备战2024年中考数学细点逐一突破真题训练第10章尺规作图设计、命题

试卷更新日期：2023-09-08 类型：一轮复习

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一、命题

1. 下列句子中，属于命题的是（）

A、直线 $A B$ 和 $C D$ 垂直吗？ B、过线段 $A B$ 的中点 $C$ 作 $A B$ 的垂线 C、同旁内角不互补，两直线不平行 D、已知 $a^{2} = 1$ ，求 $a$ 的值

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2. 下列命题是真命题的是（）

A、 $R t △ A B C$ 的两边为3，4，则斜边上的高是 $\frac{12}{5}$ B、角是轴对称图形，它的平分线所在的直线就是它的对称轴 C、三角形三个内角平分线的交点到三个顶点的距离相等 D、对角线互相垂直平分的四边形是正方形

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3. 下列命题中，假命题的是（）

A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形 B、对角线互相垂直的梯形是等腰梯形 C、对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 D、对角线平分一组对角的矩形是正方形

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4. 把命题“对顶角相等”改写成“如果……，那么……”的形式为．

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5. 命题“内错角相等”的题设是，结论是．

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6. 命题“如果 $\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} = 0$ ，那么 $a + b = 0$ ”的逆命题为．

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7. 下列命题中，正确的是（）

A、位似图形一定是相似图形 B、平分弦的直径垂直于这条弦 C、方程 $x^{2} - x + 1 = 0$ 有两个相等的实数根 D、反比例函数 $y = - \frac{2}{x}$ 在每一象限内，y随x的增大而减小

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8. 下列命题中，是真命题的有（）．
①全等三角形的对应边相等；②有两个角为 $60 °$ 的三角形一定是等边三角形；③两条直线被第三条直线所截，内错角相等；④等腰三角形的角平分线和中线相互重合．

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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9. 下列说法正确的是（）

A、为了加强“五项管理”，要了解某市中学生的睡眠时间，采用全面调查 B、打开电视机，它正在播广告是必然事件 C、一组数据“5，4，6，2，7，4，3”的众数是4，中位数是2 D、甲、乙两名同学5次数学测试的平均数都是92分，方差分别为 ${S_{甲}}^{2} = 0.8$ ， ${S_{乙}}^{2} = 1.2$ ，由此可以判断甲的数学成绩比乙的稳定

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二、尺规作图设计-与平面直角坐标系相关（对称、平移、旋转，位似）

10. 在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的三个顶点在格点上（每个方格的边长均为1个单位长度）．

(1)、请画出 $△ A B C$ 关于 $x$ 轴对称的图形 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、将 $△ A B C$ 绕点 $O$ 逆时针旋转90°，画出旋转后得到的 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ；

(3)、在 $x$ 轴上找一点 $P$ ，使 $P A + P B$ 的值最小（不写作法，保留作图痕迹）．

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11. 如图，直线 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ 垂足为O ，请按要求画图．

⑴点P在射线 $O M$ 上，画出点P到直线a的最短路径 $P E$ ．

⑵画出表示南偏西 $30 °$ 方向的射线 $O F$ ．

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12. 如图，在平面直角坐标系中，每个小正方格的边长都是1个单位长度，已知\ $△ A B C$ 的顶点坐标为 $A (- 6 ， 4) ， B (- 2 ， 6) ， C (- 4 ， 2)$ ．

⑴画出 $△ A B C$ 沿着x轴向右平移5个单位长度得到的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；
⑵以原点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的 $\frac{1}{2}$ ，请在位似中心同侧画出缩小后的△A₂B₂C₂ ．

⑶直接写出线段C₁C₂的长．

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13. 如图，在平面直角坐标系中，已知 $△ A B C$ 的三个顶点坐标分别是 $A (2 ， - 1) ， B (1 ， - 2)$ ， $C (3 ， - 3)$ ．

(1)、将 $△ A B C$ 向上平移4个单位，再向右平移1个单位，得到 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，请画出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ．

(2)、请画出 $△ A B C$ 关于 $y$ 轴对称的 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ．

(3)、将 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ 着原点 $O$ 顺时针旋转 $90 °$ ，得到 $△ A_{3} B_{3} C_{3}$ ，求线段 $A_{2} C_{2}$ 在旋转过程中扫过的面积（结果保留 $π$ ）．

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14. 如图是由小正方形组成的12×11网格，每个小正方形的顶点叫作格点，过格点A，B，C的圆交 $△ A D E$ 于点F，点G在DE上，其中D，G是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求完成画图，画图过程用虚线表示．

⑴在AD的下方画出正方形ADMN；

⑵画出圆心O；

⑶画出 $\overset{⌢}{A F}$ 的中点P；

⑷画出线段AE绕点A逆时针旋转90°后的对应线段AQ．

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三、尺规作图设计-与网格相关（形状大小、面积、长度值）

15. 下图各正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点都称为格点．

(1)、在图①中，画出一条以格点为端点，长度为 $\sqrt{8}$ 的线段 $A B$ ．

(2)、在图②中，以格点为顶点，画出三边长分别为3， $2 \sqrt{2}$ ， $\sqrt{5}$ 的三角形．

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16. 如图，正方形网格图中，每个小正方形的边长都是1．

(1)、在图中分别画出线段 $A B = \sqrt{5}$ ， $C D = 2 \sqrt{2}$ ， $E F = \sqrt{13}$ ；

(2)、判断以 $A B$ ， $C D$ ， $E F$ 三条线段为边能否构成直角三角形，并说明理由．

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17. 图①．图四、图③都是 $6 \times 6$ 的正方形网格，每个小正方形的边长均为1．每个小正方形的顶点叫做格点，故段 $A B$ 的端点都在格点上．在给定的网格中，只用无刻度的直尺，按下列要求画图，只保留作图痕迹，不要求写画法．

(1)、在图①中画 $△ A B C$ ，使 $△ A B C$ 的面积是10；

(2)、在图②中画四边形 $A B D E$ ，使四边形 $A B D E$ 是轴对称图形；

(3)、在图③中的线段 $A B$ 上找一点P ，使 $A P = 2 B P$ ．

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18. 图①、图②、图③均是 $6 \times 6$ 的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，不要求写出画法．

(1)、在图①中作 $∠ A B C$ 的角平分线 $B D$ ．

(2)、在图②、图③中，过点C作一条直线 $C E$ ，使点A、B到直线 $C E$ 的距离相等，图②、图③所画直线 $C E$ 不相同．

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19. 如图①、图②、图③均是 $6 \times 6$ 的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点， $△ A B C$ 的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹．

(1)、在图①中，作 $△ A B C$ 的中线 $C D$ ．

(2)、在图②中，在 $A B$ 边上找一点E，连结 $C E$ ，使 $C E = B E$ ．

(3)、在图③中，在 $A C$ 边上找一点F，连结BF，使 $△ B F C$ 的面积为 $\frac{10}{3}$ ．

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20. 如图，图①、图②均是 $8 \times 8$ 的正方形网格，每个小正方形的边长均为 $1$ ，每个小正方形的顶点称为格点，点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 均为格点只用无刻度的直尺，按下列要求作图：

(1)、在图①中，作 $△ A B C$ 的 $B C$ 边上的高；

(2)、在图②中，过点 $B$ 作直线 $l$ ，使得直线 $l$ 平分 $△ A B C$ 的面积．

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21. 如图①、图②、图③均是 $6 \times 6$ 的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点． $△ A B C$ 的顶点均在格点，点D为 $A C$ 上一格点，点E为 $A B$ 上任一点，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹．

(1)、在图①中画 $△ A B C$ 的中位线 $D F$ ，使点F在边 $A B$ 上．

(2)、在图②中画以 $A C$ 为对角线的 $▱ A B C G$ ．

(3)、在图③中作射线 $E D$ ，在其上找到一点H，使 $D H = D E$ ．

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22. 如图，在 $4 \times 4$ 的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 均为格点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中找一格点满足下列要求：

(1)、在图①中，作格点 $M$ ，并连结 $M A$ 、 $M B$ 、 $M C$ ，使 $M A = M B = M C$ ．

(2)、在图②中，作格点 $N$ ，并连结 $N A$ 、 $N C$ 使 $∠ A N C + ∠ A B C = 18 0^{o}$ ．

(3)、在图③中，作格点 $P$ ，并连结 $P A$ 、 $P C$ ，使 $∠ A P C = \frac{1}{2} ∠ A B C$ ．

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23. 如图是由小正方形组成的 $8 \times 6$ 网格，每个小正方形的顶点叫做格点，正方形 $A B C D$ 四个顶点都是格点， $E$ 是 $A D$ 上的格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．

(1)、在图（1）中，先将线段 $B E$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $90 °$ ，画对应线段 $B F$ ，再在 $C D$ 上画点 $G$ ，并连接 $B G$ ，使 $∠ G B E = 45 °$ ；

(2)、在图（2）中， $M$ 是 $B E$ 与网格线的交点，先画点 $M$ 关于 $B D$ 的对称点 $N$ ，再在 $B D$ 上画点 $H$ ，并连接 $M H$ ，使 $∠ B H M = ∠ M B D$ ．

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四、尺规作图设计-综合类型

24. 下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程：

已知：如图1，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ．

求作： $R t △ A B C$ 的外接圆．

作法：如图2．

（1）分别以点A和点B为圆心，大于 $\frac{1}{2} A B$ 的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点；

（2）作直线 $P Q$ ，交 $A B$ 于点O；

（3）以O为圆心， $O A$ 为半径作 $⊙ O$ ， $⊙ O$ 即为所求作的圆．

下列不属于该尺规作图依据的是（）

A、两点确定一条直线 B、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 C、与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 D、线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等

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25.

(1)、已知线段 $m ， n$ ，求作 $R t △ A B C$ ，使得 $∠ C = 90 ° ， C A = m ， C B = n$ ；（请用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．）

(2)、求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．（请借助上一小题所作图形，在完善的基础上，写出已知、求证与证明．）

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26. 已知：线段 $a$ ， $b$ ， $∠ α$ ， $∠ β$ ．

求作：（要求：仅用无刻度的直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）

(1)、线段 $A B = a + b$ ；

(2)、 $∠ M O N = ∠ α + ∠ β$ ．

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27. 如图所示，请用尺规作图法，在矩形 $A B C D$ 的边 $B C$ 上确定一点 $E$ ，使得 $A B = \frac{1}{2} A E$ ．

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28. 下面是小明设计的“作菱形 $A B C D$ ”的尺规作图过程．
求作：菱形 $A B C D$ ．
作法：①作线段 $A C$ ；
②作线段 $A C$ 的垂直平分线l，交 $A C$ 于点O；
③在直线l上取点B，以O为圆心， $O B$ 长为半径画弧，交直线l于点D（点B与点D不重合）；
④连接 $A B 、 B C 、 C D 、 D A$ ．
所以四边形 $A B C D$ 为所求作的菱形．

根据小明设计的尺规作图过程，

(1)、使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

(2)、完成下面的证明．
证明：∵ $O A = O C$ ， $O B = O D$ ，
∴四边形 $A B C D$ 为       ▲  ．
∵       ▲  ，
∴四边形 $A B C D$ 为菱形（　　）（填推理的依据）．

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29. 如图，四边形 $A B C D$ 是平行四边形，E为 $A B$ 的中点．

(1)、如图①，只用无刻度的直尺在 $C D$ 边上作点F，使 $D F = B E$ ；

(2)、如图②，用直尺和圆规作菱形 $E F G H$ ，使得点F、G、H分别在边 $B C$ 、 $C D$ 、 $D A$ 上（不写作法，只保留作图痕迹）．

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30. 如图，已知 $△ A B C$ 是等边三角形，点 $D$ 是 $A B$ 边上的一点．

(1)、求作：直线 $D E$ ，使 $D E ⊥ B C$ 于点 $E$ （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；

(2)、在（1）所作图中，取 $A C$ 边上的点 $F$ ，使 $A F = A D$ ，连接 $D F$ ， $E F$ ．若 $B D = 2 A D$ ，请按要求补全图形，并证明四边形 $D B E F$ 是平行四边形（若完成第（1）题有困难，可画草图完成第（2）题）．

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