{2} = 10 x (x \geq 0)$ ．

(1)、求 $y_{1}$ 与 $x$ 之间的函数解析式；

(2)、现计划用 $600$ 元购买该水果，选甲、乙哪家商店能购买该水果更多一些？

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23. 如图， $A C$ 是菱形 $A B C D$ 的对角线．

(1)、尺规作图：将 $△ A B C$ 绕点 $A$ 逆时针旋转得到 $△ A D E$ ，点 $B$ 旋转后的对应点为 $D ($ 保留作图痕迹，不写作法 $)$ ；

(2)、在（1）所作的图中，连接 $B D$ ， $C E$ ．

$①$ 求证： $△ A B D$ ∽ $△ A C E$ ；

$②$ 若 $t a n ∠ B A C = \frac{1}{3}$ ，求 $c o s ∠ D C E$ 的值．

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24. 已知点 $P (m ， n)$ 在函数 $y = - \frac{2}{x} (x < 0)$ 的图象上．

(1)、若m=-2，求n的值；

(2)、抛物线 $y = (x - m) (x - n)$ 与x轴交于两点M，N（M在N的左边），与y轴交于点G，记抛物线的顶点为E．
①m为何值时，点E到达最高处；
②设 $△ G M N$ 的外接圆圆心为C，⊙C与 $y$ 轴的另一个交点为F，当 $m + n \neq 0$ 时，是否存在四边形 $F G E C$ 为平行四边形？若存在，求此时顶点E的坐标；若不存在，请说明理由．

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25. 如图，在正方形 $A B C D$ 中， $E$ 是边 $A D$ 上一动点 $($ 不与点 $A$ ， $D$ 重合 $) .$ 边 $B C$ 关于 $B E$ 对称的线段为 $B F$ ，连接 $A F$ ．

(1)、若 $∠ A B E = 15 °$ ，求证： $△ A B F$ 是等边三角形；

(2)、延长 $F A$ ，交射线 $B E$ 于点 $G$ ．
①△BGF能否为等腰三角形？如果能，求此时 $∠ A B E$ 的度数；如果不能，请说明理由；

$②$ 若 $A B = \sqrt{3} + \sqrt{6}$ ，求 $△ B G F$ 面积的最大值，并求此时 $A E$ 的长．

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