江苏省常州市2023年中考数学试卷

试卷更新日期：2023-09-08 类型：中考真卷

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一、单选题

1. 计算 $a^{8} \div a^{2}$ 的结果是（）

A、 $a^{4}$ B、 $a^{6}$ C、 $a^{10}$ D、 $a^{16}$

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2. 若代数式 $\frac{x}{x^{2} - 1}$ 的值是0，则实数x的值是（）

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、2

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3.
某运动会颁奖台如图所示，它的主视图是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 下列实数中，其相反数比本身大的是（）

A、 $- 2023$ B、 $0$ C、 $\frac{1}{2023}$ D、 $2023$

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5. 2022年10月31日，搭载空间站梦天实验舱的长征五号B遥四运载火箭，在我国文昌航天发射场发射成功．长征五号B运载火箭可提供 $1078 t$ 起飞推力．已知 $1 t$ 起飞推力约等于 $10000 N$ ，则长征五号B运载火箭可提供的起飞推力约为（）

A、 $1.078 \times 1 0^{5} N$ B、 $1.078 \times 1 0^{6} N$ C、 $1.078 \times 1 0^{7} N$ D、 $1.078 \times 1 0^{8} N$

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6. 在平面直角坐标系中，若点P的坐标为 $(2 ， 1)$ ，则点P关于y轴对称的点的坐标为（）

A、 $(- 2 ， - 1)$ B、 $(2 ， - 1)$ C、 $(- 2 ， 1)$ D、 $(2 ， 1)$

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7. 小明按照以下步骤画线段AB的三等分点：

画法

图形

1．以A为端点画一条射线；

2．用圆规在射线上依次截取3条等长线段AC、CD、DE ，连接BE；

3．过点C、D分别画BE的平行线，交线段AB于点M、N ， M、N就是线段AB的三等分点．

这一画图过程体现的数学依据是（）

A、两直线平行，同位角相等 B、两条平行线之间的距离处处相等 C、垂直于同一条直线的两条直线平行 D、两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例

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8. 折返跑是一种跑步的形式．如图，在一定距离的两个标志物①、②之间，从①开始，沿直线跑至②处，用手碰到②后立即转身沿直线跑至①处，用手碰到①后继续转身跑至②处，循环进行，全程无需绕过标志物．小华练习了一次 $2 \times 50 m$ 的折返跑，用时 $18 s$ 在整个过程中，他的速度大小v（ $m / s$ ）随时间t（ $s$ ）变化的图像可能是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

9. 9的算术平方根是．

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10. 分解因式：x²y-4y= ．

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11. 计算： ${(\sqrt{3} - 1)}^{0} + 2^{- 1} =$ ．

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12. 若矩形的面积是10，相邻两边的长分别为x、y，则y与x的函数表达式为．

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13. 若圆柱的底面半径和高均为a，则它的体积是（用含a的代数式表示）．

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14. 如图，飞镖游戏板中每一块小正方形的面积相等．任意投掷飞镖1次且击中游戏板，则击中阴影部分的概率是．

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15. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A = 90 °$ ，点D在边AB上，连接CD ．若 $B D = C D$ ， $\frac{A D}{B D} = \frac{1}{3}$ ，则 $t a n B =$ ．

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16. 如图， $A D$ 是 $⊙ O$ 的直径， $△ A B C$ 是 $⊙ O$ 的内接三角形．若 $∠ D A C = ∠ A B C$ ， $A C = 4$ ，则 $⊙ O$ 的直径 $A D =$ ．

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17. 如图，小红家购置了一台圆形自动扫地机，放置在屋子角落（书柜、衣柜与地面均无缝隙）．在没有障碍物阻挡的前提下，扫地机能自动从底座脱离后打扫全屋地面．若这台扫地机能从角落自由进出，则图中的x至少为（精确到个位，参考数据： $\sqrt{21} \approx 4.58$ ）．

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18. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 ° ， A B = A C = 4$ ， D是AC延长线上的一点， $C D = 2$ ． M是边BC上的一点（点M与点B、C不重合），以CD、CM为邻边作 $▱ C M N D$ ．连接 $A N$ 并取 $A N$ 的中点P ，连接 $P M$ ，则 $P M$ 的取值范围是．

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三、解答题

19. 先化简，再求值： $(x + 1)^{2} - 2 (x + 1)$ ，其中 $x = \sqrt{2}$ ．

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20. 解不等式组 ${\begin{array}{l} 4 x - 8 \leq 0 ， \\ \frac{1 + x}{3} < x + 1 \end{array}$ ，把解集在数轴上表示出来，并写出整数解．

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21. 为合理安排进、离校时间，学校调查小组对某一天八年级学生上学、放学途中的用时情况进行了调查．本次调查在八年级随机抽取了 $20$ 名学生，建立以上学途中用时为横坐标、放学途中用时为纵坐标的平面直角坐标系，并根据调查结果画出相应的点，如图所示：

(1)、根据图中信息，下列说法中正确的是（写出所有正确说法的序号）：
①这 $20$ 名学生上学途中用时都没有超过 $30 m i n$ ；
②这 $20$ 名学生上学途中用时在 $20 m i n$ 以内的人数超过一半；
③这 $20$ 名学生放学途中用时最短为 $5 m i n$ ；
④这 $20$ 名学生放学途中用时的中位数为 $15 m i n$ ．

(2)、已知该校八年级共有 $400$ 名学生，请估计八年级学生上学途中用时超过 $25 m i n$ 的人数

(3)、调查小组发现，图中的点大致分布在一条直线附近．请直接写出这条直线对应的函数表达式并说明实际意义．

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22. 在5张相同的小纸条上，分别写有：① $\sqrt{2}$ ；② $\sqrt{8}$ ；③1；④乘法；⑤加法．将这5张小纸条做成5支签，①、②、③放在不透明的盒子A中搅匀，④、⑤放在不透明的盒子B中搅匀．

(1)、从盒子 $A$ 中任意抽出 $1$ 支签，抽到无理数的概率是；

(2)、先从盒子 $A$ 中任意抽出 $2$ 支签，再从盒子 $B$ 中任意抽出 $1$ 支签，求抽到的 $2$ 个实数进行相应的运算后结果是无理数的概率．

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23. 如图， $B$ 、 $E$ 、 $C$ 、 $F$ 是直线 $l$ 上的四点， $A B = D E ， A C = D F ， B E = C F$ ．

(1)、求证： $△ A B C ≌ △ D E F$ ；

(2)、点 $P$ 、 $Q$ 分别是 $△ A B C$ 、 $△ D E F$ 的内心．
①用直尺和圆规作出点 $Q$ （保留作图痕迹，不要求写作法）；

②连接 $P Q$ ，则 $P Q$ 与 $B E$ 的关系是__▲__．

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24. 如图，在打印图片之前，为确定打印区域，需设置纸张大小和页边距（纸张的边线到打印区域的距离），上、下，左、右页边距分别为 $a c m 、 b c m 、 c c m 、 d c m$ ．若纸张大小为 $16 c m \times 10 c m$ ，考虑到整体的美观性，要求各页边距相等并使打印区域的面积占纸张的 $70 %$ ，则需如何设置页边距？

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25. 在平面直角坐标系中，一次函数 $y = k x + b$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 的图象相交于点 $A (2 ， 4)$ 、 $B (4 ， n)$ ． C是y轴上的一点，连接 $C A$ 、 $C B$ ．

(1)、求一次函数、反比例函数的表达式；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积是6，求点C的坐标．

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26. 对于平面内的一个四边形，若存在点 $O$ ，使得该四边形的一条对角线绕点 $O$ 旋转一定角度后能与另一条对角线重合，则称该四边形为“可旋四边形”，点 $O$ 是该四边形的一个“旋点”．例如，在矩形 $M N P Q$ 中，对角线 $M P$ 、 $N Q$ 相交于点 $T$ ，则点 $T$ 是矩形 $M N P Q$ 的一个“旋点”．

(1)、若菱形 $A B C D$ 为“可旋四边形”，其面积是 $4$ ，则菱形 $A B C D$ 的边长是；

(2)、如图1，四边形 $A B C D$ 为“可旋四边形”，边 $A B$ 的中点 $O$ 是四边形 $A B C D$ 的一个“旋点”．求 $∠ A C B$ 的度数；

(3)、如图2，在四边形 $A B C D$ 中， $A C = B D$ ， $A D$ 与 $B C$ 不平行．四边形 $A B C D$ 是否为“可旋四边形”？请说明理由．

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27. 如图，二次函数 $y = \frac{1}{2} x^{2} + b x - 4$ 的图象与x轴相交于点 $A (- 2 ， 0) 、 B$ ，其顶点是C ．

(1)、 $b =$ ；

(2)、D是第三象限抛物线上的一点，连接OD ， $t a n ∠ A O D = \frac{5}{2}$ ；将原抛物线向左平移，使得平移后的抛物线经过点D ，过点 $(k ， 0)$ 作x轴的垂线l ．已知在l的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，求k的取值范围；

(3)、将原抛物线平移，平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q ，且其顶点P落在原抛物线上，连接PC、QC、PQ ．已知 $△ P C Q$ 是直角三角形，求点P的坐标．

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28. 如图1，小丽借助几何软件进行数学探究：第一步，画出矩形 $A B C D$ 和矩形 $E F G H$ ，点 $E$ 、 $F$ 在边 $A B$ 上（ $E F < A B$ ），且点 $C$ 、 $D$ 、 $G$ 、 $H$ 在直线 $A B$ 的同侧；第二步，设置 $\frac{A B}{A D} = m ， \frac{E F}{E H} = n$ ，矩形 $E F G H$ 能在边 $A B$ 上左右滑动；第三步，画出边 $E F$ 的中点 $O$ ，射线 $O H$ 与射线 $A D$ 相交于点 $P$ （点 $P$ 、 $D$ 不重合），射线 $O G$ 与射线 $B C$ 相交于点 $Q$ （点 $Q$ 、 $C$ 不重合），观测 $D P$ 、 $C Q$ 的长度．

(1)、如图 $2$ ，小丽取 $A B = 4 ， E F = 3 ， m = 1 ， n = 3$ ，滑动矩形 $E F G H$ ，当点 $E$ 、 $A$ 重合时， $C Q =$ ；

(2)、小丽滑动矩形 $E F G H$ ，使得 $O$ 恰为边 $A B$ 的中点．她发现对于任意的 $m \neq n ， D P = C Q$ 总成立．请说明理由；

(3)、经过数次操作，小丽猜想，设定 $m$ 、 $n$ 的某种数量关系后，滑动矩形 $E F G H$ ， $D P = C Q$ 总成立．小丽的猜想是否正确？请说明理由．

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