湖北省恩施州2023年中考数学试卷

试卷更新日期：2023-09-08 类型：中考真卷

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一、单选题

1. 如图，数轴上点A所表示的数的相反数是（　　）

A、9 B、 $- \frac{1}{9}$ C、 $\frac{1}{9}$ D、 $- 9$

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2. 下列4个图形中，是中心对称图形的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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3. 下列实数： $- 1$ ， 0， $\sqrt{2}$ ， $- \frac{1}{2}$ ，其中最小的是（　　）

A、 $- 1$ B、0 C、 $\sqrt{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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4. 用5个完全相同的小正方体组成如图所示的立体图形，它的左视图是(　　)

A、 B、 C、 D、

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5. 下列运算正确的是（　　）

A、 ${(m - 1)}^{2} = m^{2} - 1$ B、 ${(2 m)}^{3} = 6 m^{3}$ C、 $m^{7} \div m^{3} = m^{4}$ D、 $m^{2} + m^{5} = m^{7}$

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6. 县林业部门考察银杏树苗在一定条件下移植的成活率，所统计的银杏树苗移植成活的相关数据如下表所示：

移植的棵数a	100	300	600	1000	7000	15000
成活的棵数b	84	279	505	847	6337	13581
成活的频率 $\frac{b}{a}$	0.84	0.93	0.842	0.847	0.905	0.905

根据表中的信息，估计银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为（精确到0.1）（　　）

A、0.905 B、0.90 C、0.9 D、0.8

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7. 将含 $60 °$ 角的直角三角板按如图方式摆放，已知 $m ∥ n$ ， $∠ 1 = 20 °$ ，则 $∠ 2 =$ （　　）

A、 $40 °$ B、 $30 °$ C、 $20 °$ D、 $15 °$

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8. 分式方程 $\frac{x}{x - 3} = \frac{x + 1}{x - 1}$ 的解是（　　）

A、 $x = 3$ B、 $x = - 3$ C、 $x = 2$ D、 $x = 0$

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9. 如图，取一根长 $100 c m$ 的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来，在中点O的左侧距离中点 $O 25 c m (L_{1} = 25 c m)$ 处挂一个重 $9.8 N (F_{1} = 9.8 N)$ 的物体，在中点O的右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态．弹簧秤与中点O的距离L（单位： $c m$ ）及弹簧秤的示数F（单位：N）满足 $F L = F_{1} L_{1}$ ．以L的数值为横坐标，F的数值为纵坐标建立直角坐标系．则F关于L的函数图象大致是（　　）

A、 B、 C、 D、

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10. 如图，在 $△ A B C$ 中， $D E ∥ B C$ 分别交 $A C ， A B$ 于点D ， E ， $E F ∥ A C$ 交 $B C$ 于点F ， $\frac{A E}{B E} = \frac{2}{5}$ ， $B F = 8$ ，则 $D E$ 的长为（　　）

A、 $\frac{16}{5}$ B、 $\frac{16}{7}$ C、2 D、3

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11. 如图，等圆 $⊙ O_{1}$ 和 $⊙ O_{2}$ 相交于A ， B两点， $⊙ O_{1}$ 经过 $⊙ O_{2}$ 的圆心 $O_{2}$ ，若 $O_{1} O_{2} = 2$ ，则图中阴影部分的面积为（　　）

A、 $2 π$ B、 $\frac{4}{3} π$ C、 $π$ D、 $\frac{2}{3} π$

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12. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，O为坐标原点，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的对称轴为 $x = 1$ ，与x轴的一个交点位于 $(2 ， 0)$ ， $(3 ， 0)$ 两点之间．下列结论：① $2 a + b > 0$ ； ② $b c < 0$ ；③ $a < - \frac{1}{3} c$ ； ④若 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 为方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的两个根，则 $- 3 < x_{1} \cdot x_{2} < 0$ ．其中正确的有（　　）个．

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

13. 计算： $\sqrt{3}$ × $\sqrt{12}$ ＝．

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14. 因式分解： $x (x - 2) + 1 =$ ．

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15. 《九章算术》被称为人类科学史上应用数学的“算经之首”．书中记载：“今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？”译文：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少（如图）？答：门高、宽和对角线的长分别是尺．

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16. 观察下列两行数，探究第②行数与第①行数的关系：
$- 2$ ， 4， $- 8$ ， 16， $- 32$ ， 64，……①

0，7， $- 4$ ， 21， $- 26$ ， 71，……②

根据你的发现，完成填空：第①行数的第10个数为；取每行数的第2023个数，则这两个数的和为．

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三、解答题

17. 先化简，再求值： $\frac{2}{x^{2} - 4} \div (1 - \frac{x}{x - 2})$ ，其中 $x = \sqrt{5} - 2$ ．

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18. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，点 $E$ 是 $A D$ 的中点，将矩形 $A B C D$ 沿 $B E$ 所在的直线折叠， $C ， D$ 的对应点分别为 $C^{'}$ ， $D^{'}$ ，连接 $A D^{'}$ 交 $B C^{'}$ 于点 $F$ ．

(1)、若 $∠ D E D^{'} = 70 °$ ，求 $∠ D A D^{'}$ 的度数；

(2)、连接EF ，试判断四边形 $C^{'} D^{'} E F$ 的形状，并说明理由．

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19. 春节、清明、端午、中秋是我国四大传统节日，每个传统节日都有丰富的文化内涵，体现了厚重的家国情怀；在文化的传承与创新中让我们更加热爱传统文化，更加坚定文化自信．因此，端午节前，学校举行“传经典·乐端午”系列活动，活动设计的项目及要求如下：A-包粽子，B-划旱船，C-诵诗词，D-创美文；人人参加，每人限选一项．为了解学生的参与情况，校团支部随机抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如下不完整的统计图，如图．请根据统计图中的信息，回答下列问题：

(1)、请直接写出统计图中m的值，并补全条形统计图；

(2)、若学校有1800名学生，请估计选择D类活动的人数；

(3)、甲、乙、丙、丁四名学生都是包粽子的能手，现从他们4人中选2人参加才艺展示，请用列表或画树状图的方法，求甲、乙2人同时被选中的概率．

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20. 小王同学学习了锐角三角函数后，通过观察广场的台阶与信号塔之间的相对位置，他认为利用台阶的可测数据与在点 $A$ ， $B$ 处测出点 $D$ 的仰角度数，可以求出信号塔 $D E$ 的高．如图， $A B$ 的长为 $5 m$ ，高 $B C$ 为 $3 m$ ．他在点 $A$ 处测得点 $D$ 的仰角为 $45 °$ ，在点 $B$ 处测得点 $D$ 的仰角为 $38.7 °$ ， $A ， B ， C ， D ， E$ 在同一平面内．你认为小王同学能求出信号塔 $D E$ 的高吗？若能，请求出信号塔 $D E$ 的高；若不能，请说明理由．（参考数据： $s i n 38.7 ° \approx 0.625$ ， $c o s 38.7 ° \approx 0.780$ ， $t a n 38.7 ° \approx 0.80$ ，结果保留整数）

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21. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，O为坐标原点，直线 $y = x + 2$ 交y轴于点A ，交x轴于点B ，与双曲线 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 在一，三象限分别交于C ， D两点， $A B = \frac{1}{2} B C$ ，连接 $C O$ ， $D O$ ．

(1)、求k的值；

(2)、求 $△ C D O$ 的面积．

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22. 为积极响应州政府“悦享成长·书香恩施”的号召，学校组织150名学生参加朗诵比赛，因活动需要，计划给每个学生购买一套服装．经市场调查得知，购买1套男装和1套女装共需220元；购买6套男装与购买5套女装的费用相同．

(1)、男装、女装的单价各是多少？

(2)、如果参加活动的男生人数不超过女生人数的 $\frac{2}{3}$ ，购买服装的总费用不超过17000元，那么学校有几种购买方案？怎样购买才能使费用最低，最低费用是多少？

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23. 如图， $△ A B C$ 是等腰直角三角形， $∠ A C B = 90 °$ ，点O为 $A B$ 的中点，连接 $C O$ 交 $⊙ O$ 于点E ， $⊙ O$ 与 $A C$ 相切于点D．

(1)、求证： $B C$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、延长 $C O$ 交 $⊙ O$ 于点G ，连接 $A G$ 交 $⊙ O$ 于点F ，若 $A C = 4 \sqrt{2}$ ，求 $F G$ 的长．

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24. 在平面直角坐标系 $x o y$ 中， $O$ 为坐标原点，已知抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + b x + c$ 与 $y$ 轴交于点 $A$ ，抛物线的对称轴与 $x$ 轴交于点 $B$ ．

(1)、如图，若 $A (0 ， \sqrt{3})$ ，抛物线的对称轴为 $x = 3$ ．求抛物线的解析式，并直接写出 $y \geq \sqrt{3}$ 时 $x$ 的取值范围；

(2)、在（1）的条件下，若 $P$ 为 $y$ 轴上的点， $C$ 为 $x$ 轴上方抛物线上的点，当 $△ P B C$ 为等边三角形时，求点 $P$ ， $C$ 的坐标；

(3)、若抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + b x + c$ 经过点 $D (m ， 2)$ ， $E (n ， 2)$ ， $F (1 ， - 1)$ ，且 $m < n$ ，求正整数m ， n的值．

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